Дифференциальные уравнения для чайников примеры объяснение

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
• действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
• комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C1ek1x+C2ek2x;
• y=C1ekx+C2xekx;
• y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Как решать дифференциальные уравнения

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕЙ СТАТЬИ

Условия к задаче

Дифференциальные уравнения бывают обыкновенными и в частных производных. В этой статье мы будем говорить об обыкновенных уравнениях и о том, как их решать.

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

См. раздел   Дифференциальные уравнения высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях, то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных, в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.

  Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.

• Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
• Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением. Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.

  Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.

• Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
• Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования. В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям, то есть по значениям функции и ее производных при Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.

• Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что и являются функциями Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.
  Используем метод разделения переменных. При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с в одну, а все члены с в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены и , которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами, выходит за рамки данной статьи.
  Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель в виде функции от , чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.

  Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета).

• Нелинейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов.
  Если функцию можно разделить на функции одной переменной, такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом:

  Пример 1.3.

  Предположим, что и являются функциями и Тогда однородным дифференциальным уравнением называется такое уравнение, в котором и являются однородными функциями одинаковой степени. То есть функции должны удовлетворять условию где называется степенью однородности. Любое однородное дифференциальное уравнение можно путем подходящей замены переменных ( или ) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными.

  Пример 1.4. Приведенное выше описание однородности может показаться неясным. Рассмотрим это понятие на примере.

  Это дифференциальное уравнение Бернулли — особый вид нелинейного уравнения первой степени, решение которого может быть записано с помощью элементарных функций.
  Это уравнение в полных дифференциалах. Необходимо найти так называемую потенциальную функцию , которая удовлетворяет условию

  Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной. Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную по мы предполагаем, что может также зависеть от

  Сравнение слагаемых дает нам и Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро. В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:

  Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем по Поскольку является функцией и , и при интегрировании мы получим неполную функцию обозначенную как . В результат входит также зависящая от постоянная интегрирования.

  После этого для получения можно взять частную производную полученной функции по приравнять результат и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать , а затем взять частную производную по , что позволит найти произвольную функцию Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.

  Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

  Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует, найти его бывает непросто, поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

• Пример 1.4. Приведенное выше описание однородности может показаться неясным. Рассмотрим это понятие на примере.
• Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной. Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную по мы предполагаем, что может также зависеть от
• Сравнение слагаемых дает нам и Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро. В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:
• Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем по Поскольку является функцией и , и при интегрировании мы получим неполную функцию обозначенную как . В результат входит также зависящая от постоянная интегрирования.
• После этого для получения можно взять частную производную полученной функции по приравнять результат и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать , а затем взять частную производную по , что позволит найти произвольную функцию Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.
• Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
• Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует, найти его бывает непросто, поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

• Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Ниже и являются константами.
  Характеристическое уравнение. Данное дифференциальное уравнение примечательно тем, что его можно очень легко решить, если обратить внимание на то, какими свойствами должны обладать его решения. Из уравнения видно, что и его производные пропорциональны друг другу. Из предыдущих примеров, которые были рассмотрены в разделе об уравнениях первого порядка, мы знаем, что таким свойством обладает лишь экспоненциальная функция. Следовательно, можно выдвинуть анзац (обоснованное предположение) о том, каким будет решение данного уравнения.

  Решение будет иметь вид экспоненциальной функции где — постоянная, значение которой следует найти. Подставим эту функцию в уравнение и получим следующее выражение

  Это уравнение свидетельствует о том, что произведение экспоненциальной функции и полинома должно равняться нулю. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином. Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.

  Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана. Вронскиан — это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми — для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.

  В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию действует линейный оператор. Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора требуется найти решение уравнения
  Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка.Два различных действительных корня. Если корни являются различными действительными числами, дифференциальное уравнение имеет следующее решение
  Два комплексных корня. Из основной теоремы алгебры следует, что решения решения полиномиальных уравнений с действительными коэффициентами имеют корни, которые вещественны или образуют сопряженные пары. Следовательно, если комплексное число является корнем характеристического уравнения, тогда также является корнем этого уравнения. Таким образом, можно записать решение в виде однако это комплексное число, и оно нежелательно при решении практических задач.

  Решение дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (запись Интуита – национального открытого университета).

