«Теорема Био-Савара-Лапласа о магнитном поле и электронное руководство, относящееся к различным частям учебной программы по физике, включая электростатику, электродинамику, электромагнетизм и электромагнитные колебания и волны»

Направление вектора dB определяется
правилом правого винта, которое
заключается в

следующем: буравчик с правым винтом
(штопор) нужно вращать от вектора dl к
вектору r по

кратчайшему пути, тогда на правление
движения острия бу равчика rпокажет
ориентацию вектора dB .

Магнитное
поле прямого тока

Рассчитаем,
используя закон Био-Савара-Лапласа,
магнит ное поле, создаваемое бесконечным
прямым проводником с то ком, в точке М,
отстоящей на расстоянии а от проводника.

Выделим элемент проводника dl. Пусть
элемент dl виден из точки М под малым
углом dα. Положение точки М относительно
элемента dl определяется вектором r. Из

рис. видно, что выполняются следующие
соотношения

Используя закон Био-Савара-Лапласа,
запишем индукцию магнитного поля,
создаваемого элементом тока dl в точке
М

Для того, чтобы найти индукцию магнитного
поля, создаваемого всем проводом, нужно,
используя принцип суперпозиции, найти
сумму векторов dBi от всех элементов dli.

В случае бесконечного прямого тока
α1=0 и α2=π, тогда

В общем случае индукция магнитного
поля, создаваемого прямым проводником
с ток конечной длины равна

Магнитное поле на оси кругового витка
с током.

здесь S − длина витка, R − его радиус.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа

(угол
между векторами r и dl равен π/2).

Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции).

В случае нескольких токов вrсилу принципа
суперпозиции

применение к расчету полей соленоида

Применение к расчету поля соленоида.

Последний интеграл в правой части равен
нулю, т.к. На большом расстоянии от
соленоида В=0. Второй и третий интегралы
в правой части также равны нулю, т.к. для
каждого элемента dl выполняется условие
B ⊥ dl , а на участке 1-2, очевидно, B параллелен
dl r. Тогда

С другой стороны, полученное выражение
должно быть пропорционально сумме
токов, охватываемых контуром 1-2-3-4.
Рассматриваемый контур охватывает nl
витков, в

каждом из которых течет ток I, тогда

Поле тороида.

Пусть
мы имеем тороид (”бублик”) с плотно
намотанными на него N витками тонкого
провода с током I. Пусть R1 и R2 − внешний
и внутренний радиусы то роида. Найдем
индукцию магнитного поля на средней
линии тороида, т.е. на окружности радиуса
r=(R1+R2)/2.

В качестве контура интегрирования L
выберем саму среднюю линию. В силу
симметрии вектор индукции магнитного
поля B в каждой точке контура L должен
быть направлен по касательной к этому
контуру и быть постоянным по модулю.
Выбранный нами контур охватывает все
N витков.

Био и
Савар провели в 1820 г. исследование
магнитных полей токов различной формы.
Они установили, что магнитная индукция
во всех случаях пропорциональна силе
тока, создающего магнитное поле. Лаплас
проанализировал экспериментальные
данные, полученные Био и Саваром, и
нашел, что магнитное поле тока I
любой конфигурации может быть вычислено
как векторная сумма (суперпозиция)
полей, создаваемых отдельными элементарными
участками тока.

каждого участка тока настолько мала,
что его можно считать прямым отрезком,
расстояние от которого до точки наблюдения
много больше

.
Удобно ввести понятие элемента тока

где направление вектора

совпадает с направлением токаI,
а его модуль равен

Для
индукции магнитного поля

Формула
закона Био–Савара–Лапласа (1.1) написана
в системе СИ, в которой постоянная

называется магнитной постоянной.

