Замечательные точки треугольника ℹ️ свойства, доказательство теорем о пересечении биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров, задачи на построение, применение

Замечательные точки треугольника — урок. геометрия, 8 класс

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема 2. (обратная) Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

(AN), (BM) — биссектрисы, (O) — точка их пересечения.

Является ли биссектрисой (CK)? Если точка (O) равноудалена от сторон (AB) и (AC) и от сторон (BA) и (BC), то она лежит на биссектрисе угла ∡C, так как равноудалена от сторон угла.

Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.

Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольникаТеорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.  

Допустим, точка (O) — точка пересечения двух серединных перпендикуляров сторон (AB) и (BC). Она равноудалена и от точек (A) и (B), и от точек (B) и (C). Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны (AC), так как равноудалена от её конечных точек.

Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении (2 : 1), считая от вершины.

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника

Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В (1765) году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.

В двадцатых годах (XIX) века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.

Презентация на тему: четыре замечательные точки треугольника

Описание слайда:

Четыре замечательные точки треугольника

Описание слайда:

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Теорема 2 ( обратная).

Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла. Дано: ВАС, АХ – биссектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС

Описание слайда:

Серединный перпендикуляр к отрезку Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр,М є РК Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.

Описание слайда:

Первая замечательная точка треугольника Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О — точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = ОP Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

Описание слайда:

Вторая замечательная точка треугольника Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: АВС, k,n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.

Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.

Описание слайда:

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:

Описание слайда:

Третья замечательная точка треугольника Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид) Дано: АВС, AM,ВК,СР — медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62.

Описание слайда:

Четвёртая замечательная точка треугольника Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке(ортоцентр). Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.

Описание слайда:

Доказательство: Через вершины В, А, С треугольника АВС проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Получим: АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ. Т.к.

ВН – высота АВС по условию, то ВН АС Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ. Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУи АК — серединный перпендикуляр к УЕ. Т. е.

ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ, которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.

Описание слайда:

Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB, AK = KC, DK AC, D є BC. Доказать: D — середина ВС, А = В С. D є BC по условию, значит, ВD = AD AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC следовательно, D – середина ВС. б) По доказанному AD = DC, значит, треугольники АВD и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С. ВАС = 1 2 = В С, что и т. д.

Пример решения задач с построением

Замечательные точки треугольника замечательные именно потому, что они имеют много полезных для решения задач свойств. Рассмотрим пример решения задачи на эту тему.

Задача.

Серединный перпендикуляр в ∆АВС, опущенный к АС, пересекает ВС в т. В. Найти BD, DC, если AD = 5 см BC = 9 см.

Решение.

Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный. Значит, AD = DC = 5 см.

ВD =ВС — DC = 4 см.

Ответ: DC = 5 см, ВD = 4 см.

Точка пересечения высот треугольника

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1, {BB}_1, {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n, m, p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ – точка пересечения серединных перпендикуляров $n и m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

По теореме 3, имеем: $OB=OC, OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Ученический проект “замечательные точки треугольника”

Слайд 1

« ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА». ( Прикладные и фундаментальные вопросы математики) Баранова Елена 8 кл., МКОУ «СОШ № 20» Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, учитель математики МКОУ «СОШ №20» Посёлок Новоизобильный 2021. Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №20»

Слайд 2

Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. Задачи: 1.Изучить необходимую литературу 2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника 3.. Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника 4.

Уметь строить замечательные точки треугольника. 5. Изучить область применения замечательных точек. Объект исследования — раздел математики — геометрия Предмет исследования — треугольник Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек.

Гипотеза: связь треугольника и природы

Слайд 3

Точка пересечения серединных перпендикуляров Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

• Слайд 4
• Точка пересечения биссектрис Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОВ
• Слайд 5
• Точка пересечения высот Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.
• Слайд 6

Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади.

Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов , началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3

1. Слайд 7
2. Точка Торричелли Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.
3. Слайд 8
4. Окружность девяти точек В1, А1, С1 – основания высот; А2, В2, С2 – середины соответствующих сторон; А3, В3, С3, — середины отрезков АН, ВН и СН.
5. Слайд 9
6. Прямая Эйлера Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.
7. Слайд 10

Н емного из истории открытия замечательных точек В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением.

Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ : ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.

Слайд 11

Связь геометрии с природой. В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА МВ МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.

Слайд 12

Выводы Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника.

Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным.

Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов .

Четыре замечательные точки треугольника

Коканова Надежда Петровна

Цели:— обобщить знания учащихся потеме «Четыре замечательные точки треугольника», продолжить работу по формированию навыков построения высоты, медианы, биссектрисы треугольника;

— познакомить учащихся с новыми понятиями вписанной окружности в треугольник и описанной около него;

— развивать навыкиисследования;- воспитывать настойчивость, точность, организованностьучащихся.

Задача: расширить познавательный интерес к предметугеометрия.

Оборудование:доска, чертёжные инструменты, цветные карандаши, модель треугольника на альбомном листе; компьютер, мультимедийный проектор, экран. 

Ход урока

1. Организационный момент (1 минута)Учитель: На этом уроке каждый из вас почувствует себя в роли инженера-исследователя, после окончания практической работы вы сможете оценить себя. Чтобы  работа была успешна, надо очень точно и организовано выполнять все действия с моделью в ходе урока. Желаю успеха.2. Подготовка к основному этапу урока (10-13 минут).Учитель: начертите в тетради неразвёрнутый угол

В. Какие вы знаете способы построения биссектрисы угла?

Определение биссектрисы угла. Два ученика выполняют на доскепостроение биссектрисы угла (по заранее заготовленным моделям) двумя способами: линейкой, циркулем. Следующие два ученика устнодоказывают утверждения:1. Каким свойством обладают точки биссектрисы угла?2. Что можно сказать о точках, лежащих внутри угла иравноудалённых от сторон угла?

Учитель: начертите в тетрадиостроугольный треугольник АВС и любым из способов, постройте  биссектрисы угла А и угла С, точка их

пересечения – точка О. Какую гипотезу можете выдвинуть о луче ВО? Докажите, что луч ВО — биссектриса треугольника АВС. Сформулируйте вывод о расположении всех биссектрис треугольника.3. Работа с моделью треугольника (5-7 минут).    1 вариант – остроугольный треугольник;    2 вариант – прямоугольный  треугольник;    3 вариант – тупоугольный треугольник.

Учитель: на модели треугольника постройте две биссектрисы, обведите их жёлтым цветом. Обозначьте точку пересечения

биссектрис точкой К.Смотреть слайд № 1.4.  Подготовка к основному этапу урока (10-13 минут).Учитель: начертите в тетради отрезок АВ. С помощью каких инструментов можно построить серединный перпендикуляр к отрезку? Определение серединного перпендикуляра. Два ученика выполняют на доскепостроение  серединного перпендикуляра

(по заранее заготовленным моделям) двумя способами: линейкой, циркулем. Следующие два ученика устно доказывают утверждения:1. Каким свойством обладают точки серединногоперпендикуляра к отрезку?

2. Что можно сказать о точках равноудалённых от концовотрезка АВ?Учитель: начертите в тетрадипрямоугольный треугольник АВС и постройте серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника АВС.

Обозначьте точку пересечения О. Проведите перпендикуляр к третьей стороне через точку О. Что вы заметили? Докажите, что это серединный перпендикуляр к отрезку.5.

 Работа смоделью треугольника (5 минут).Учитель: на модели треугольникапостройте серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника и обведите их зелёным цветом.

Обозначьте точку пересечения серединных перпендикуляров точкой О. Смотреть слайд № 2.

6. Подготовка к основному этапуурока (5-7 минут).Учитель: начертите тупоугольныйтреугольник АВС и постройте две высоты. Обозначьте их точку пересечения О.1. Что можно сказать о третьей высоте (третья высота,если её продолжить за основание, будет проходить через точку О)?

2. Как доказать, что все высоты пересекаются в однойточке?3. Какую новую фигуру образуют эти высоты и чем они в нейявляются? 

7. Работа с моделью треугольника (5 минут).

Учитель: на модели треугольника постройте три высоты и обведите их синим цветом. Обозначьте точку пересечения высот точкой Н. Смотреть слайд № 3.

Урок второй

8. Подготовка к основному этапу урока (10-12 минут).Учитель: начертите остроугольный треугольник АВС и постройте все его медианы. Обозначьте их точку пересечения О. Какимсвойством обладают медианы треугольника?    

9. Работа с моделью треугольника (5минут).Учитель: на модели треугольника постройте три медианы и обведите их коричневым цветом.

Обозначьте точку пересечения медиан точкой Т.Смотретьслайд № 4.10. Проверка правильности построения (10-15 минут).1. Что можно сказать о точке К? / ТочкаК-точка пересечения биссектрис, она равноудалена от всех сторон треугольника/

2. Покажите на модели расстояние от точки К долюбой стороны треугольника. Какую фигуру вы начертили? Как расположен этот

отрезок к стороне? Выделите жирно простым карандашом. (Смотреть слайд № 5).3. Чем является точка, равноудалённаяот трёх точек плоскости, не лежащих на одной прямой? Постройте жёлтым карандашом окружность с центром К и радиусом, равным выделенному простым карандашом расстоянию. (Смотреть слайд № 6).

4. Что вы заметили? Как расположена этаокружность относительно треугольника? Вы вписали окружность в треугольник. Как можно назвать такую окружность?                                                 

Учитель даёт определение вписанной окружности в треугольник. 5. Что можно сказать о точке О? ТочкаО –точка пересечения серединных перпендикуляров и она равноудалена от всех вершин треугольника . Какую фигуру можно построить, связав точки А,В,С и О?6.

7. Что вы заметили? Как расположена этаокружность относительно треугольника? Как можно назвать такую окружность? Как в таком случае можно назвать треугольник?                                                                            

Учитель даёт определение описанной окружности около треугольника. 8. Приложите к точкам О,Н и Т линейку ипроведите красным цветом прямую через эти точки. Эта прямая называется прямой

Эйлера.( Смотреть слайд № 8).9. Сравните ОТ и ТН. Проверьте ОТ :ТН=1 : 2. (Смотреть слайд № 9).

10. а) Найдитемедианы треугольника (коричневым цветом). Отметьте чернилами основания медиан.

Где находятся эти три точки?б) Найдитевысоты треугольника (синим цветом). Отметьте чернилами основания высот. Сколько этих точек? 1 вариант-3; 2 вариант-2; 3 вариант-3.в) Измерьтерасстояния от вершин до точки пересечения высот. Назовите эти расстояния (АН,

ВН, СН). Найдите середины этих отрезков и выделите чернилами. Сколько таких

точек? 1 вариант-3; 2 вариант-2; 3 вариант-3. 11. Посчитайте, сколько получилосьточек, отмеченных чернилами? 1 вариант — 9; 2 вариант-5; 3 вариант-9. Обозначьте

точки D1 , D2 ,…, D9. (Смотреть слайд № 10).Через этиточки можно построить окружность Эйлера. Центр окружности точка Е находится в середине отрезка ОН. Строим красным цветом окружность (Е ; ЕD1). Эта окружность, как и прямая,названа именем великого учёного. (Смотреть слайд № 11).  11. Презентация об Эйлере (5 минут).12. Итог 

Четыре замечательные точки треугольника — урок 3

Цели: рассмотреть теорему о точке пересечения высот треугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Решить устно:

1. Найти: РВKС, РАВС.

2. FK, FN серединные перпендикуляры.

• АВ = 16
• СF = 10
• Найти расстояние от точки F до стороны АВ.

II. Изучение нового материала.

Теорему о точке пересечения высот треугольника учителю желательно прокомментировать по заранее заготовленному чертежу, а детальное доказательство предложить учащимся провести дома самостоятельно или с помощью учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить устно:

Дуга АD – полуокружность.

2. Решить №№ 677, 684, 687.

№ 677.

Решение

1) АВО = 180° – АВN = 180° – СВN = CВО, то есть ВО – биссектриса АВС, аналогично СО – биссектриса АСВ.

2) По теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ, ВС, АС. Таким образом, ОН1 = ОН2 = ОН3, где ОН1 АВ, ОН2 ВС, ОН3 АС.

2. Получили, что АВ, ВС, АС – касательные к окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОН1.

№ 684.

Решение

1) По свойству углов при основании равнобедренного треугольника САВ = СВА.

2) МАВ – равнобедренный, АМ = ВМ и точка М лежит на серединном перпендикуляре к АВ.

3) Так как АС = СВ, то точка С также лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Таким образом, СМ АВ.

1. № 687.
2. Решение
3. 1) Построим серединный перпендикуляр m к отрезку АВ.
4. 2) Точка М – точка пересечения m c а.
5. 3) М – искомая.
6. Задача имеет решение в случае, если прямая АВ не перпендикулярна к данной прямой а.

IV. Итоги урока.

• Четыре замечательные точки треугольника.
• 1) О – точка пересечения медиан треугольника АВС.
• АМ : МА1 = ВМ = МВ1 = СМ = МС1 = 2 : 1.
• 2) K – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС.
• АK = KС = KВ.
• 3) М – точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС.
• МС1 = МА1 = МВ1.
• 4) N – точка пересечения высот треугольника (или их продолжений).

Домашнее задание: вопросы 1– 20, с. 187–188; №№ 688, 720.

Рекомендовать решать № 720 методом от противного.

Для желающих.

Полуокружность с концами АВ и отмечена точка K. С помощью одной линейки постройте прямую, проходящую через точку K и перпендикулярную к прямой АВ.

Использовать решение и чертеж устной задачи урока.