• Решение будет иметь вид экспоненциальной функции где — постоянная, значение которой следует найти. Подставим эту функцию в уравнение и получим следующее выражение
• Это уравнение свидетельствует о том, что произведение экспоненциальной функции и полинома должно равняться нулю. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином. Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.
• Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.
• Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана. Вронскиан — это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми — для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.
• В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию действует линейный оператор. Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора требуется найти решение уравнения
• Понижение порядка. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение. Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Пусть известно решение . Основная идея понижения порядка заключается в поиске решения в представленном ниже виде, где необходимо определить функцию , подстановке его в дифференциальное уравнение и нахождении Рассмотрим, как можно использовать понижение порядка для решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и кратными корнями.
  Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Вспомним о том, что уравнение второго порядка должно иметь два линейно независимых решения. Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, множество решений не образует пространство, поскольку эти решения линейно зависимы. В этом случае необходимо использовать понижение порядка, чтобы найти второе линейно независимое решение.
  Понижение порядка применимо в том случае, если известно решение , которое может быть найдено или дано в условии задачи.
• Уравнение Коши-Эйлера. Уравнение Коши-Эйлера является примером дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которое имеет точные решения. Это уравнение применяется на практике, например для решения уравнения Лапласа в сферических координатах.
  Характеристическое уравнение. Как видно, в данном дифференциальном уравнении каждый член содержит степенной множитель, степень которого равна порядку соответствующей производной.
  Два различных действительных корня. Если корни действительны и различны, тогда решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
  Два комплексных корня. Если характеристическое уравнение имеет корни , решением является комплексная функция.
  Кратные корни. Чтобы получить второе линейно независимое решение, необходимо вновь провести понижение порядка.
• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения имеют вид где — так называемый свободный член. Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения представляет собой суперпозицию частного решения и дополнительного решения Однако в данном случае частное решение означает не решение, заданное начальными условиями, а скорее такое решение, которое обусловлено наличием неоднородности (свободным членом). Дополнительное решение — это решение соответствующего однородного уравнения, в котором Общее решение представляет собой суперпозицию этих двух решений, поскольку , а так как такая суперпозиция действительно является общим решением.
  Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда свободный член представляет собой комбинацию экспоненциальных, тригонометрических, гиперболических или степенных функций. Лишь эти функции гарантированно имеют конечное число линейно независимых производных. В данном разделе мы найдем частное решение уравнения.
  Метод Лагранжа. Метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных, представляет собой более общий метод решения неоднородных дифференциальных уравнений, особенно в тех случаях, когда свободный член не содержит конечное число линейно независимых производных. Например, при свободных членах или для нахождения частного решения необходимо использовать метод Лагранжа. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.

  Лекция национального открытого университета Интуит под названием “Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами”.

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение методом Бернулли Решение методом вариации постоянных (Лагранжа ) Решение линейной подстановкой   Решение методом Бернулли Решение методом вариации постоянных (Лагранжа ) Решение линейной подстановкой

Найдите однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого данные функции являются частными решениями:   Решение

Решение тремя способами

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка бывают двух видов:

Для решения таких диффуров в первом случае делаем замену $y’ = p(x)$, а во втором $y’ = p(y)$.

Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами

Линейность дифференциального уравнения заключается в том, что в уравнение входит неизвестная функция $y(x)$ и её производные только в первой степени, между собой не перемножаясь. Однородность определяется тем, что уравнение не содержит свободного члена. То есть он равен нулю.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит следующим образом $$y”+py’+qy = 0.$$ Чтобы его решить необходимо составить характиристический многочлен и найти его корни. Для этого нужно заменить $y$ на $lambda$, степень которых будет соответствовать порядку производной $$y” Rightarrow lambda^2, qquad y’ Rightarrow lambda, qquad y Rightarrow 1.$$

В зависимости от получившихся корней имеем общее решение в различных видах:

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами отличается от предыдущего типа уравнений наличием правой части от знака равенства $$y”+py’+q = f(x).$$

Метод Лагранжа

Данный метод позволяет решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами даже в тех, случаях, когда правая часть уравнения не подходит под табличный вид. В этом случае целесообразно применить данный метод решения.

• Находим общее решение однородного уравнения $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$
• Варьируем постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
• Получаем $C_1(x)$ и $C_2(x).$

Практическое применение

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа.