Уже
отмечалось, что в магнетизме, как и в
электричестве, имеет место принцип
суперпозиции полей, т. е. индукция
магнитного поля, создаваемого системой
токов, в данной точке пространства равна
векторной сумме индукций магнитных
полей, создаваемых в этой точке каждым
из токов в отдельности:

а
рис. 7 приведен пример построения вектора
магнитной индукции

в поле двух параллельных и противоположных
по направлению токов

Применение закона Био–Савара–Лапласа. Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим
отрезок прямого тока. Элемент тока

– угол между направлением тока и вектором

,
характеризующим положение точкиА
относительно

На
рис. 9 представлен фрагмент рис. 8.
Опустив перпендикуляр из точки С
на сторону ОА,
получим два прямоугольных треугольника.
Из треугольника ODC
следует, что СD=

,
а из треугольникаCDA
следует, что CD=

бесконечно малые величины, получим

После
подстановки (1.4) в (1.3) получим:

Из
рис. 8 следует, что

от различных элементов отрезка прямого
тока имеют одинаковое направление.
Величина магнитной индукции в точкеА
равна алгебраической сумме

В
случае бесконечно длинного прямого
проводника с током

Отсюда следует, что индукция магнитного
поля бесконечно длинного прямогопроводника
с током находится по формуле

Применение закона Био–Савара–Лапласа. Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим
проводник в форме окружности радиуса
R,
по которому протекает ток I
(рис. 11). Разобьем круговой ток на
элементы тока

,
каждый из которых создает в центре
кругового тока (точкаО)
магнитное поле

.
По закону Био–Савара–Лапласа (1.1), с
учетом, что

от разных элементов кругового тока
имеют одинаковое направление.
Следовательно,

Таким
образом, для индукции магнитного поля
в центре кругового тока получаем

Рассмотрим
магнитное поле, создаваемое круговым
током в других точках на оси z
(рис. 12).

юбая пара равных по величине элементов
тока (

),
расположенная симметрично относительно
осиz,
создает в точках на оси магнитное поле:

в соответствии с законом Био–Савара–Лапласа
направлен перпендикулярно плоскости,
содержащей вектора

образуют ромб, диагональ которого
представляет вектор

,
направленный вдоль осиОz.

Как
следует из рис. 12,

По
принципу суперпозиции результирующий
вектор

также направлен вдоль осиz,
поэтому

Окончательное
выражение для индукции в точках на оси
кругового тока имеет вид

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж.Био (1774-1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов было обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.

Закон Био – Савара – Лапласа для проводника с током I, элемент длины которого

создает в некоторой точке А индукцию поля

, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Поскольку направление

где a – угол между векторами

Рис.4. К закону Био-Савара-Лапласа.

Для магнитного поля, также как и для электрического справедлив принцип суперпозиции: если имеется несколько элементов тока или несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитное поле, то при одновременном действии всех токов индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных полей:

магнитная индукция поля, создаваемого элементом интегрирования длиной

. Интегрирование производится по всей длине проводника

Расчет характеристик магнитного поля (

1. Магнитное поле отрезка прямого провода с током. Вычислим индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током I, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а (рис.5). Индукция магнитного поля в точке С будет равна

Но , тогда и . Подставив эти значения в (2.4), получим

2. Магнитное поле бесконечно длинного прямого провода с током. Для такого провода угол a1 = 0, а угол a2 = 180о. Тогда

где a – длина перпендикуляра, опущенного из точки наблюдения С на проводник с током.

3. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.6). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов

можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, по закону Био – Савара – Лапласа,

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна

4. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока радиусом R, в точке А на расстоянии а от плоскости контура, по которому течет ток силой I (рис.7).

Воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа

магнитная индукция, создаваемая элементом тока

в точке, определяемой радиусом-вектором

. Выделим на кольце элемент

и от него в точку А проведем радиус-вектор

. Направление вектора

определим по правилу правого винта. Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция

в точке А определяется Рис.7 интегрированием

, где интегрирование ведется по всем элементам

кольца. Разложим вектор

на две составляющие:

перпендикулярную плоскости кольца и

, параллельную плоскости кольца, т.е.

