- Метод pert – метод событийного сетевого анализа, используемый для определения длительности программы при наличии неопределенности в оценке продолжительностей индивидуальных операций. pert основан на методе критического пути, длительность операций в котором рассчитывается как взвешенная средняя оптимистического, пессимистического и ожидаемого прогнозов. pert рассчитывает стандартное отклонение даты завершения от длительности критического пути.
- · использовать для обработки больших массивов информации компьютеры и компьютерные системы.
- Оптимизация сетевой модели по ресурсам
- Анализ и оптимизация сетевого графика
- Методы расчета временных параметров сетевых моделей и продолжительностей работ сетевых моделей
- Параметры сетевой модели онлайн
Метод pert – метод событийного сетевого анализа, используемый для определения длительности программы при наличии неопределенности в оценке продолжительностей индивидуальных операций. pert основан на методе критического пути, длительность операций в котором рассчитывается как взвешенная средняя оптимистического, пессимистического и ожидаемого прогнозов. pert рассчитывает стандартное отклонение даты завершения от длительности критического пути.
Метод графической оценки и анализа (метод GERT) применяется в тех случаях организации работ, когда последующие задачи могут начинаться после завершения только некоторого числа из предшествующих задач, причем не все задачи, представленные на сетевой модели, должны быть выполнены для завершения проекта.
В настоящее время происходит расширение методов и приемов использования сетевых методов.
· использовать для обработки больших массивов информации компьютеры и компьютерные системы.
Источники
6. Мазур И.И., Шапиро В.Д., Ольдерогге Н.Г. Управление проектами: Ученое пособие/ Под общ. ред. И.И.Мазура. – 3-е изд. – М.: Омега-Л, 2004. – с. 664.
7. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). Изд. 2, испр. и доп. – Кемерово, 2000. -177 c. ISBN 5-89070-043-X
8. Управление проектом. Основы проектного управления: ученик/ кол. авт.: под ред. проф. М.Л.Разу. – М.: КНОРУС, 2006. – 768 с.
Оптимизация сетевой
модели по ресурсам
Во
многих случаях численность
работников,
участвующих в выполнении комплекса
работ фиксирована и не может
превышать списочную
численность.
График
распределения занятости
работников
во времени часто требует в
отдельные периоды численность превышающую
списочную. Чтобы получить более равномерную
загрузку работников и уложиться в списочную
численность подразделения, можно сдвинуть
в сторону увеличения сроки начало и окончание
некоторых работ, но в пределах полного
резерва работы.
Цель
оптимизации сетевой модели по ресурсам
– выровнять загрузку исполнителей
и сократись численность занятых.
Оптимизация
по ресурсам проводится путем изменения
срока начала и окончания работ
ненапряженных путей в пределах
полного резерва Rпij
Оптимизация
проводится в следующей последовательности:
1.
Составляется карта проекта.
2.
По диаграмме ежедневной
потребности
и по календарному графику
последовательно
рассматриваются
участки графика, которые
ограничиваются
продолжительностью работ
критического
пути. Анализируется возможность сдвига
вправо работ участка, при этом применяется
следующая очередность оставления работ
на участке:
1)
работы критического пути;
2)
работы, не законченные в предыдущем
периоде;
3)
работы в последовательности
уменьшения полного резерва, при
этом учитывается фронт и коэффициенты
напряженности работ.
Для
рассматриваемого примера введём ограничения
– численность исполнителей в
каждый день не должна превышать 13 человек.
По
графику видно, что с двенадцатого
по девятнадцатый день включительно
численность исполнителей превышает ограничения,
а в остальные дни имеются резервы. Значит,
такой график требует оптимизации по ресурсам.
График,
изображенный на карте проекта, разбивается
на участки, ограниченные работами критического
пути.
Рассмотрим
первый участок – от начала работ до окончания
первой работы критического пути (0,1), т.е.
первые восемь дней. На этом участке необходимо
достичь числа исполнителей равного 13.
На участке находится только одна работа
(0,3), у которой нет полного резерва, то
есть этот участок остаётся без изменений
Второй
участок – с девятого по двенадцатый
день(между работами (0,1) и (1,2)). На этом
участке находятся работы (0,1), (1,5),
(5,7), (5,8), (5,6), (1,4) и (4,6). Анализируем возможность
передвинуть вправо работы участка,
учитывая при этом, что численность исполнителей
превышает списочную только в 19 день.
Работу
(0,1) передвигать нельзя, так как
она лежит на критическом пути.
