Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция Реферат
На чтение 22 мин. Опубликовано

Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Содержание
  1. Алгоритм решения частных производных
  2. Примеры решения частных производных
  3. Частные производные второго порядка функции трёх переменных
  4. Частные производные и дифференциал функции
  5. Решение
  6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
  7. Формула
  8. Как найти значение?
  9. План решения
  10. Примеры решений
  11. Частные производные высших порядков
  12. Дифференциал функции двух переменных и его применение
  13. Вторая производная
  14. Частные производные. Примеры решений

Алгоритм решения частных производных

Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции

будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по

с помощью таблицы производных элементарных функций –

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Примеры решения частных производных

Найти частные производные функции

Частная производная функции по независимой переменной

Производная суммы равна сумме производных. Производная от

вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого

вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент

считается константой. Производная от слагаемого

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от

вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается

). Производная от слагаемого

считается константой, а

– независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого

Найдём частную производную функции по независимой переменной

является сложной. Производной показательной функции с основанием

является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что

является константой и равна

. Производная функции

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции

и показателя её степени

постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу

будет равна производной от

находится аналогичным образом, при этом предполагается, что

. Производная второго слагаемого –

В свою очередь, частная производная функции

Таким образом, окончательно получаем:

При нахождении производной по независимой переменной

Производная по независимой переменной

находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная

входит в показатель степени виде функции

Производная показательной функции равна:

Производная показателя степени равна:

В результате получаем:

Частная производная по независимой переменной

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня –

следует домножить на производную подкоренного выражения:

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня –

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием

равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени:

. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию:

. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций:

Нахождение частной производной функции по аргументу

Найти частные производные первого и второго порядков функции

Найдём частную производную первого порядка по аргументу

Найдём частную производную второго порядка по аргументу

Частные производные второго порядка функции трёх переменных

Общий
принцип нахождения частных производных
порядка второго порядка функции трёх
переменных аналогичен принципу нахождения
частных производных 2-го порядка функции
двух переменных. Поэтому, если вы хорошо
проработали урок Частные
производные функции двух переменных,
то будет всё очень просто.

Для
того чтобы найти частные производные
второго порядка, необходимо сначала
найти частные производные первого
порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

или
в другой записи:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частных
производных второго порядка девять
штук.

Первая
группа – это вторые производные по тем
же переменным:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
вторая производная по «икс»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
вторая производная по «игрек»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Вторая
группа – это смешанные частные
производные 2-го порядка, их
шесть:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная
«икс по игрек»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная
«игрек по икс»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная
«икс по зет»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная
«зет по икс»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная
«игрек по зет»;

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Как и
для случая функции двух переменных, при
решении задач можно ориентироваться
на следующие равенства смешанных
производных второго порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Примечание:
строго говоря, это не всегда так

На
всякий случай несколько примеров, как
правильно читать сиё безобразие
вслух:

 –
«у два штриха дважды по игрек»;

 –
«дэ два у по дэ зет квадрат»;

 –
«у два штриха по икс по зет»;

 –
«дэ два у по дэ зет по дэ игрек».

Примеры на нахождение
частных производных 2-го прядка для
функции трёх переменных на практике
встречаются реже. Обычно они не очень
сложные, но довольно большие по объему.

Найти
все частные производные первого и
второго порядка функции трёх переменных

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Решение: Сначала
найдем частные производные первого
порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные
второго порядка рекомендую начинать
искать со смешанных производных,
поскольку это позволит выяснить, а
правильно ли вообще найдены производные
первого порядка.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и
дифференцируем её по «игрек»:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и
дифференцируем её по «икс»:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Разбираемся
со второй парой смешанных производных.

Берём
найденную производную 
 и
дифференцируем её по «зет»:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Аналогично
разбираемся с третьей парой смешанных
производных:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

После проделанных
трудов гарантированно можно утверждать,
что, во-первых, мы правильно нашли все
частные производные 1-го порядка,
во-вторых, правильно нашли и смешанные
частные производные 2-го порядка.

