Введение, Способы задания плоскости — Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве Реферат

Введение 3

Глава I. Плоскость в пространстве 4

1.1 Основные понятия и аксиомы 4

1.2 Параллельность плоскостей 6

1.3 Взаимное расположение двух и трех плоскостей 11

1.4 Перпендикулярность плоскостей 13

Глава II. Решение задач по теме «Взаимное расположение плоскостей в пространстве» 15

Заключение 18

Литература 19

Содержание

Потоскуев Е. В. Геометрия.

1. кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 223 с.

Потоскуев Е. В. Геометрия.

1. кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 235 с.

Потоскуев Е. В. Геометрия.

1. кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. –с. М.: Дрофа, 2006. – 368 с.

9. Поурочные разработки по геометрии:

1. класс/ Сост. В. А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2007. – 304 с.

10. Роганин А. Н. Алгебра и геометрия в таблицах и схемах./ А. Н. Роганин, В. А. Дергачев. – Ростов на Дону: Феникс, 2006. – 222 с.

список литературы

Выдержка из текста

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.Цель курсовой работы – получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.- сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;

Задачи курсовой работы: рассмотреть плоскость в пространстве, её уравнение, а также рассмотреть плоскость в простанстве.

Действительно, параллельность прямых на плоскости является необходимым материалом для изучения свойств многоугольников и окружности; без знания взаимного расположения прямых в пространстве невозможно изучение свойств многогранных углов, многогранников и круглых тел.

Необходимость изучения основ аналитической геометрии, в частности прямой на плоскости и в пространстве, продиктована широким использованием математических методов в современной экономической практике.Цель работы состоит в изучении методов исследования прямой на плоскости и в пространстве, а также практики их применения.2) изучить задачи на взаимное расположение прямых в пространстве;

В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др.Целью данной работы является раскрытие уравнений плоскости и прямой в пространстве, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:- Выявить уравнение плоскости в пространстве.

Объект исследования — геометрия.Предмет исследования — инверсия и ее применение при решении задач.Цели исследование — систематизация знаний о понятии инверсии и применение ее к решению задач на построение.Задачи исследования:- Изучить основные свойства инверсии;

  • Рассмотреть построение инверсных точек;
  • Рассмотреть применение инверсии к решению задач на построение;

Умение ориентироваться в пространстве складывается на протяжении всего дошкольного детства.Нарушения зрения оказывают негативное влияние на формирование навыков ориентировки в пространстве, вызывая ряд особенностей развития дошкольников, на это указывали в своих работах: Л.

Практическая значимость исследования нашего исследования заключается в том, что полученные результаты теоретического и экспериментального изучения роли дидактических игр в математическом развитии дошкольника, могут быть использованы воспитателями, педагогами, психологами, занимающимися с детьми в возрасте 5-6 лет.

Ребенок воспринимает пространство как нерасчлененную непрерывность. Слежение за движением предмета в пространстве у малыша развивается постепенно. Вначале он следит за горизонтально движущимся предметом, затем вертикально и, наконец, за предметом, движущимся по кругу и в вертикальной плоскости.

Ребенок воспринимает пространство как нерасчлененную непрерывность. Слежение за движением предмета в пространстве у малыша развивается постепенно. Вначале он следит за горизонтально движущимся предметом, затем вертикально и, наконец, за предметом, движущимся по кругу и в вертикальной плоскости.

Наибольшая эффективность достигается при условии обеспечения пространственными связями максимального уровня прямолинейности, пропорциональности, непрерывности и специализации совокупного производственного процесса и его отдельных операций, оптимально отображается в текущем производстве.

Как из векторного уравнения получить общий вид?