Работа
(1,5) имеет полный резерв, равный 3 дням,
коэффициент напряжённости, равный
0,79, и позднее начало работы в 11 день,
то есть эту работу можно сдвинуть вправо
на 3 дня.
Работа
(5,7) имеет полный резерв, равный 11 дням,
коэффициент напряжённости, равный
0,54, и позднее начало в 22 день, то
есть эту работу возможно сдвинуть
вправо на 11 дней.
Работа
(5,8) имеет полный резерв, равный 11 дням,
коэффициент напряжённости, равный
0,54, и позднее начало в 22 дней, то
есть эту работу модно сдвинуть вправо
на 11 дней.
Работа
(5,6) имеет полный резерв, равный 3 дням,
коэффициент напряжённости, равный
0,79, и позднее начало в 14 день, то есть эту
работу можно сдвинуть вправо на 3 дня.
Работа
(1,4) имеет полный резерв, равный 1 дню,
коэффициент напряжённости, равный
0,93, и позднее начало в 9 день, то есть
её можно сдвинуть на 1 день.
Работа
(4,6) имеет полный резерв, равный 1 дню,
коэффициент напряжённости, равный
0,93, и позднее начало в 12 день.
Из
анализа видно, что вправо можно
передвинуть любую работу, кроме
работы критического пути.
Работу
(1,5) передвинем на все возможные 3 дня
резерва, работу (5,7) – на 11 дней, работу
(5,8) – на 8 дней, работу (5,6) – на три
дня. Численность работников теперь
не превышает 13 человек, поэтому можно
переходить к анализу следующего участка.
Третий
участок равен длительности работы
(2,2а-3) – 6 дней. На этом участке находятся
следующие работы: после разгрузки
предыдущего участка находится
работа (1,5), которую невозможно передвинуть;
работа (7,10), полный резерв которой равен
11 дням, коэффициент напряжённости – 0,54,
а позднее начало – в 24 день; работа (8,10),
полный резерв которой равен 11 дням, коэффициент
напряжённости – 0,54, а позднее начало
– в 28 день; работа (5,6), которая после разгрузки
предыдущего участка не имеет резервов;
работа (4,6), которая после разгрузки предыдущего
участка не имеет резервов; работы (2,2б-3),
(2,2а-3) и (0,3). Работа (2,2б-3) имеет полный резерв,
равный 3 дням, то есть её можно передвинуть
вправо на 3 дня. Работа (2,2а-3) – это работа
критического пути, её передвигать нельзя.
У работы (0,3) нет резервов. По результатам
анализа передвинем работу (7,10) на 11 дней,
работу (8,10) на 11 дней, работу (2,2б-3) на два
дня. Таким образом, численность работников
на этом участке больше не превышает 13
человек.
На
последующих участках численность
работников не превышает ограничения
в 13 человек, поэтому можно сделать
вывод об успешной оптимизации. По результатам
оптимизации составляем карту оптимизированного
проекта (рис. 10)
Рисунок 10 – Карта
оптимизированной по времени и ресурсам
сетевой модели
Анализ и оптимизация сетевого графика
Анализ и оптимизация сетевого графика проводятся с целью сокращения длины критического пути, рационального использования ресурсов.
Под оптимизацией сетевого графика понимают последовательное улучшение сети для достижения наиболее выгодных результатов и доведения расчетных параметров до заданных показателей по времени и ресурсам. Процесс оптимизации включает не только корректировку для достижения заданного срока, но и равномерное распределение трудовых, материально-технических, финансовых и других ресурсов.
Основные понятия имитационного моделирования сложных систем Устройство (средство) — элемент имитационной модели, который позволяет провести имитацию процесса обслуживания.
простые (одноканальные) — обслуживают одновременно одну заявку
сложные (многоканальные) — позволяют одновременно обслуживать несколько заявок.
Устройствам задаются приоритеты:
абсолютные (более приоритетная заявка прерывает обслуживание текущей заявки)
относительные (заявка большего приоритета ожидает окончания обслуживания текущей заявки).
Заявка — инициирует начало какого-либо процесса в системе. Заявка характеризуется внутренней структурой: одиночная/групповая (группа однотипных заявок). Генератор заявок — описывает законы поступления заявок в систему:
детерминированные (четко определяют время поступления заявки в систему)
вероятностные (можно использовать нормальное, равномерное, экспоненциальное и др.)
Задачи — представляют собой любую активность — элемент процесса
Очередь — элемент модели, который отображает пассивность и производит статистическое накопление результатов. Очередь включает заявки, которые по каким либо причинам не могут быть обслужены. Очереди ставятся перед каждым устройством, на входе системы, на выходе либо в точках, которые являются потенциальными «узкими» местами в системе, либо в этой точке необходимо провести дополнительное накопление результата.