. Заметим, что

из соображений симметрии и что векторы

сонаправлены. Поэтому заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным

Основной закон электромагнетизма, закон Био-Савара-Лапласа, устанавливает соотношение между силой тока в проводнике и напряженностью магнитного поля, которое возникает в пространстве, окружающем проводник. Этот закон в СИ в векторной форме имеет вид:

– напряженность магнитного поля в точке А, созданная элементом тока

– угол между элементом тока и радиус-вектором (рисунок 3).

Модуль вектора напряженности определяется:

Рисунок 3 – Магнитное поле тока

По правилу векторного произведения векторов вектор

направлен перпендикулярно плоскости, содержащей вектора

образуют правую тройку.

Расчёт напряженности магнитного поля по формуле (1) в общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определённую симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля.

Вычислим напряженность магнитного поля в центре кругового тока (в точке О, рисунок 4). По принципу суперпозиции, напряжённость магнитного поля

, создаваемого всем витком, равна векторной сумме напряжённостей

, создаваемых каждым элементом тока. Как следует из правила векторного произведения векторов, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одного направления – вдоль нормали к плоскости витка. Поэтому сложение векторов

Рисунок 4 – Виток с током

Угол a для всех точек окружности равен p/2, следовательно, sina = 1. На основании этого формула (2) принимает вид:

Интегрируя это выражение по всей длине окружности, т.е. в пределах от l = 0 до l = 2pR, находим:

1.3.  Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде  дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника. Вектор  направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах  и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ0/4π, где μ0  – магнитная постоянная, равная 4π∙10-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8. Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля  одинакового направления – вдоль нормали к площади витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Рекомендуемые материалы

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника. Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы  от каждого элемента тока dℓi имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей. При суммировании всех  будет меняться угол α между r  и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

Люди также интересуются этой лекцией: 10. Аллергия.

Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α:

По закону Био-Савара-Лапласа получим:

В данном выражении α1 и α2 – значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α1 = 0, α2 = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током:

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Закон Био-Савара-Лапласа в магнитостатике – примерно то же самое, что и закон Кулона в электростатике. С помощью этого закона определяется индукция магнитного поля, созданного постоянным электрическим током. В сегодняшней статье разберем несколько примеров решения задач по магнитостатике на применение закона Био-Савара-Лапласа.

Присоединяйтесь к нам в телеграме, чтобы вовремя получать полезную рассылку и актуальные новости. А еще, не пропустите приятные скидки и акции на нашем втором канале.

Закон Био-Савара-Лапласа

В нашем блоге есть материалы, которые помогут справиться с задачами по разным темам:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №1

Прямой провод согнут в виде квадрата со стороной а=8 см. Какой силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей была 20 А/м?

Согласно принципу суперпозиции напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата будет равна сумме напряженностей, которые создают стороны. Поскольку стороны одинаковые, то:

Будем использовать формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого провода с током (выводится из закона Био-Савара-Лапласа):

Тогда для напряженности в точке пересечения диагоналей получим:

Отсюда можем выразить ток:

Ответ: 1,78 А.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №2

Используя закон Био-Савара-Лапласа, определите магнитную индукцию в вакууме B поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если сила тока в проводнике равна 5 A.

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока вычисляется по формуле:

Ответ: 0,31 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №3

Используя закон Био-Савара-Лапласа выведите формулу для индукуии из предыдущей задачи.

Пусть ток идет по тонкому проводу в форме окружности, имеющей радиус R.

Разобъем провод на бесконечно малые элементы dl. Каждый такой элемент создает в центре окружности индукцию dB, направленную вдоль положительной нормали к контуру. По закону Био-Савара-Лапласа:

Угол альфа между векторами r и Idl равен 90 градусам, а r=R. Тогда, можно записать:

Интегрируя это выражение по контуру, получим:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №4

По квадратной рамке со стороной a=0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Будем рассматривать каждую из четырех сторон рамки, как отдельный проводник, создающий в ее центре магнитную индукцию. Направление векторно-магнитной индукции определяется по правилу правого винта: все векторы направлены в одну сторону, перпендикулярно рамке.