• Экспоненциальный рост и распад. Радиоактивный распад. Составные проценты. Скорость химических реакций. Концентрация лекарств в крови. Неограниченный рост популяции. Закон Ньютона-Рихмана. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью. Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. В приведенном ниже уравнении постоянная может быть как больше, так и меньше нуля.
• Гармонические колебания. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник. В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. В приведенном ниже выражении — производная по времени от — параметр, который описывает демпфирующую силу, — угловая частота системы, — зависящая от времени движущая сила. Гармонический осциллятор присутствует также в электромагнитных колебательных контурах, где его можно реализовать с большей точностью, чем в механических системах.
• Уравнение Бесселя. Дифференциальное уравнение Бесселя используется во многих областях физики, в том числе для решения волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Шредингера, особенно при наличии цилиндрической или сферической симметрии. Это дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами не является уравнением Коши-Эйлера, поэтому его решения не могут быть записаны в виде элементарных функций. Решениями уравнения Бесселя являются функции Бесселя, которые хорошо изучены благодаря тому, что применяются во многих областях. В выражении ниже — константа, которая соответствует порядку функции Бесселя.
• Уравнения Максвелла. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики. Это четыре дифференциальных уравнения в частных производных для электрического и магнитного поля. В приведенных ниже выражениях — плотность заряда, — плотность тока, а и — соответственно электрическая и магнитная постоянные.
• Уравнение Шредингера. В квантовой механике уравнение Шредингера является основным уравнением движения, которое описывает перемещение частиц в соответствии с изменением волновой функции со временем. Уравнение движения описывается поведением гамильтониана — оператора, который описывает энергию системы. Одним из широко известных примеров уравнения Шредингера в физике является уравнение для одной нерелятивистской частицы, на которую действует потенциал . Многие системы описываются зависящим от времени уравнением Шредингера, при этом в левой части уравнения стоит где — энергия частицы. В выражениях ниже — приведенная постоянная Планка.
• Волновое уравнение. Без волн нельзя представить физику и технику, они присутствуют во всех типах систем. В общем случае волны описываются приведенным ниже уравнением, в котором является искомой функцией, а — экспериментально определяемая постоянная. Даламбер был первым, кто обнаружил, что для одномерного случая решением волнового уравнения является любая функция с аргументом , которая описывает волну произвольной формы, распространяющуюся вправо. Общее решение для одномерного случая представляет собой линейную комбинацию этой функции со второй функцией с аргументом , которая описывает волну, распространяющуюся влево. Это решение представлено во второй строке.
• Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени. Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия. Ниже приведены уравнение потока несжимаемой жидкости и уравнение непрерывности.

Предупреждения

Далее, если это особо не оговорено, мы считаем, что – это независимая переменная, а – зависимая. То есть есть функция от Однако, в уравнениях первого порядка, мы можем легко менять роли переменных. То есть можно считать независимой переменной, а – зависимой. Но по умолчанию, – это независимая переменная, а – зависимая.

Пусть у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Запишем его в следующем виде: (1)   Здесь и – заданные функции двух переменных.

Далее рассмотрим уравнение: (2)   где – некоторая функция двух переменных; – постоянная, то есть число. Положим, что есть функция от Тогда будет уже сложной функцией от одной переменной Обозначим ее буквой Перепишем уравнение (2), выразив левую часть через переменную (3)   Дифференцируем это уравнение по применяя правило дифференцирования сложной функции: Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее тот же вид, что и уравнение (1). Отсюда следует, что если то функция определяемая из уравнения является решением исходного уравнения (1).

Заметим, что левая часть уравнения является производной от функции Тогда сама функция является интегралом по отношению к уравнению (1), точнее – к его левой части. По этой причине решение уравнения, записанного в виде называется интегралом уравнения, а сам процесс решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения в дифференциалах

Воспользуемся свойством дифференциалов, согласно которому Перепишем уравнение (1) и умножим его на (1)   (4)   Мы получили уравнение, связывающее дифференциалы переменных и По этой причине такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Такая форма записи называется уравнением в дифференциалах, или дифференциальной формой уравнения. Уравнения (1) и (4) эквивалентны. Можно использовать любую из этих форм.

Пусть (5)   где – некоторая функция двух переменных. Подставим в (4): (6)   Отсюда видно, что левая часть уравнения (6) является дифференциалом функции Тогда уравнение (6) можно переписать в виде равенства нулю дифференциала: Отсюда следует, что функция равняется постоянной, которую обозначим буквой Тогда общий интеграл уравнения (4), при условии (5), имеет вид: (7)

Уравнения в полных дифференциалах

Итак, мы нашли, что если в уравнении (4)   функции и являются частными производными (5)   от некоторой функции то уравнение (4) имеет интеграл (7)   Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах.