Процесс — то, для чего описывается модель.
простые: последовательный характер выполнения; минимальное количество типов заявок и условий инициации процесса и обслуживания заявок; наличии простых устройств в обслуживании.
сложные: описываются большим количеством типов заявок; имеют сложные условия развития и инициации; используются сложные, многофазные устройства.
Для описания процесса необходимо знать:
заявки, которые с ним связаны
характер их поступления в систему (условия инициации самого процесса)
устройства, которые связаны с обслуживанием в рамках данного процесса
план-график выполнения работ или задач в рамках данного процесса
условия связи с другими процессами
критерий оценки эффективности
События — связаны с изменением состояния системы и ее объектов. События обеспечивают прерывистость процесса. Процесс представляется из набора активностей и пассивностей. Начало каждой активности связано с возникновением события в системе
сетевой системный графический программа
Методы расчета временных параметров сетевых моделей и продолжительностей работ сетевых моделей
Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных х и X, поэтому ее решение находится по формуле Крамера
Xi = di / d , (11)
где d – определитель основной матрицы системы уравнений (10); di – определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-го столбца столбцом из свободных членов.
Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленных системой уравнений (10).
Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму
Н – Ф ^ min , (12)
где Н – постоянная, и условием д2Ф/дх2 < 0.
Следует отметить, что решение задачи данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе невозможно при линейном программировании.
Таким образом, множество задач линейного программирования можно решать представленым методом квадратичного программирования.
Литература
1. Гасс С. Линейное программирование: методы и приложения. – М.: Наука, 1961. – 303 с.
УДК 630.3 Н.П. Воробович
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЕЙ РАБОТ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
В работе выполнен обзор и анализ различных методов расчета временных параметров сетевых моделей и графиков. Выполнен сравнительный анализ различных методов расчета продолжительностей работ сетевых моделей: нормативных расчетных методов, методов экспертных оценок, методов оценки по аналогам, методов моделирования Монте-Карло. Исследованы методы расчета, применяющие нормальный закон распределения вероятностей и бета-распределение.
Ключевые слова: метод, сетевая модель, продолжительность, работа, оценка, вычисление, закон распределения, алгоритм.
N.P. Vorobovich CALCULATION TECHNIQUES OF THE NETWORK MODELS TIME PARAMETERS AND DURATION OF THE NETWORK MODELS WORK
The review and analysis of various calculation techniques of the network models time parameters and graphs is conducted in the article. The comparative analysis of various calculation techniques of the network models work duration such as standard calculation techniques, subjective test techniques, estimation on the analogues techniques, Monte-Carlo modeling techniques is conducted. The calculation techniques using the normal law of probabilities and beta-distribution are researched.
Key words: technique, network model, duration, work, estimation, calculation, distribution law, algorithm.
Введение
Самое широкое распространение в управлении проектами получили традиционные сетевые модели, основой которых является теория графов. Одним из важнейших приложений теории графов является сетевое планирование и управление сложными комплексами взаимосвязанных работ. Для этой цели разработаны специальные методы, основанные на использовании сетевых графиков, являющихся графической моде-
лью комплекса работ или производственного процесса. С математической точки зрения сетевой график – это связный орограф без контуров. Дуги сетевого графика интерпретируются как работы, вершины – как события. Перед построением сетевого графика составляется список всех работ, входящих в комплекс. При этом необходимо четко представлять результат (событие) каждой работы, знать продолжительность выполнения работы, а также предшествующие ей и последующие за ней работы. Обычно считают, что каждый график имеет одно исходное I и одно завершающее S событие.
Методы расчета временных параметров
При анализе сетевых графиков прежде всего вычисляют его временные параметры. К основным временным параметрам относятся продолжительность критического пути (критический срок), резервы времени событий и резервы времени работ.
Критический путь – это наиболее протяженный по времени полный путь; его продолжительность и определяет критический срок ^ . Критических путей на сетевом графике может быть несколько.
Ранний срок t свершения события j – это самый ранний момент, к которому завершаются все работы, предшествующие этому событию: вычисляется по формуле t 4 шах С, 1С J гДе ~ мно’
жество работ, заканчивающихся м событием; tр ^ – ранний срок свершения начального события работы (у); t(ij) – продолжительность работы (у). Предполагается, что t О, t t .