Найдем индукцию, создаваемую одной стороной рамки:

По принципу суперпозиции, запишем формулу для общей индукции в центре рамки и вычислим:

Ответ: 22,6 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №5

Проводник согнут в виде правильного треугольника со стороной а=20 см. Какой ток протекает по периметру треугольника, если в его центре напряженность поля равна Н = 71,64 А/м?

Условно разбиваем проводник на три проводника, каждый из которых создает магнитное поле. По закону Био – Савара – Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью:

r – расстояние от точки А до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl. Напряженность магнитного поля в точке О будет равна:

Теперь выражение для напряженности можно переписать в следующем виде:

Из рисунка видно, что угол α1 равен 30 градусам, а угол α2 = 150. Очевидно, что результирующая напряженность:

Отсюда найдем ток:

Ответ: 10 А.

Вопросы на закон Био-Савара-Лапласа

Вопрос 1. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа

Ответ. Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

Элементарный участок dl с током I создает магнитную индукцию:

Здесь альфа — угол между радиусом-вектором и направлением тока в проводнике.

Вопрос 2. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция — векторная физическая величина, силовая характеристика магнитного поля. Определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем.

Вопрос 3. Сформулируйте теорему о циркуляции магнитной индукции.

Ответ. Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур:

Вопрос 4. Как определяется направление вектора магнитной индукции?

Ответ. Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика (правого винта):

Направление вращения головки винта дает направление вектора магнитной индукции, поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Вопрос 5. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M. Связана с индукцией формулой:

Нужна помощь в решении задач и выполнении других заданий? Профессиональный сервис для учащихся всегда к вашим услугам.

Закона Био-Савара-Лапласа

• Формулировка закона Био-Савара-Лапласа
• История открытия закона
• Формула
• Особенности закона Био Савара Лапласа
• Применение
• Примеры решения задач

Формулировка закона Био-Савара-Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — эксперимент, проведенный французскими физиками Био и Саваром. В нем они определили индукцию магнитного поля в точке из-за малого элемента тока. Закон сформулировал Лаплас.

С помощью данного закона определяется напряжение магнитного поля H возле проводника с токос. Он дает соотношение между напряжением магнитного поля, генерируемого элементом тока его источника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Величина магнитного поля в точке, создаваемого вокруг проводника небольшой длины из-за протекания через него тока прямо пропорциональна:

• длине проводника;
• величине тока;
• синусу угла между линиями, соединяющими точку от середины проводника до самого проводника;
• обратно пропорциональна расстоянию между точкой и серединой проводника.

С помощью уравнения Био Савара можно описать магнитное поле, которое создается токопроводящим проводником. Оно позволяет рассчитать напряжение на разных участках.

История открытия закона

К концу 18-го века ученые заметили много электрических явлений и магнитных явлений, но большинство полагало, что они были взаимосвязанными. Были некоторые причины полагать, что связь может быть. Давно было известно, что компас при ударе молнии может менять полярность. Эрстед ранее отмечал сходство между тепловым излучением и светом, хотя и не определил, что и то, и другое являются электромагнитными волнами. Похоже, он верил, что электричество и магнетизм — это силы, излучаемые всеми веществами, эти силы могут каким-то образом быть взаимосвязанными.

Во время лекции в 1820 году, настраивая свой аппарат, физик заметил, когда он включил электрический ток, подсоединив провод к обоим концам батареи, магнитная стрелка компаса, находящаяся поблизости, отклонилась от севера, куда она обычно указывала. Она сдвинулась лишь слегка, никто кроме ученого этого не заметил.

Эрстед был хорошо подготовлен к наблюдению такого эффекта, имея под рукой стрелку компаса и батарейку (или гальванический аппарат, как он это называл). Он не сразу нашел математическое объяснение, но обдумывал его в течение следующих трех месяцев, а затем продолжал экспериментировать, пока не убедился окончательно, что ток может создавать магнитное поле (которое он назвал «электрическим конфликтом»).