Как правило интеграл уравнения (7) нам не известен, а известно лишь само уравнение, то есть известны функции и Возникает вопрос, как по известным функциям и определить, что левая часть уравнения является полным дифференциалом? Оказывается, что сделать это достаточно просто. Для того, чтобы уравнение было в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: (8)   Доказательство

Зная, что уравнение относится к классу уравнения в полных дифференциалах, мы можем найти функцию применяя несколько методов. Рассмотрим метод последовательного выделения дифференциала. В этом методе, мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме: Здесь и могут быть любыми функциями от и Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Дано уравнение: (П1)   Требуется проверить, является ли это уравнение в полных дифференциалах. И если является, то решить его.

В нашем случае Проверим, является ли это уравнение в полных дифференциалах. Находим частные производные. Видно, что То есть это уравнение в полных дифференциалах. Решаем его, последовательно выделяя дифференциал. Итак, мы нашли эквивалентное (П1) уравнение Отсюда получаем его общий интеграл:

Решать подобные уравнения можно также и методом последовательного интегрирования. Решение этим методом можно найти на странице Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Итак, мы научились решать дифференциальные уравнения первого порядка (4)   при условии (8)   Но если существует единственное решение уравнения (4), и условие (8) не выполняется, то оказывается, что существует такая функция умножив на которую уравнение (4), оно становится уравнением в полных дифференциалах. Причем существует бесконечное множество таких функций. Доказательство

В качестве примера рассмотрим уравнение: (П2)   Перепишем его, сгруппировав члены: Заметим, что Поэтому разделим уравнение на чтобы выделить полный дифференциал При имеем: Выделяем полный дифференциал: Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения: В уравнении (П2), интегрирующий множитель равен Когда мы умножили на него уравнение, то оно стало уравнением в полных дифференциалах, которое мы и решили.

Заметим, что при умножении уравнения на множитель мы получили другое уравнение. Оно эквивалентно исходному за исключением точек, в которых и Уравнение корней не имеет. Поэтому этот случай отпадает. А уравнение имеет корень Поэтому умножение уравнения на множитель дает эквивалентное уравнение, за исключением точек Другими словами, поскольку мы разделили уравнение на то нужно проверить случай Подстановкой в (П2) убеждаемся, что также является решением исходного уравнения. Поэтому общее решение имеет вид:

Более подробно, см. Решение дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя

В этом примере мы угадали, что если уравнение умножить на то можно выделить полный дифференциал. Не смотря на то, что для любого уравнения, при условии существования его решения, интегрирующий множитель существует, у нас нет общего метода, который позволяет найти его для любого дифференциального уравнения. Можно попытаться это сделать, но для произвольного уравнения нет гарантии, что мы найдем интегрирующий множитель, и решим уравнение. К счастью есть несколько классов уравнений, для которых это сделать можно. Эти типы уравнений мы и рассмотрим.

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение (9)   где – некоторые заданные функции. Перепишем это уравнение в дифференциалах: Разделим его на При имеем: (11)   Уравнение имеет вид суммы, каждое слагаемое которой зависит только от одной переменной. Говорят, что переменные разделились, а уравнение (9), по этой причине, называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Нетрудно видеть, что уравнение (11) в полных дифференциалах. Действительно, поскольку множитель при не зависит от то Поскольку множитель при не зависит от то Видно, что необходимое и достаточное условие для полных дифференциалов выполняется:

Таким образом мы нашли интегрирующий множитель: Это позволяет нам выделить дифференциал и получить решение в квадратурах: Отсюда получаем общий интеграл:

Решить уравнение: (П3)

Перепишем (П3) в дифференциалах: Разделим на   При имеем: Переменные разделились. Общий интеграл имеет вид: Далее, см. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к разделяющимся переменным

Решить уравнение: (П4.1)

От переменной перейдем к переменной Делаем подстановку: (П4.2)   Здесь и – функции от Дифференцируем (П4.2) по и подставляем (П4.1): Тем самым мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. См. далее Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Проверим, является ли это уравнение однородным. Сделаем замену Считаем, что постоянная Постоянная сократилась. Она также сократится, если считать Это однородное уравнение. Переходим от переменной к переменной Для этого делаем подстановку где – функция от Дифференцируем по Подставляем в(П5): При берем знак При – знак Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, решать которое мы уже умеем. Далее см. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида приводится к однородному подстановками где – новые переменные; – постоянные, которые выбираются из условий