Осталось
найти ещё три частные производные
второго порядка,  вот здесь уже во
избежание ошибок следует максимально
сконцентрировать внимание:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Готово.
Повторюсь, задание не столько сложное,
сколько объемное. Решение можно сократить
и сослаться на равенства смешанных
частных производных, но в этом случае
не будет проверки. Поэтому лучше таки
потратить время и найти все производные
(к тому же это может потребовать
преподаватель), или, в крайнем случае,
выполнить проверку на черновике.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Это пример для
самостоятельного решения.

Решения и ответы:

Пример
4: Решение: Найдем
частные производные первого
порядка.

Составим
полный дифференциал первого порядка:

Пример
6: Решение: Вычислим
частные производные первого порядка в
точке 
:

Пример
7: Решение: Вычислим
частные производные первого порядка в
точке 
:

Пример 
9: Решение: Найдем
частные производные первого порядка:

Пример 
11: Решение: Найдем
частные производные первого
порядка:

Найдем
частные производные второго
порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

ЛЕКЦИЯ
2.
ЧАСТНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ И
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные
производные функции двух переменных.
Зафиксируем значение одной из переменных
функции

Определение
2.1.
Частной
производной первого порядкафункции
по переменной

Таким образом,
частной
производной по аргументу

Рефераты:  Как пишется реферат (пример, образец оформления)

функции

Определение
2.2.
Частными
производными второго порядка
функции

называются частные производные от её
частных производных первого порядка.

Частные производные

,

называются смешанными
частными производными второго порядка.

Отметим, что
смешанные частные производные второго
порядка равны между собой. Это замечание
справедливо для смешанных производных
любого порядка.

Таким образом,
частная производная

-го
порядка функции

есть первая частная производная от её
частной производной

Аналогично
определяются и вычисляются частные
производные второго и высших порядков
от функции трёх и большего числа
переменных.

► Пример.
Найти
частные производные второго порядка
функций:

в точке

.

Решение.
а) Найдем
частные производные первого порядка:

Найдем частные
производные второго порядка:

Геометрический
смысл частных производных функции двух
переменных.
Графиком функции

является некоторая поверхность (рис.
1). Уравнение

задаёт плоскость, параллельную
координатной плоскости

.
Линию пересечения функции

и плоскости

описывает функция

(функция одной переменной).
Её
производная в точке

– угол между осью

и касательной к кривой

в точке

Полное приращение
и полный дифференциал функции двух
переменных

Определение
2.3.
Полным
приращением функции
двух переменных называется изменение
функции при заданных приращениях всех
переменных.

В частности, полным
приращением функции

в точке

является разность

Представим эту
разность следующим образом:

Рассмотрим частную
производную функции

в точке

по переменной

:

В итоге получаем

где

при

,

.

Запишем полное
приращение функции

в точке

с учетом проведённых преобразований:

где

,

при

,

.

Сумма первых двух
слагаемых в последнем равенстве
представляет собой главную
часть приращения функции.

в точке
функции

называется главная линейная относительно

часть полного приращения функции в этой
точке:

Дифференциалы
независимых переменных равны их
приращениям:

поэтому полный
дифференциал функции

находится по формуле:

– частный дифференциал функции

по переменной

,

– частный дифференциал функции

по переменной

.

Аналогично
определяется полный дифференциал
функции любого числа переменных. Функция,
имеющая полный дифференциал в данной
точке, называется дифференцируемой
в этой точке.
Таким образом, если в данной точке и
некоторой её окрестности частные
производные функции непрерывны, то
функция дифференцируема в этой точке
(обратное также верно).

Полным дифференциалом
второго порядка функции

► Пример.
Найти
полные дифференциалы первого и второго
порядков функции

Решение.
Находим
частные производные первого порядка:

Полный дифференциал
первого порядка данной функции имеет
вид:

Находим частные
производные второго порядка:

Полный дифференциал
второго порядка данной функции имеет
вид:

При достаточно
малых

и

для дифференцируемой в точке

функции

верно приближенное равенство

Последняя формула
для приближенных вычислений значения
функции

в точке

► Пример.
Найти
изменение объема конуса с высотой 30 см
и радиусом основания 10 см при увеличении
этих измерений на 3 мм и на 1 мм
соответственно.