Био и Савар

На заседании 30 октября того же года Био и Савар прочитали в Академии наук доклад, целью которого является определение путем точных измерений физических законов, согласно которым металлические провода, соединенные с двумя полюсами вольтового аппарата, воздействуют на магнитные тела.

Они измерили скорость колебаний подвешенного магнита, расположенного на различных расстояниях от проводника, по которому проходит ток. Они смогли продемонстрировать движение магнитной силы под прямым углом к перпендикуляру, соединяющему рассматриваемый участок с проводником, а также ее интенсивность обратно пропорциональна расстоянию.

Формула

Проводник XY, по которому протекает ток I. Из-за этого оно окружено магнитным полем. Для того чтобы определить его наличие на участке P, рассмотрим как элемент AB длины dl, составляющий угол θ с линией, соединяющей r. Пусть отрезок P—dl равен r.

По закону Био Савара Лапласа, напряжение магнитного поля, создаваемого элементом на участке P:

• dB ∞ I,
• dB ∞ dl,
• dB ∞ sinθ,
• dB ∞ 1/r2.

Комбинируя эти факторы, мы получаем формулу:

k — постоянная пропорциональности, а ее значение зависит от системы единиц, выбранной для измерения различных величин.

Где μ0 — абсолютная магнитная проницаемость свободного пространства:

Закон Био Савара Лапласа в векторной форме записывают так:

Индукция магнитного поля на участке P из-за тока равняется:

Закон Био Савара в условиях плотности тока J гласит, что:

где J = плотность тока в любой точке текущего элемента, dV = объем элемента.

Закон Био Савара в условиях заряда (q) и его скорости (v) равен:

Закон Био Савара в условиях намагничивающей силы или намагничивания (H) магнитного поля s:

Особенности закона Био Савара Лапласа

• Закон Био Савара справедлив для симметричного распределения тока.
• Применим только к проводнику очень малой длины, пропускающему ток.
• Этот закон нелегко проверить экспериментально, поскольку невозможно получить токопроводящий проводник очень малой длины.
• Этот закон аналогичен закону Кулона в электростатике.
• Направление  перпендикулярно как I , так и .
• Если ( heta = 0^ 0), т.е. точка P лежит на оси линейного проводника, несущего ток (или на проводе, несущем ток), то . Это означает, что ни в одной точке тонкого линейного токопроводящего проводника нет индукции магнитного поля.
• Если ( heta = 90^ 0), т.е. точка P лежит в перпендикулярном положении относительно текущего элемента, то , что является максимумом.
• Если ( heta = 90^0)  или , то dB = 0, т.е. минимум.

Для чего нужен закон Био Савара Лапласа. Закон важен по следующим причинам:

• Это фундаментальный закон магнитостатики.
• Этот закон может быть в равной степени применен к различным небольшим проводникам, по которым проходит электрический ток.
• Этот закон может быть применен для симметричного распределения тока.

Закон Био Савара Лапласа предоставляет ценный инструмент, который позволяет вычислять магнитные силовые поля, генерируемые электрическим током. Его открытие помогло добиться многих важных успехов в физике и технике: от определения поведения лампочек и двигателей до расчета магнитных сил, действующих на электроны в веществе.

Некоторые общие области применения закона Био Савара:

• для расчета магнитного поля, обусловленного постоянным током в прямом проводнике неопределенной длины;
• для определения магнитного поля вдоль оси круговой токопроводящей катушки;
• для расчета магнитных эффектов даже на атомном или молекулярном уровнях;
• в аэродинамике для расчета скорости, индуцируемой вихревыми линиями, т.к. магнитное поле является вращающейся силой (подобно земле, вращающейся вокруг солнца).

Примеры решения задач

Ток 5А проходит с юга на север по проводу, проложенному в направлении север-юг. Найдите магнитное поле, создаваемое отрезком проволоки длиной 1 см в точке на расстоянии 2 м к северо-востоку от отрезка проволоки.