Речь идет о параметрическом векторном выражении для плоскости. Чтобы легче было понять ход операций и используемые математические приемы, рассмотрим конкретный пример:

(x; y; z) = (1; 2; 0) α*(2; -1; 1 ) β*(0; 1; 3 )

Раскроем это выражения и выразим неизвестные параметры:

x = 1 2*α;

y = 2 — α β;

z = α 3*β

Тогда:

α = (x — 1)/2;

β = y — 2 (x — 1)/2;

z = (x — 1)/2 3*(y — 2 (x — 1)/2)

Раскрывая скобки в последнем выражении, получаем:

z = 2*x-2 3*y — 6 или

2*x 3*y — z — 8 = 0

Мы получили общий вид уравнения для плоскости, заданной в условии задачи в векторной форме

Как построить плоскость через три точки?

Провести через три точки единственную плоскость возможно, если эти точки не принадлежат некоторой одной прямой. Алгоритм решения этой задачи заключается в следующей последовательности действий:

  • найти координаты двух векторов, соединив попарно известные точки;
  • вычислить их векторное произведение и получить нормальный к плоскости вектор;
  • написать общее уравнение, используя найденный вектор и любую из трех точек.
Рефераты:  Медицина будущего: технологии генетической инженерии для создания высокоспецифичных лекарств и инструментов молекулярной диагностики – Новости – Глобальные технологические тренды. Информационный бюллетень – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Приведем конкретный пример. Даны точки:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

Координаты двух векторов равны:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

Их векторное произведение будет равно:

n¯ = [RP¯*PQ¯] = (6; 2; 4)

Взяв координаты точки R, получаем искомое уравнение:

6*x 2*y 4*z -10 = 0 или

3*x y 2*z -5 = 0

Рекомендуется проверять правильность результата путем подстановки координат оставшихся двух точек в это выражение:

для P: 3*0 (-3) 2*4 -5 = 0;

для Q: 3*1 (-2) 2*2 -5 = 0

Отметим, что можно было не находить векторное произведение, а сразу записать для плоскости уравнение в параметрическом векторном виде.

Общее уравнение

В пространственной геометрии плоскость описывают с помощью уравнений, которые в общем случае содержат три неизвестные координаты, соответствующие осям x, y и z. Чтобы получить общее уравнение в координатах плоскости в пространстве, предположим, что имеется вектор n¯(A; B; C) и точка M(x0; y0; z0). Используя эти два объекта, можно однозначно определить плоскость.

Действительно, предположим, что имеется некоторая вторая точка P(x; y; z), координаты которой неизвестны. Согласно данному выше определению, вектор MP¯ должен быть перпендикулярен n¯, то есть произведение скалярное для них равно нулю. Тогда мы вправе записать следующее выражение:

(n¯*MP¯) = 0 или

A*(x-x) B*(y-y) C*(z-z) = 0

Раскрывая скобки и вводя новый коэффициент D, получаем выражение:

A*x B*y C*z D = 0, где D = -1*(A*x B*y C*z)

Это выражение принято называть общим для плоскости уравнением. Важно запомнить, что коэффициенты, стоящие перед x, y и z, образуют координаты перпендикулярного к плоскости вектора n¯(A; B; C). Он совпадает с нормалью и является для плоскости направляющим.

На рисунке выше показаны плоскость, нормальный к ней вектор и перпендикулярная прямая к плоскости.

Определение плоскости

Каждый интуитивно представляет, о каком объекте пойдет речь. С геометрической точки зрения плоскость — это совокупность точек, любые вектора между которыми должны быть перпендикулярны некоторому одному вектору. Например, если имеется m разных точек в пространстве, то из них можно составить m*(m-1)

Отсекаемые плоскостью отрезки на осях и соответствующее уравнение

Общее уравнение позволяет с помощью простых математических операций определить, в каких точках плоскость будет пересекать координатные оси. Эту информацию важно знать, чтобы иметь представление о положении в пространстве плоскости, а также при изображении ее на чертежах.

Для определения названных точек пересечения применяют уравнение в отрезках. Оно так называется по причине того, что явно содержит значения длин отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат, при ведении отсчета от точки (0; 0; 0). Получим это уравнение.