есть функция двух переменных

Найдем значения
частных производных

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Частные производные и дифференциал функции

Частной производной
функции нескольких переменных по
одной из этих переменных называется
предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению
данной переменной, когда последнее
стремится к нулю (если этот предел
существует).

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Из
определения частных производных следует,
что для нахождения производной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

надо считать постоянной переменнуюy,
а для нахождения

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

При
нахождении частной производной пользуются
правилами дифференцирования
функции одной переменной, считая все
другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом
функции называется
сумма произведений частных производных
этой функции на приращения соответ-
ствующих
независимых переменных, т. е.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Для независимых
переменных x
и y
любые приращения x
и y
будем считать их дифференциалами, т. е.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Тогда полный
дифференциал функции
z
= f(x;
y)
вычисляется по следующей формуле:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

а для функции трех
переменных u
= f(x;
y;
x):

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Полный дифференциал
часто используется для приближенных
вычислений
значений функции, т. е.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Существование
частных производных является лишь
необходимым,
но недостаточным условием дифференцируемости
функции.

Следующая теорема
выражает достаточное
условие дифференцируемости функции
двух переменных.

Теорема.
Для того
чтобы функция z
= f(x;
y)
была дифференцируемой в данной точке,
достаточно, чтобы она обладала частными
производными, непрерывными в этой точке.

Пример 11.Вычислить
частные производные и полный дифференциал
функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Решение

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

есть частное значение функцииf(x;
y)
= xy
при x
= 1,07, y
= 3,97. Известно, что f(1;
4) = 1. Поэтому принимаем x0
= 1, y0
= 4. Тогда

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

функцииz
= x2
– 4y
равен:

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными
производными второго порядка называют
частные производные,
взятые от частных производных первого
порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Аналогично
определяются частные производные
третьего и более высоких порядков.
Запись

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

означает, что функцияzk
раз продифференцирована по переменной
x
и

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

называютсясмешанными.
Значения
смешанных производных равны в тех
точках, в которых эти производные
непрерывны.

Полный дифференциал
второго порядка d 2z
функции z
= f(x;
y)
выражается формулой

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Дифференциалы
высших порядков
определяются по аналогии

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример 13.Найти
частные производные второго порядка
функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Вначале найдем
частные производные первого порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Продифференцировав
их еще раз, получим

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Сравнивая последние
два выражения, видим, что

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример 14.Найти полный
дифференциал второго
порядка функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Тест9.Частная
производная второго порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Тест10.Частная
производная второго порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

функцииz
= 7x2y
– 4y2
равна:

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

Частные производные неявно заданной функции

Как найти значение?

Найти значение частной производной функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Частная производная в точке обозначается и вычисляется по формуле:

Примеры решений

Найти частную производную $ u = xy + ln(y^3+z^3) $ в точке $ M(1,2,3) $

Ограничимся случаем
функции двух переменных (для большего
числа переменных аналогично).

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

называется частным
приращением функции по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Аналогично
определяется частное
приращение функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Обозначается
частная производная по

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные
можно рассматривать как скорости
изменения функции относительно одной
из переменных
(в направлении соответствующей оси
координат). Для нахождения частной
производной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

используются правила дифференцирования
функции одной переменной,считая
переменную
постоянной..
Аналогично, для нахождения частной
производной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример 4.
Для функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и вычислить их значения в точке

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

находится в предположении, что

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Найдем частную
производную функции по

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Вычислим значения
частных производных при

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные высших порядков

Введем понятие
частных производных высших порядков.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и в каждой точке окрестности точки

Рефераты:  Скульптура Древнего Египта - Энциклопедия Древнего Египта

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Запишем для
все частные производные второго порядка:

Аналогично
определяются и обозначаются частные
производные третьего порядка,
например:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

  • Производные,
    взятые последовательно по разным
    переменным, называются смешанными
    частными производными.
    Для функции
    двух переменных смешанные частные
    производные есть
    ,.
  • Теорема. Если
    смешанные частные производные функции
    нескольких переменных непрерывны в
    некоторой точке
    ,
    то они равны между собой в этой точке.