Приведенные данные: I = 5A,

r = 2 м,

Θ = 45°,

dl = 1 см = 1 × 10-2 м,

Найти: Магнитное поле (dB).

Расчет: По формуле dB = 10-7 × 6 × 10-2 × sin45° / 22 = 8,84 × 10-10 Т

Магнитное поле, создаваемое проводом в точке, составляет 8,84 × 10-10 Т.

Длинный прямой провод пропускает ток 35А. Каково магнитное поле B в точке в 20 см от провода?

Приведенные данные: I = 35A,

a = 30 см = 0,3 м,

Найти: Поле магнитуды (B).

Формула: B = μ0 / 2π (I / a)

Расчет: По формуле B = 4π × 10-7 / 2π (35 / 0,3) = 2 × 10-7 (116.66)

B = 233,32 × 10-7 Т

Магнитное поле в точке 30 см составляет 233,32×10-7 Т.

Длинный прямой провод в горизонтальной плоскости пропускает ток 50А в направлении север-юг. Укажите величину и направление B в точке на расстоянии 3 м к востоку от провода.

Приведенные данные: I = 50A,

a = 3 м,

Найти: Величину и направление B.

Формула: B = μ0I / 2na

Расчет: По формуле B = 4π × 10-7 × 50 / 2π × 3 = 2 × 10-7 × 50 / 3

B = 3,333 × 10-6 Т

Оно действует в направлении вертикально вверх, поэтому направление — вниз.

Примечание: Направление магнитного поля всегда находится в плоскости, перпендикулярной линии элемента и вектору положения.

Величина B составляет 4 × 10-6 T, а направление — вертикально вниз.

Два длинных прямых параллельных провода в вакууме находятся на расстоянии 4 м друг от друга и пропускают токи 6А и 8А в одном направлении. Найдите нейтральную точку, т.е. точку, в которой результирующая магнитная индукция равна нулю.

Приведенные данные: I1 = 4A,

I2 = 8A,

r = 4 м.

Найти: нейтральную точку (точку, в которой результирующая магнитная индукция равна нулю).

Формула: (i) B1 = μ0 / 4π (2I1 / r1); (ii) B2 = μ0 / 4π (2I2 / r2).

Ток, протекающий по проводу, идет в одном и том же направлении. В результате в любом месте между двумя проводами две магнитные индукции B1 и B2 будут иметь противоположные направления. В результате точка должна располагаться между двумя проводами.

Чтобы результирующая магнитная индукция была равна нулю, должно быть B = B2. Пусть соответствующая точка (нейтральная точка) находится на расстоянии r1 от первого провода и r2 от второго провода.

B = μ0 / 4π ( 2I1 / r1) и B2 = μ0 / 4π ( 2I2 / r2)

B1 = B2

∴ I1 / r1 = I2 / r2

∴ r2 / r1 = I2 / I1

∴ r2 / r1 = 8A / 4A = 2

∴ r2 = 2r1

Но, r1 + r2 = r

∴ r1 + 2r1 = 4m

∴ r1 = 4/3 м и r2 = 8/3м

Нейтральная точка находится на расстоянии 4/3 м от провода, по которому проходит ток 4А.

Короткий провод длиной 1 см пропускает ток 2 А в вертикальном направлении. Остальная часть провода экранирована, поэтому она не усиливает магнитное поле, создаваемое проводом. Рассчитайте магнитное поле в точке P, которая находится в 1 метре от провода в направлении x.

На этом рисунке показан провод I с коротким неэкранированным участком dI, по которому проходит ток. Точка P расположена на расстоянии x от провода. Вектор в точку P из dI образует угол Θ с проводом. Длина вектора равна квадратному корню из сумм квадратов x и I.

Решение: Мы можем определить магнитное поле в точке P, используя закон Био Савара. Поскольку текущий отрезок намного меньше расстояния x, исключаем интеграл из выражения. Интегрирование преобразуется обратно в суммирование, но только для малого dl, который мы теперь записываем как Δl. Угол θ
вычисляется с использованием тригонометрической функции. Используя приведенные числа, рассчитываем магнитное поле при P.