Запишем общее выражение для плоскости в следующем виде:

A*x B*y C*z = -D

Левую и правую части можно разделить на -D, не нарушая равенства. Имеем:

A/(-D)*x B/(-D)*y C/(-D)*z = 1 или

x/(-D/A) y/(-D/B) z/(-D/C) = 1

Обозначим знаменатели каждого члена новым символом, получаем:

p = -D/A; q = -D/B; r = -D/C тогда

x/p y/q z/r = 1

Это и есть упомянутое выше в отрезках уравнение. Из него следует, что значение знаменателя каждого члена указывает координату пересечения с соответствующей осью плоскости. Например, ось y она пересекает в точке (0; q; 0). Это легко понять, если подставить нулевые координаты x и z в уравнение.

Заметим, что если в уравнении в отрезках не будет присутствовать какой-либо переменной, то это означает, что соответствующую ось плоскость не пересекает. Например, дано выражение:

x/p y/q = 1

Это означает, что плоскость отсечет отрезки p и q на осях x и y соответственно, а вот оси z она будет параллельна.

Вывод о поведении плоскости при отсутствии в ее уравнении некоторой переменной справедлив также для выражения общего типа, что демонстрирует рисунок ниже.

Плоскости перпендикулярные и параллельные

Если плоскости пересекаются, и образованный ими двугранный угол равен 90o, то они будут перпендикулярными. Примером таких плоскостей можно назвать прямоугольную призму или куб. Эти фигуры образованы шестью плоскостями. В каждой вершине названных фигур встречаются три плоскости, перпендикулярные друг другу.

Чтобы выяснить, являются ли рассматриваемые плоскости перпендикулярными, достаточно рассчитать скалярное произведение их нормальных векторов. Достаточным условием перпендикулярности в пространстве плоскостей является нулевое значение этого произведения.

Параллельными называются непересекающиеся плоскости. Иногда также говорят, что параллельные плоскости пересекаются в бесконечности. Условие параллельности в пространстве плоскостей совпадает с таковым условием для направляющих векторов n1¯ и n2¯. Проверить его можно двумя способами:

  1. Вычислить косинус двугранного угла (cos(φ)), используя произведение скалярное. Если плоскости параллельны, то получится значение 1.
  2. Попытаться представить один вектор через другой с помощью умножения на некоторое число, то есть n1¯ = k*n2¯. Если это удастся сделать, тогда соответствующие плоскости являются параллельными.

На рисунке показаны две параллельных плоскости.

Теперь приведем примеры решения двух интересных задач, используя полученные математические знания.

Плоскость в пространстве. взаимное расположение плоскостей

Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.

Рефераты:  Мир парадоксов и абсурда (по книге "Алиса в стране чудес")

Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете — и сразу стройте такую «модель».

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают — значит, это одна плоскость, а не две.

Угол между плоскостями

Пусть плоскости Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве заданы соответственно уравнениями Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве . Требуется найти угол Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве плоскостей Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве с началами в точке Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве (рис. 11.6).

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве провести плоскость Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , перпендикулярную линии пересечения плоскостей Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , то прямые Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и изображения векторов Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , следовательно, угол Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве между нормальными векторами равен углу Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве .

Во втором варианте (рис. 11.8) Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , а угол Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве между нормальными векторами равен Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве . Так как

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

то в обоих случаях Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве .

По определению скалярного произведения Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве . Откуда

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

и соответственно

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

где Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве — любое число.

23.Различные виды уравнений прямой в пространстве
Векторно-параметрическое уравнение прямойВведение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве
где Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве — фиксированная точка, лежащая на прямой; Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве — направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространствеВведение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространствеВведение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространствеУравнения прямой по двум точкамВведение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве
24. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Канонические уравнения прямойВведение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространствеПараметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x 1 mt , y = y 1 nt , z = z 1 р t .
25. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве .
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве .
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве .
Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

На этом утверждении основана возможность определить расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми как расстояние между плоскостями, проведенными через каждые из данных прямых параллельно другой прямой.