Поздний срок tn ^ свершения события j – такой предельный момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием. Вычисляется по формуле tn ^= min ^ ^ 1 ^ j ^ где Ui – множество работ, заканчивающихся
Cjßui “
i-м событием; tn ^ ранний срок свершения начального события работы (у); t(ij) – продолжительность
работы (у). Для завершающего события S предполагается, что tn tр С Jr1 tKp.
Резерв времени R(i) события i показывает, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события / без нарушения срока наступления завершающего события и вычисляется по формуле
л<КС-‘,С
Ранний срок начала работы (у) находят по формуле t С J t
Ранний срок окончания работы (у) находят по формуле t J t g«j:
Поздний срок начала работы (/’ J) находят по формуле tn H ^ С У ^
Поздний срок окончания работы (/,_/) находят по формуле tn o С j ^ tn $
Ранний срок свершения события j находят по формуле / р ^ max tnH С./ .,
<*J Su j “
Поздний срок свершения события / находят по формуле t„ min tn И С J .
tjßUi ‘
Полный резерв времени R^ С j ^работы (i,j) – это максимальный запас времени, на которое можно
задержать начало работы или увеличить ее продолжительность при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок. Вычисляется по формуле
К С/ > tn tytp <> / С./ > tn <./3
Свободный резерв времени Rc С j^работы (i,j) – это максимальный запас времени, на которое можно отсрочить или (если она началась в свой ранний срок) увеличить ее продолжительность при условии,
что не нарушатся ранние сроки начала всех последующих работ. Вычисляется по формуле
К <./У*р <1У*р С-‘Х/у гр <1У 1ро С]’.
Критические работы, как и критические события, резервов не имеют.
Коэффициент напряженности работы определяет формула
Кн = 1 ——-
КР -КрЬ^
где полный резерв времени; tкp – общая продолжительность критического пути; I про-
должительность критических работ, совпадающих с максимальным путем, в состав которого входит работа, для которой определяется .
Знание коэффициента напряженности позволяет математически определять ответственность каждого менеджера проекта за выполнение той или иной работы проекта по всем иерархическим уровням управления.
Методы расчета продолжительностей работ сетевых моделей
Задача “Оценка продолжительности работ проекта” формулируется следующим образом. Заданы перечень и объемные характеристики работ проекта; ресурсы, необходимые для выполнения работ проекта; производительность этих ресурсов. Требуется определить продолжительность выполнения каждой работы проекта.
При определении продолжительности работ проекта необходимо получить оценки продолжительности работ проекта. Эти оценки бывают двух видов: детерминированные оценки продолжительности работ, вычисленные по расчетным формулам на основе достоверных исходных данных и нормативной базы; вероятностные оценки времени, которые необходимы для выполнения каждой работы проекта, и диапазоны возможных отклонений от этих величин. В мировой практике используются следующие методы и средства оценки продолжительности работ: нормативные расчетные методы, вероятностные методы, экспертные оценки, оценки по аналогам, методы моделирования Монте-Карло.
Нормативные расчетные методы. При наличии необходимой исходной информации (объемы работ, требуемые ресурсы, производительности ресурсов и др.) производительность работ Т определяется по известным формулам:
= Ур11ир1, где УрГ трудоемкость выполнения /-Й работы р-м видом ресурса; 17^ – интенсивность потребленияр-го ресурса на /-Й работе (С/ . = пхк),ще п-число исполнителей; /(-число смен;
=1¥1/<2р1хпхк,ще – объем /-Й работы в физических единицах; (¡2^- выработка одного ис-
полнителя в одну смену в тех же единицах.
Экспертные оценки. Как показывает опыт, на практике не всегда имеется необходимая информация для определения продолжительности работ проекта. В этих случаях привлекают экспертов, оценки которых базируются на знании, опыте и используемой архивной информации. Чем выше уровень подготовки экспертов, тем надежнее оценка продолжительности.
Поскольку для построения сетевой матрицы нужно определить время выполнения каждой операции, то возникает необходимость научно обоснованного формирования оценок времени в условиях заданных ограничений по ресурсам. Рекомендуется определять продолжительность выполнения работ на основе вероятностного метода. Для этого необходимо правильно выбрать соответствующий закон распределения вероятностей, которому подчинена продолжительность выполнения операций.
Установлено, что наилучшее распределение продолжительности работ согласуется с законом нормального распределения случайных величин. Но поскольку определение кривой распределения и других параметров – процесс довольно трудоемкий, то в практике моделирования используются следующие упрощенные формулы: ¡нв = („, ^р 1пс ^оп 2?ис^5, где /яв- наиболее вероятная про-
должительность выполнения данной операции; /ои – “оптимистическая” продолжительность выполнения данной операции; /ис – “пессимистическое время” выполнения данной операции; I – реальная продолжительность данной операции.
