Читать реферат по математике: “История геометрии” Страница 1 | скачать бесплатно, рефераты, отзывы

Введение

Геометрия
возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — изме­рять)— наука о пространстве,
точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в
нем занимают вещественные тела.

Таково классическое опреде­ление геометрии,
или, вернее, таково действительное значе­ние классической геометрии. Однако
современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы
этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию
понятия о пространстве.

В том значении, в котором пространство как
математический тер­мин широко употребляется современными геометрами, оно. уже
не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии,
а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Важную роль играли и эстетические
потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины
окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению
геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае,
Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые
добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и
передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например,
правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д.
Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой
научной теории.

1.  
Геометрия
на Востоке

Родиной геометрии считают обыкновенно
Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно
сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу.

Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в
Ассирии, в Египте, были связаны с необ­ходимостью измерять расстояния и участки
на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные
сооружения требовали нивелирования, выдержанной верти­кали, знакомства с планом
и перспективой.

Необходимость измерять промежутки времени требовала
систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, изме­рения
углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во
всех названных странах основ­ные геометрические представления возникали частью
неза­висимо друг от друга, частью — в порядке преемственной передачи.

Однако
точных сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем.
Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при
фараоне Payee ученым писарем
его Ахмесом (Ahmes) в период между
2000 и 1700 г. до нашей эры.

Это — руководство, содержащее различного рода
математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к
ариф­метике, меньшая часть — к геометрии. Из последних почти все связаны с
измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес принимает площадь
равнобедренного треугольника  равной  произведению  основания  на   половину
боковой  стороны,  а площадь  круга — равной  площади  ква­драта,  сторона 
которого  меньше диаметра  на   1/3  его часть (это  дает  л=3,160…);  
площадь  равнобочной   трапеции   он принимает равной произведению  
полусуммы   параллельных сторон на боковую сторону.

Как видно из нескольких
других задач Ахмеса,  египтяне в эту пору знали, что углы прямо­угольного 
треугольника   определяются   отношением   катетов. Как они пришли ко всем этим
правилам, знали ли наиболее просвещенные   жрецы — хранители    египетской  
науки, — что их данные являются лишь приближенными, об этом  мы не имеем 
никаких сведений.

Столь же мало  знаем  мы о том, что прибавило к этим
познаниям  египтян  следующее тыся­челетие; сколько-нибудь значительных успехов
они во всяком случае не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из этих
сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов.

Несомненно лишь то, что геометриче­ские сведения  вавилонян  были  столь же 
отрывочны и столь же  скудны.  Им  принадлежит деление окружности  на  360о;
они имели сведения о параллельных линиях и точно воспро­изводили  прямые
углы;   всё  это  было  им   необходимо   при астрономических  наблюдениях, 
которые,  по-видимому,  глав­ным   образом   и   привели   к   их  
геометрическим   знаниям.

Вавилоняне  знали,  что  сторона  правильного  
вписанного   в круг  шестиугольника   равна    радиусу. Характерным для этого
первого, в известном смысле доисто­рического,   периода  геометрии  являются 
две  стороны  дела: во-первых,   установление   наиболее  элементарного  
геометри­ческого материала, прямо необходимого в практической ра­боте,   а 
во-вторых,   заимствование этого   материала  из  при­роды   путем
непосредственного   наблюдения   («чувственного восприятия»,   по   словам    Евдема   
Родосского).

2. Греческая геометрия

Греческие авторы относят появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. и связывают
его с именем Фалеса Милетского (639—548), вся научная деятельность которого
изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно.

Достоверно, по-види­мому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по
Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том
числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив
себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую
Ионийскую школу.

Фалесу приписывают открытие ряда основных геометрических
теорем (например, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п.). Важ­нее, по-видимому,
другое. Трудно допустить, чтобы наука, “хотя бы в зачаточном своем
состоянии, была перенесена на треческую почву одним чел овеком.

Важио то, что в
Элладе в иных условиях экономических отношений и социальной жизни образовался
класс, для того времени несомненно про­грессивный, не только усвоивший
восточную культуру, но и развивший ее до неузнаваемой высоты, создавший, таким
образом, уже свою высокую эллинскую культуру.

В условиях быстро развивавшейся
архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях
развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики,
механики, требовавших точных измерений, не только очень   скоро обнаружились
противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде ее
скудный материал перестал удовлетворять возросшим потребностям.

Элементарные
приемы непосредственного наблюдения вос­точной геометрии были бессильны перед
новыми задачами. Чтобы их разрешить, было необходимо оторвать геометрию от
непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, — задач, узких при
всей их важности, — и поста­вить ей неизмеримо более широкие задания.

Этой
тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа пере­несла геометрию
в область гораздо более широких представлений и задач, придала ей теоретический
характер и сделала ее предметом тонкого исследования, в котором наряду с
интуицией начинает играть видную роль и абстрактная ло­гика.

Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской школе только намечался,
подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у
Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Алексан­дрийской школе нашел свое
завершение.

Была создана наука, широкая по замыслу, богатая фактическим
материалом и, несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд чрез­вычайно
важных практических применений. Больше того, можно сказать, что именно в
абстрактной структуре, кото­рую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. до н. э., и коренится
возможность ее многообразного конкретного использования.

Самое слово «геометрия» недолго сохраняет свое перво­начальное
значение — измерения земли. Уже Аристотель ввел для такого измерения новый
термин — геодезия. Однако и содержание этой новой дисциплины скоро тоже стали
понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается
современным термином «мет­рическая геометрия».

В трудах Фалеса, Пифагора,
Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать
только важнейших, с необы­чайной быстротой производятся установление и
системати­зация фактического материала классической геометрии. Нужно отметить,
что нам известны лишь разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии;
многие звенья и имена совершенно утрачены. Около IV в. до н. э. уже стали появляться
сводные сочинения под названием «Начал гео­метрии», имевшие задачей
систематизировать добытый гео­метрический материал.

Такие «Начала» по
свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Маг­незии,
Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочи­нений до нас не дошло: все они
утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство
по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.

Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее
крупный центр греческой научной мысли. Опи­раясь на труды своих
предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую
руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет.

«Составитель Начал» — это
прозвище сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие
греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по
которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые.

Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает
элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время. Метод построения
геометрии у Евклида позже характеризовали словами — строить геометрию исключительно геометрическими сред­ствами, не
внося в нее чуждых ей элементов.

Это означает прежде всего, что Евклид не
прибегает к арифметическим средствам, т. е.
к численным соотношениям. Равенство фигур
у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство
— что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую.

Равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибе­гая
даже к пропорциям, Евклид до­казывает, что
каждый многоугольник может быть преобразован в равнове­ликий
треугольник, а треугольник — в квадрат.

Эпоха великих геометров (второй Алек­сандрийский период). Наиболее
характерной чер­той второй Александрийской эпохи является то, что она принесла
с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачу, которую
Евклид, может быть, созна­тельно обходил, — измерение, — Архимед поставил
во главу угла.

Это не случайно, а связано с тем прикладным направ­лением,
которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (III в. до н. э.), когда
борьба между от­дельными греческими государствами за независимость и за
гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы,
когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование.

Легенды
связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, который изобретал все новые и
новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды,
судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика
Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного
сочинения. В III в. до н. э.
прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост.

Заслуга
Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а
в том, что он установил теоретические основы, на которых в конечном счете и по
сей день покоится машиностроение, — он факти­чески создал основы механики.
Механика требовала вычис­ления масс, а следовательно, площадей и объемов, а
также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метри­ческой геометрии;
на этом и сосредоточено внимание Архи­меда в геометрии.

Трудности несоизмеримых
отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по
существу единственным средством не только практического вычисления, но и
теоретического построения учения об иррациональных величинах, — путем
составления последовательных приближений.

Но на этом-то пути и было необходимо
исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое
слабое место грече­ской математики. Архимед пытался найти радикальные средства
для преодоления трудностей счисления — этому посвящена его книга «Исчисление
песка».

К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой лишнее свиде­тельство
исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для
практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных
корней, необ­ходимое для приближенного же вычисления длины окруж­ности; этому
посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное
вычисление перимет­ров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и
описанного около нее.

Таким образом, творения Архимеда существенно отли­чаются от
геометрии Евклида и по материалу и по методу; это — огромный шаг вперед, это —
новая эпоха. В изложе­нии этих достижений, однако, выдержана система Евклида:
аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко продуманная цепь
умозаключений, претендующая на совер­шенство сети силлогизмов.

Неевклидовая геометрия

7.Геометрия  XX века

8.Заключение

9.Список  литературы

        Введение

Исследования гаусса по
неевклидовой геометрии

Высокая оценка
гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией
параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды
по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых
записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому
астроному Герлингу (1788-1864) он писал:

«Я радуюсь, что вы имеете мужество
высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных,
а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите,
полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в
виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма
математических понятий.

История геометрии

Содержание

Введение.

1. Геометрия на Востоке.

2.
 Греческая геометрия.

3. Геометрия новых веков.

4.
Классическая геометрия XIX века.

5. Неевклидовая геометрия.

6. Геометрия XX века.

Заключение.

Литература.

История развития геометрии

Литература

1.  
Демьянов В.П. Геометрия и Марсельеза. – М.: Знание, 1986.

2.  
Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.: Московский университет,
1963.

3.  
Математика
XIX века. – М.: Наука, 1981.

4.  
Свечников
А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. – М.:
Просвещение, 1995.

5.  
Юшкевич
А.П. История математики в России. – М.: Наука, 1968.