От переменных и переходим к переменным и Делаем подстановку Тогда Решаем систему из двух линейных уравнений Определив и получаем однородное уравнение: Метод решения такого уравнения мы только что рассмотрели. См. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным

Обобщенные однородные уравнения

Проверим, является ли уравнение (П7) обобщенным однородным. Делаем замену: Подставляем в (П7): Делим на Отсюда видно, что сокращается, если положить

Итак, мы нашли, что это обобщенное однородное уравнение с Решаем его. От переменной переходим к переменной выполняя подстановку Подставляем в (П7): (П7)   Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. См. далее Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные уравнения

Дифференциальные уравнения, вида (11)   называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Решение с помощью интегрирующего множителя

Уравнение (11) имеет интегрирующий множитель См. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка Продемонстрируем это на примере.

Это линейное уравнение первого порядка. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Разделим (П8.1) на (П8.2)   Тогда Находим интегрирующий множитель Пусть Тогда Умножаем (П8.2) на и выделяем полный дифференциал: Отсюда или

Мы нашли интегрирующий множитель полагая, что После умножения на него, мы получили уравнение в полных дифференциалах как при так и при При решении мы нигде не полагали, что Это предположение нам потребовалось, только чтобы выбрать интегрирующий множитель. На самом деле, любое уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Поэтому, если бы мы в самом начале взяли то получили бы множитель И с его помощью, получили то же самое решение.

Решение методом Бернулли

Линейное уравнение первого порядка можно решить красивым приемом, введя две функции и зависящие от переменной Сделаем подстановку Тогда Подставим в исходное уравнение (11): (11)   (12)   Наложим условие (13)   Уравнение (13) с разделяющимися переменными. Решаем его, и возьмем любое, отличное от нуля частное решение. Так мы определим функцию Учитывая (13), уравнение (12) примет вид: Теперь здесь уже известная функция, и это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем общее решение Вместе с этим получаем общее решение исходного уравнения (11): Подробнее, см. Решение линейного ДУ первого порядка методом Бернулли

Решение методом Лагранжа

Метод Лагранжа интересен тем, что указывает путь поиска решения от простого к сложному. Рассмотрим линейное уравнение: (11)   Давайте его упростим. Сначала рассмотрим однородное уравнение – то есть уравнение с (14)   Это уравнение с разделяющимися переменными, и мы можем его решить: Заменим постоянную на Тогда общее решение примет вид: (15)   где

Теперь вернемся к исходному неоднородному уравнению (11). Попытаемся найти его решение, используя решение более простого, однородного уравнения (14). Для этого в (15) заменим постоянную на функцию, зависящую от переменной То есть будем искать решение в виде Подставляя в (11), получим для дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое решается в квадратурах. Решив его, получаем решение исходного уравнения. Такой метод решения называется методом вариации постоянных, или методом Лагранжа. См. Решение линейных ДУ первого порядка методом Лагранжа

Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид: где и – заданные функции от Можно убедиться, что оно сводится к линейному уравнению подстановкой См. Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Однако его легче решать методом двух функций Бернулли. Для этого вводим две функции и Ищем решение в виде Одну из этих функций выбираем так, чтобы уравнение для другой функции превратилось в уравнение с разделяющимися переменными.

Это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: Тогда Подставляем в (П9.1): (П9.2)   Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю: (П9.3)   Тогда уравнение (П9.2) превратится в уравнение с разделяющимися переменными.

Решаем уравнение (П9.3). Разделяем переменные. Возьмем решение или

Подставим в (П9.2), учитывая (П9.3), и разделяем переменные: (П9.2)   При имеем: Заменим постоянную интегрирования: Тогда решение уравнения (П9.1) примет вид:

Теперь рассмотрим случай Нетрудно увидеть, что это также решение уравнения (П9.2). Тогда является решением исходного уравнения. Получаем общее решение исходного уравнения:

Уравнения, не разрешенные относительно производной

Существует несколько типов уравнений, не разрешенных относительно производной, которые допускают решение. При этом они должны быть разрешены относительно одной из переменной. Далее перечислены типы этих уравнений, и даны ссылки на страницы с методами их решений.

уравнение, содержащее только производную   уравнения, не содержащие одну из переменных   уравнение Клеро   уравнение Лагранжа   приводящиеся к уравнению Бернулли

Советы

• Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев. Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки.
• В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях. Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.