Для функции двух
переменных значения смешанных частных
производных не зависят от порядка
дифференцирования:

Пример 5.
Для функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

найти частные производные второго
порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

находится последовательным
дифференцированием сначала функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

постоянным), затем дифференцированием
производной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

находится дифференцированием функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Смешанные частные
производные равны между собой:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Дифференциал функции двух переменных и его применение

Рассмотрим функцию
двух переменных

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Пусть каждый аргумент

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и стал равным

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

«перешла» в точку

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

называется полным
приращением функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример 1.Для функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Таким образом, в
полном приращении функции можно выделить
слагаемые,
линейные относительно приращений
аргументов
и:

Нетрудно видеть,
что коэффициенты при приращениях

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

есть частные производные функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Так как для
независимых переменных

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

их дифференциалы равны приращениям

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Итак, если функция
дифференцируема в точке
,
то она имеет частные производные в этой
точке

Пример 2.
Полный дифференциал для

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

функции приближенно равно полному
дифференциалу

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Формула «полных
приращений»
позволяет приближенно вычислить значение
функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

,
если известны значения функции и ее
частных производных в ближайшей точке

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и вычислим ее значение в точке

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Ближайшей точкой является точка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Найдем значения
функции и частных производных в точке

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Подставим найденные
значения в формулу полных приращений,
получим

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Вторая производная

Всё
очень просто. Вторая производная –
это производная
от первой производной:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Рассмотрим
простейший пример. Найдем вторую
производную от функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Для того чтобы
найти вторую производную, как многие
догадались, нужно сначала найти первую
производную:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Теперь находим
вторую производную:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Рассмотрим более
содержательные примеры.

Найти
вторую производную функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

На
каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли
что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит
дифференцировать произведение двух
функций, и мы избавимся от этой
неприятности, применив
известную тригонометрическую
формулу

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Точнее говоря, использовать формулу
будем в обратном направлении:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Можно
было пойти другим путём – понизить
степень функции еще перед дифференцированием,
используя формулу

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Если интересно,
возьмите первую и вторую производные
снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу,
что понижение степени бывает очень
выгодно при нахождении частных
производных функции.
Здесь же оба способа решения будут
примерно одинаковой длины и сложности.

Как и
для первой производной, можно
рассмотреть задачу
нахождения второй производной в точке.

Например:
Вычислим значение найденной второй
производной в точке

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Необходимость
находить вторую производную и вторую
производную в точке возникает при
исследовании графика функции на
выпуклость/вогнутость и перегибы.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Аналогично можно
найти третью производную, а также
производные более высоких порядков.
Такие задания встречаются, но встречаются
значительно реже.

Пример
2: Найдем производную:

Вычислим
значение функции в точке 
:

Пример
4: Найдем производную:

Вычислим
производную в заданной точке:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

2)
Найдем производную. Перед дифференцированием
функцию выгодно упростить:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример
8: Преобразуем функцию:

Найдем
производную:

Запишем
дифференциал:

Пример
10: Найдем производную:

Запишем
дифференциал:

Вычислим
дифференциал в точке 
:

Пример
12: Найдем первую производную:

Найдем
вторую производную:

Вычислим:

Частные производные. Примеры решений

На
данном уроке мы познакомимся с понятием
функции двух переменных, а также подробно
рассмотрим наиболее распространенное
задание – нахождение частных
производныхпервого
и второго порядка, полного дифференциала
функции. Студенты-заочники, как правило,
сталкиваются с частными производными
на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим
наблюдениям, задание на нахождение
частных производных практически всегда
встречается на экзамене.

Для
эффективного изучения нижеизложенного
материала Вам необходимо уметь
более или менее уверенно находить
«обычные» производные функции одной
переменной. Научиться правильно
обращаться с производными можно на
уроках Как
найти производную? иПроизводная
сложной функции.
Также нам потребуется таблица производных
элементарных функций и правил
дифференцирования, удобнее всего, если
она будет под рукой в распечатанном
виде. Раздобыть справочный материал
можно на страницеМатематические
формулы и таблицы.