Магнитное поле в точке Р вычисляется по закону Био Савара: B=μ04πiδlsinθr2=(1×10−7T⋅m/A)(2A(0,01м)sin(89,4o)(1 м)2)=2,0×10−9T.

По проводу проходит ток I по дуге окружности радиусом R, проходящей под произвольным углом θ. Вычислите магнитное поле в центре этой дуги в точке P.

На данном рисунке показан кусок проволоки в форме дуги окружности радиусом R, изогнутой под произвольным углом тета. По проводу проходит ток dI. Точка P расположена в центре. Вектор r в точку P перпендикулярен вектору dI.

Можно определить магнитное поле в точке P, используя закон Био-Савара. Радиальное направление и длина пути всегда находятся под прямым углом, поэтому перекрестное произведение превращается в умножение. Также расстояние по траектории dl связано с радиусом, умноженным на угол θ (в радианах).

Закон Био-Савара начинается со следующего уравнения: (b⃗ =μ04π∫wireidl⃗ ×r^r2)b.

Перекрестное произведение превращается в умножение, потому что путь dl и радиальное направление перпендикулярны. Можно подставить формулу длины дуги, dl=rdθ:

Ток и радиус можно извлечь из интеграла, потому что они одинаковы независимо от того, где мы находимся на пути. При этом остается только интеграл по углу,

Угол на проводе изменяется от 0 до θ; следовательно, результатом является B=Μ0iθ4πr.

Французские ученые Ж. Био (1774-1862) и Ф.
Савар (1791-1841) изучали магнитное поле проводников с токами различной формы.
В результате многочисленных опытов они пришли к заключению, что магнитная
индукция поля пропорциональна величине тока в проводнике, зависит от формы
проводника и от местоположения точки в магнитном поле. Эти ученые пытались
получить общий закон, который позволил бы находить индукцию поля в любой его
точке. Результаты их опытов обобщил математик Пьер Лаплас (1749-1827), который
выдвинул важную идею о справедливости принципа суперпозиции, т.е. принципа
независимости действий магнитных полей друг на друга:

В векторной форме закон Био-Савара-Лапласа
для проводника с током ,
элемент  которого создает в некоторой точке, положение
которой определяется радиусом-вектором , проведенным от
элемента проводника, определяется формулой (рис.52)

где
вектор, по модулю равный длине .
Направление вектора перпендикулярно к векторам и
. Это направление и определяется правилом
буравчика.

В скалярной форме
эта формула определяет модуль вектора

– угол между векторами и
.

Напряженность магнитного поля
выразится в виде

Закон Био-Савара–Лапласа
дает возможность вычислять магнитную индукцию конкретных полей. Рассмотрим
некоторые примеры.

Магнитное поле прямого тока. Определим индукцию магнитного поля,
создаваемого тонким прямолинейным проводником в некоторой точке А, удаленного
от проводника на расстояние

Направления
магнитных полей, создаваемых всеми элементами проводника, одинаковы и
перпендикулярны к плоскости чертежа. Поэтому результирующий вектор магнитной индукции
в этой точке находится интегрированием модулей элементарных векторов магнитной
индукции полей создаваемых элементами тока

Подставив
эти выражения в формулу (5), находим

Проинтегрировав это выражение, найдем
значение вектора магнитной индукции в точке А

Если проводник бесконечно длинный, то  и

Из формулы (7) следует
единица измерения вектора напряженности магнитного поля в системе «СИ» «Ампер на
метр» (А/м).

2. Магнитное поле в
центре кругового тока (рис.54). Все элементы проводника перпендикулярны  к
радиусу-вектору,  направленному от элементов тока к центру круга ().
Расстояние всех элементов до центра круга и равно . Все токи в центре окружности создают
магнитное   поле  одинакового направления – перпендикулярно к плоскости круга.
Интегрируя

выражение (5)  с учетом   вышеизложенного, получим