Определение продолжительности выполнения работ осуществляется, как правило, методом экспертных оценок.
Для распределения, характеризующегося формулой tHB = 4tp tnc’Jf>, а2 = 0,028h-a~^. Для
распределения, характеризующегося формулой tHB = $ton 2tnc^5, <т2 =(Ш^-яЗ’гДе a = L? b = he-
После определения параметров кривой распределения необходимо установить степень вероятности реализации проекта в условиях заданных ограничений. Для этого необходимо определить аргумент функции
распределения вероятностей Z = ^ -tKp 7^/У, оу„~ > гДе hup ~ заранее определенная продолжительность реализации проекта; t – продолжительность реализации проекта по критическому пути сетевой матрицы; _ сУмма дисперсий случайных величин по работам, составляющим критический путь.
На основе значения Z определяем величину значения нормальной функции распределения вероятностей, т.е. степень вероятности реализации проекта в заданных условиях. При значении Z в пределах от 0,6 до 1,0 считаем, что проект будет безусловно реализован. Если же значение Z менее 0,6, то возникает необходимость увеличения ресурсов с целью уменьшения дисперсии и соответственно увеличения величины Z. И, наоборот, если величина Z будет более 1, это означает, что в решение заложены излишние ресурсы, которые целесообразно изъять. Следует отметить, что директивное время можно определить по формуле
К,р =Ьр л1Т,а1 xZ’ где 2=1
Итак, наибольшее распространение получили следующие вероятностные методы определения продолжительности работ.
При нормальном законе распределения ожидаемая продолжительность работы рассчитывается по формуле Тож — С^п 4Тяв 7шах^6, где Tmm- минимально возможная продолжительность работы;
Ттх – максимально допустимая продолжительность работы; Гнв – наиболее вероятная продолжительность работы. Этот метод используется в системе PERT.
При бета-распределении используется формула Тож – 27шах ^5.
Оценки по аналогам. Оценки по аналогам используют продолжительность аналогичных работ ранее выполненных проектов как основу для определения продолжительности работ разрабатываемого проекта. Аналоговая оценка является одной из форм экспертной оценки.
Моделирование. Метод моделирования Монте-Карло позволяет с помощью генерации случайных чисел определить с учетом различных допущений вероятностную продолжительность работ проекта.
Литература
1. Богданов В.В. Управление проектами в Microsoft Project 2002: учеб. курс. – СПб.: Питер, 2003.
2. Воробович Н.П. Модели, методы и информационно-вычислительные технологии многопроектного управления в иерархических средах САПР и АСУ: Деп. в ВИИНИТИ 21.08.98, № 2631-В98 / Сиб. гос. технол. ун-т. – М., 1998. – 273 с.
3. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. – М.: Стройиздат, 1975.
4. Гусаков А.А., Ильин Н.И. Методы совершенствования организационно-технологической подготовки производства. – М.: Стройиздат, 1985.
5. ГоленкоД.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. – М.: Наука, 1968.
Параметры сетевой модели онлайн
а также позволяет оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за d дней.
Инструкция. Решение в онлайн режиме осуществляется аналитически и графически. Оформляется в формате Word (см. пример). Если требуется оптимизация сетевого графика по стоимости или по количеству рабочих, лучше использовать новую версию калькулятора.
см. также параметры сетевых моделей и методы их расчета
Как найти продолжительность критического пути табличным способом
Пример. Описание проекта в виде перечня выполняемых операций с указанием их взаимосвязи приведено в таблице. Построить сетевой график, определить критический путь, построить календарный график.
| Операция | Непосредственно предшествующая операция | Продолжительность |
| А | – | 3 |
| В | – | 8 |
| С | А | 5 |
| D | B | 1 |
| E | C,D | 6 |
| F | A | 2 |
Решение:
Критический путь: (0,1)(1,3)(3,4). Продолжительность критического пути: 15.
Независимый резерв времени работы RijН — часть полного резерва времени, если все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать, если окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если RijН≥0, то такая возможность имеется. Если RijН<0 (величина отрицательна), то такая возможность отсутствует, так как предыдущая работа ещё не оканчивается, а последующая уже должна начаться (показывает время, которого не хватит у данной работы для выполнения ее к самому раннему сроку совершения ее (работы) конечного события при условии, что эта работа будет начата в самый поздний срок ее начального события). Фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.