Начнем
с самого понятия функции двух переменных,
я постараюсь ограничиться минимумом
теории, так как сайт имеет практическую
направленность. Функция двух переменных
обычно записывается как

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Также встречаются задания, где вместо
буквы

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Полезно
знать геометрический смысл функций.
Функции одной переменной 
 соответствует
определенная линия на плоскости,
например,

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
всем знакомая школьная парабола. Любая
функция двух переменных 
 с
геометрической точки зрения представляет
собой поверхность в трехмерном
пространстве (плоскости, цилиндры, шары,
параболоиды и т.д.). Но, собственно, это
уже аналитическая геометрия, а у нас на
повестке дня математический анализ.

Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков. Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал: частные
производные – это почти то же самое,
что и «обычные» производные функции
одной переменной.

Для
частных производных справедливы все
правила дифференцирования и таблица
производных элементарных функций. Есть
только пара небольших отличий, с которыми
мы познакомимся прямо сейчас.

Найти
частные производные первого и второго
порядка функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Сначала найдем
частные производные первого порядка.
Их две.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
частная производная по «икс»

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
частная производная по «игрек»

Начнем
с 
. Когда
мы находим частную производную по «икс»,
то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1)
Первое, что мы делаем при нахождении
частной производной – заключаем всю функцию
в скобки под штрих с
подстрочным индексом.

Внимание,
важно! Подстрочные
индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В
данном случае, если Вы где-нибудь
нарисуете «штрих» без

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(сразу
откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг
комментироваться не будет, все сделанные
замечания справедливы для любого примера
по рассматриваемой теме.

(2)
Используем правила дифференцирования 
, 
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как  считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

мы
выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
 ничем
не лучше обычного числа. Теперь посмотрим
на третье слагаемое

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как 
 константа,
то 
 –
тоже константа, и в этом смысле она ничем
не лучше последнего слагаемого –
«семерки».

(3)
Используем табличные производные 
 и 
.

(4) Упрощаем, или,
как я люблю говорить, «причесываем»
ответ.

Теперь 
. Когда
мы находим частную производную по
«игрек», то переменная 
 считается
константой (постоянным числом).

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1)
Используем те же правила дифференцирования 
, 
.
В первом слагаемом выносим константу 
 за
знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку

Рефераты:  День победы русских воинов князя Александра Невского над немецкими рыцарями на Чудском озере » ОКО ПЛАНЕТЫ информационно-аналитический портал

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(2)
Используем таблицу производным
элементарных функций. Мысленно
поменяем в таблице все «иксы» на «игреки».
То есть данная таблица рАвно справедлива
и для (да
и вообще почти для любой буквы). В
частности, используемые нами формулы
выглядят так: 
 и

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Итак, частные
производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем
же отличается нахождение частных
производных от нахождения «обычных»
производных функции одной переменной:

1)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

2)
Когда мы находим частную
производную 
, переменная 
 считается
константой.

3)
Правила и таблица производных элементарных
функций справедливы и применимы для
любой переменной (
, 
 либо
какой-нибудь другой), по которой ведется
дифференцирование.

Шаг второй. Находим
частные производные второго порядка.
Их четыре.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

–
вторая производная по
«игрек»

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

В
понятии второй производной нет ничего
сложного. Говоря простым языком, вторая
производная – это производная от первой
производной.

Для
наглядности я перепишу уже найденные
частные производные первого порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Сначала
найдем смешанные производные:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Как
видите, всё просто: берем частную
производную 
 и
дифференцируем ее еще раз, но в данном
случае – уже по «игрек».

Для
практических примеров справедливо
следующее равенство:

Таким образом,
через смешанные производные второго
порядка очень удобно проверить, а
правильно ли мы нашли частные производные
первого порядка.

Находим
вторую производную по «икс».

Никаких
изобретений, берем 
 и
дифференцируем её по «икс» еще раз:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Следует
отметить, что при нахождении 
, 
 нужно
проявить повышенное
внимание, так как
никаких чудесных равенств для проверки
не существует.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Это
пример для самостоятельного решения
(ответ в конце урока). Если возникли
трудности с дифференцированием корней,
рекомендую ознакомиться уроком Как
найти производную?

При определенном
опыте частные производные из примеров
№№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более
сложным примерам.

Найти
частные производные первого порядка
функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Решение:
Находим частные производные первого
порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Обратите
внимание на подстрочный индекс:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1)
Выносим все константы за знак производной.
В данном случае 
 и

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

,
а, значит, и их произведение

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(2) Не забываем, как
правильно дифференцировать корни.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1)
Выносим все константы за знак производной,
в данной случае константой является

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(2) Под
штрихом у нас осталось произведение
двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования
произведения 
.

(3) Не
забываем, что

– это сложная функция (хотя и простейшая
из сложных). Используем соответствующее
правило:

.

Теперь находим
смешанные производные второго порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

,
значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем
полный дифференциал 
.
В контексте рассматриваемого задания
не имеет смысла рассказывать, что такое
полный дифференциал функции двух
переменных. Важно, что этот самый
дифференциал очень часто требуется
записать в практических задачах.

Полный
дифференциал первого порядка функции
двух переменных имеет вид:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

В данном случае:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

То
есть, в формулу нужно просто подставить
уже найденные частные производные
первого порядка. Значки дифференциалов 
 и 
 в
этой и похожих ситуациях по возможности
лучше записывать в числителях:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого
порядка 
.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления задачи – в конце
урока.

Рассмотрим серию
примеров, включающих в себя сложные
функции.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1)
Применяем правило дифференцирования
сложной функции 
.
С урока Производная
сложной функцииследует помнить
очень важный момент: когда мы по таблице
превращаем синус (внешнюю функцию) в
косинус, то вложение

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(2)
Здесь используем свойство корней:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

за знак производной, а корень

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Запишем
полный дифференциал первого порядка:

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Это пример для
самостоятельного решения (ответ в конце
урока). Полное решение не привожу, так
как оно достаточно простое

Довольно часто
все вышерассмотренные правила применяются
в комбинации.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1) Используем
правило дифференцирования суммы

(2)
Первое слагаемое  в данном случае
считается константой, поскольку в
выражении

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

нет ничего, зависящего от «икс» – только
«игреки».

(Знаете,
всегда приятно, когда дробь удается
превратить в ноль).

Для
второго слагаемого применяем правило
дифференцирования произведения. Кстати,
в этом смысле ничего бы не изменилось,
если бы вместо

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

была дана функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

(1) В
первом слагаемом и в числителе и в
знаменателе содержится «игрек»,
следовательно, нужно использовать
правило дифференцирования частного: 
. 
Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от
«икс», значит, 
 считается
константой и превращается в ноль. Для
третьего слагаемого используем правило
дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей,
которые мужественно добрались почти
до конца урока, расскажу старый
мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды
в пространстве функций появилась злобная
производная и как пошла всех
дифференцировать. Все функции разбегаются
кто куда, никому не хочется превращаться!
И только одна функция никуда не убегает.
Подходит к ней производная и спрашивает:

– А
почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха.
А мне всё равно, ведь я «е в степени икс»,
и ты со мной ничего не сделаешь!

На
что злобная производная с коварной
улыбкой отвечает:

– Вот
здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую
по «игрек», так что быть тебе нулем.

(Кто
понял анекдот, тот освоил производные,
минимум, на «тройку»).

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Ну вот почти и всё.
Напоследок не могу не обрадовать
любителей математики еще одним примером.
Дело даже не в любителях, у всех разный
уровень математической подготовки –
встречаются люди (и не так уж редко),
которые любят потягаться с заданиями
посложнее. Хотя, последний на данном
уроке пример не столько сложный, сколько
громоздкий с точки зрения вычислений.

Дана
функция двух переменных

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

.
Найти все частные производные первого
и второго порядков.

Это пример для
самостоятельного решения. Полное решение
и образец оформления где-то рядом.

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Пример
4: Ссылка для просмотра ниже.

Если задана функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

и вычислены ее частные производные

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Если взять частную производную по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

то получим частную производную второго порядка функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

, которую взято вначале по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

а потом – по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Аналогично, частная производная по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

дает вторую смешанную частную производную функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

вычисленную вначале по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

от производной первого порядка

есть второй частной производной от функции

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

определяет производную третьего порядка функции

найденную три раза по переменной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

– смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной

и от полученной производной

Частные производные второго порядка и функции трёх переменных в чём состоит их функция

найдена один раз производная по переменной

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий

© 2024 Реферат Зона