§

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

26. уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

Рефераты:  Открытый урок. Исследовательский проект "Положительные и отрицательные числа вокруг нас."

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М. Отметим на прямой a две различные точки М1 и М2 (одна из них может совпадать с точкой M), а на прямой b точку М3, отличную от точки М. Покажем, что плоскость М1М2М3 есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b.

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Так как в плоскости М1М2М3 лежат две точки прямой a (точки М1 и М2), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М1М2М3, в частности, точка М. Тогда в плоскости М1М2М3 лежат все точки прямой b, так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М3) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b, и плоскость, проходящая через три точки М1, М2 и М2, совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, заданы две пересекающиеся прямые a и b, и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b.

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M1 и M2, лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M3, лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М1, М2 и М3 все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве . Из них видны координаты Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве точки М1 (они получаются при Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве ), а координаты точки М2 можно вычислить, придав параметру Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве любое ненулевое действительное значение (к примеру, Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве ). После этого можно получить параметрические уравнения прямой b и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М3, не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a).

Будем считать, что координаты точек М1, М2 и М3 найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве в виде Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве . Вычислив определитель матицы вида Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , мы получим общее уравнение плоскости М1М2М3, которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b.

Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве и Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве или Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Если Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве , то уравнение плоскости есть

Введение, Способы задания плоскости - Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

Список источников информации

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 2021. – 255 с.

2. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаева Е.В. Курс элементарной геометрии. Часть 2. – М.: Сантакс-Пресс, 1977. – 288 с.

3. Костицин В. Н. Практические занятия по стереометрии / В. Н. Костицин. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 160 с.

4. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.13-е изд. — М.: 2021 — 175 с.

5. Потоскуев Е. В. Геометрия.

1. кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 250 с.

Угол между плоскостями в пространстве

Интуитивно понятно, что плоскости в трехмерном пространстве могут либо пересекаться, либо нет. В первом случае представляет интерес найти угол между ними. Расчет этого угла выполнить сложнее, чем угла между прямыми, поскольку речь идет о двугранном геометрическом объекте. Однако на помощь приходит уже упомянутый вектор направляющий для плоскости.

Геометрически установлено, что двугранный угол между двумя пересекающимися плоскостями точно равен углу между их векторами направляющими. Обозначим эти вектора как n1¯(a1; b1; c1) и n2¯(a2;

φ = arccos(|(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|))

Здесь модуль в знаменателе используется, чтобы отбросить значение тупого угла (между пересекающимися плоскостями он всегда меньше или равен 90o).

В координатной форме это выражение можно переписать следующим образом:

φ = arccos(|a1*a2 b1*b2 c1*c2|/(√(a12 b12 c12)*√(a22 b22 c22)))

Уравнение параметрическое векторное

Существует третий вид уравнения, который позволяет описать в пространстве плоскости. Оно называется параметрическим векторным, поскольку задается двумя векторами, лежащими в плоскости, и двумя параметрами, которые могут принимать произвольные независимые значения. Покажем, как можно получить это уравнение.

Предположим, что существует пара известных векторов u ¯(a1; b1; c1) и v¯(a2; b2; c2). Если они являются не параллельными, то с их помощью можно задать конкретную плоскость, если зафиксировать начало одного из этих векторов в известной точке M(x0;

MP¯ = α*u¯ β*v¯

Или записывая это равенство через координаты, получим:

(x; y; z) = (x; y; z) α*(a1; b1; c1) β*(a2; b2; c2)

Представленное равенство является уравнением параметрическим векторным для плоскости. В пространстве вектора на плоскости u¯ и v¯ называются образующими.

Далее при решении задачи будет показано, как это уравнение можно привести к общему виду для плоскости.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий