Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам Реферат

Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам с вероятностью Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам. Поэтому Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам.

Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения (Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам,Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам) (Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам) и (Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам,Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам) (Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам) – законы распределения случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам. Так как Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – независимы, то полный набор значений случайной величины Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам состоит из всех произведений Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам (Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам, Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам, Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам, и т.д.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам.
Если Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – постоянная величина и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – любая случайная величина, то, учитывая, что Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – независимы, получим:
Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам равно разности их математических ожиданий: Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам.
Доказательство. Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Вы студент? Ищете подработку? Работу на неполный рабочий день? Хотите найти работу по специальности. Тогда обращайтесь сюда  Здесь Вы найдете любую работу 

Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случная величина X приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2, …, mk paз значение xk, причем Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . Тогда сумма всех значений, принятых X, равна

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

Найдем среднее арифметическое Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам всех значений, при­нятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

или

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . (*)

Заметив, что отношение m1/n – относительная частота W1 значения x1, m2/n – относительная частота W2 значе­ния х2, и т. д., запишем соотношение (*) так:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано в гл. IX, §6):

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х).

Итак,

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения

Этот термин заимствован из механики: если массы р1, р2, …, рn расположены в точках с абсциссами х1, х2, …, хn причем Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам , то абсцисса центра тяжести

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Учитывая, что Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам получим М(Х)=хс.

Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы – их вероятностям.

Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI — XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.

§

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной:

М(С)=С.

Доказательство. Будем рассматривать постоян­ную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р-1. Следовательно,

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину X как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Напри­мер, если вероятность возможного значения х1 равна p1, то вероят­ность того, что величина СХ примет значение Сх1, также равна р1.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Математическое ожидание случайной величины СХ:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Итак,

М(СХ) = СМ(Х),

Замечание 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае иные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин X и Y как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения х1 равна р1, вероятность возможного значения у1 равна g1, то вероятность возможного значения х1y1 равна p1g1.

Заметим, что некоторые произведения хiyi могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х1y2= х3y5, то вероятность х1y2 (или, что то же, х3y5) равна p1g2 p3g5.

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ние двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий;

M(XY) = M(X)M(Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей[3]:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получим х1у1, х2у1, х1у2 и х2у2. Учитывая заме­чание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

или

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Итак, М (XY) = M(X)M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY) M (Z) = M(X) M (Y) M (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции

Пример 1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Замечание 4. Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину X Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х1 у2= х3 y5 и вероятности этих возможных значений соответственно равны р12 и р35, то вероятность х1 х2 (или, что то же, х3 y5) равна р12 р35.

Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Рефераты:  Спортивный массаж

М (X Y) = М (X) М (У).

Доказательство. Пусть случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения[4]:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Составим все возможные значения величины Х Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y; получим х1у1, х2у1, х1у2 и х2у2. Предположим для простоты, что эти ложные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p11 p12, р21 и р22.

Математическое ожидание величины X Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

или

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . (*)

Докажем, что Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . Событие, состоящее в том, что X примет значение x1 (вероятность этого события равна p1), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X Y примет значение х1 у1 или х1 у2 (вероятность этого события по теореме сложения равна р11 р12), и обратно. Отсюда и следует, что Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . Аналогично доказываются равенства

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам , Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам , и Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

или окончательно

М (X Y) = М(X) М (Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадании в цель, равными p1 =0,4; р2 = 0,3 и р3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина X1 которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q = 1-0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е. М (Х1) = 0,4 Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(X2) = 0,3, М (X3) = 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам (попаданий).

Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на одной кости, через X и на второй – через Y. Возможные значения величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Очевидно, что и М(Y) = 7/2.

Искомое математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

§

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появления события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема.Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появления события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1 – число появлений события в первом испытании, X2 — во втором, …, Хn – в n-м, то общее число появлений события Х = Х1 Х2 … Хn.

По третьему свойству математического ожидания,

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М(Х1) – в первом, М (X2)- во втором и т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события (см. § 2, пример 2), то М(Х1)=М(Х2)=М(Хn)=р Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждою слагаемого р, получим

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . (**)

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и р равно произведению .

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудии p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам (попаданий).

Задачи

1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Ответ 2,6

2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель р1=0,6, р2=0,4, р3=0,5 и р4 = 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Ответ 2,2 попадания.

3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами
распределения:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами: а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3.

Ответ 1,53.

4. Дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения, указанными в задаче 3. Найти математическое ожидание суммы Х Y двумя способами: а) составив закон распределении Х Y; б) пользуясь свойством 4.

Ответ 2,65.

5. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Ответ 2 детали.

6. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Ответ 12,25 очка.

7. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Ответ 6 билетов.

§

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но разные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Найдем математические ожидания этих величин:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам ,

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам .

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, возможные значения различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины математического ожидания.

§

1.В тире имеется пять винтовок (№1, №2, №3, №4, №5), вероятности попадания из которых для данного стрелка равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.

а) Определить вероятность попадания в мишень при одном выстреле, если стрелок берет одну из винтовок наудачу.

б) Стрелок берет одну из винтовок наудачу, производит выстрел и попадает в мишень. Найти вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки №3.

2. Две из трех (№1, №2, №3) независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказала лампа №1, если вероятности отказа ламп №1, №2, №3 соответственно равны: р1=0,1; р2=0,2; р3=0,3.

3.Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые зашифрованы номерами 1 и 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оценивает как 0,4 и 0,6 соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 – в 90% случаев и при заболевании 2 – в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после проведенного анализа?

Рефераты:  Модели принятия решений : Реферат : Менеджмент (Теория управления и организации)

4.Электролампы изготавливаются на трёх заводах. Первый завод произ­водит 30% общего количества электроламп, второй — 25%, а третий — осталь­ную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго — 1,5%, третьего — 2%. В магазин поступает продукция всех трёх заво­дов. Купленная в магазине лампа оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она произведена первым заводом?

5.Два из трёх независимо работающих элементов вычислительного уст­ройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй эле­менты, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответ­ственно равны р Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам = 0,2; р2 = 0,4; р Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам = 0,3.

6.На трех дочерей — Юлю, Марину и Лену — в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Юля старшая, ей приходится выполнять 40 % всей работы. Остальные 60 % работы приходятся поровну на Марину и Лену. Вероятности разбить что-нибудь из посуды (в течение одного мытья) для Юли, Марины и Лены равны соответственно: 0,02; 0,03; 0,04. Родители не знают, кто дежурил вечером, но они слышали звон разбитой посуды. Какова вероятность того, что посуду мыла: а) Юля; б) Марина; в) Лена?

§

По изучению второго вопроса.

1.В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене:

1. Не будут проданы 5 пакетов.

2. Будет продано:

а) менее 2 пакетов;

б) не более 2 пакетов;

в) хотя бы 2 пакета;

г) наивероятнейшее число пакетов.

2.По цели производят 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,75. Найти:

а) вероятность ровно 5 попаданий;

б) вероятность не менее 5 попаданий;

в) вероятность менее 3 попаданий.

3.В коробке лежит 200 конденсаторов, причем 2 из них нужной емкости. Случайным образом из коробки вынимают 1 конденсатор и после определения его емкости возвращают обратно в коробку. Выяснить сколько раз нужно осуществить указанную операцию, чтобы вероятность встретить хотя бы один конденсатор нужной емкости была не меньше 0,95.

4. Устройство состоит из 3 независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если:

а) работают только основные элементы;

б) включен один резервный элемент;

в) включены 2 резервных элемента.

Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента равна 0,1 и устройство отказывает менее 3 элементов.

5. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных

Рекомендуемая литература

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М., «Эдиториал УРСС», 2009.

5. Теория вероятностей: Учебник для вузов. 2-е изд./ А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. –, стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А Задачи и упражнения по теории вероятностей. Учеб. пособие для втузов. – М., Высш. шк., 2021.

Практическое занятие №4

Тема: «Дискретные случайные величины»

Цель занятия:

1. Изучить закон распределения дискретной случайной величины.

2. Познакомиться с функцией распределения дискретной случайной величины.

3. Приобрести навыки в проведении математических расчётов.

Учебные вопросы :

1. Закон распределения дискретной случайной величины

2. Функция распределения дискретной случайной величины

3. Задание студентам для самостоятельной работы

4. Заключение

Время, отводимое на занятие – 80 мин.

§

1. Дать определение случайной величины.

2. Какая случайная величина называется дискретной?

3. Какая случайная величина называется непрерывной?

4. Что такое закон распределение случайной величины?

5. Что понимается под функцией распределения случайной величины?

Методические пояснения и рекомендации по выполнению первого вопроса.

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

а)

б)

в)

Построить многоугольник распределения.

2. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

1.В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник распределения.

2.Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появления “герба” при двух бросаниях монеты.

3.После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает знание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой дополнительный заданный вопрос, равна 0,9. Требуется составитьзакон распределения дискретной случайной величины Х – числа дополнительных вопросов, которые преподаватель задаст студенту, найти наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных вопросов.

4.Из двух орудий поочерёдно ведётся стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием составляет 0,3, вторым – 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составитьзакон распределения дискретной случайной величины Х и Y – числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.

5.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

6.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

Методические пояснения и рекомендации

§

1.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

А)


Б)

В)

Вычислить математическое ожидание.

2.Найти математическое ожидание дискретной случайной величиныZ, если известны математические ожидания X и Y: а) Z=X 2Y, M(X)=5, M(Y)=3; б)Z=3X 4Y, M(X)=2, M(Y)=6.

3.Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения x Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам =4с вероятностью p Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам =0.5; x Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам =6с вероятностью p Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам = 0.3; x Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамс вероятностью p Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам . Найти x Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентами p Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам , зная, что M(X)=8.

4.Контрольная работа состоит из трёх вопросов. На каждый вопрос приведено по 4 ответа. Составить и изобразить графически закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

5.В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить и изобразить графически закон распределения числа правильного решения задач в билете и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

6.Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. рублей в компанию А и 15 тыс. рублей в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может лопнуть с вероятностью 0,2. Компания В – 40% годовых, но может лопнуть с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год. Найти её математическое ожидание.

Рефераты:  Сила как физическое качество (понятие, характеристика, средства и методы развития силы). Воспитателям детских садов, школьным учителям и педагогам - Маам.ру

7.Найти математическое ожидание лотерейных билетов, на которых выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, при чём вероятность выигрыша по одному билету составляет 0,3.

8.Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределённой по закону Пуассона:

Учитывать, что Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

§

По изучению второго вопроса.

1.Для заданий №1, 3, 4, 5 п. 1 вычислить дисперсию распределения случайной величины Х.

2.Случайная величина Х задана законом распределения

Найти среднее квадратичное отклонение Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам (X).

3.Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

4.Брошены nигральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Рекомендуемая литература

1. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М., «Эдиториал УРСС», 2009.

2. Теория вероятностей: Учебник для вузов. 2-е изд./ А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. –, стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А Задачи и упражнения по теории вероятностей. Учеб. пособие для втузов. – М., Высш. шк., 2021.

Практическое занятие № 6

Тема: «Числовые характеристики непрерывных случайных величин»

Цель работы:

1. Изучить числовые характеристики непрерывных случайных величин и их свойства.

2. Используя формулы числовые характеристики непрерывных случайных величин уметь определять математическое ожидание и дисперсию.

3. Выработать навыки в использовании формул математического ожидания и дисперсии.

4. Приобрести навыки в проведении математических расчётов.

Учебные вопросы

1. Дисперсия дискретной случайной величины

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

3. Заключение

4. Задание студентам для самостоятельной работы

Время, отводимое на занятие – 80 мин.

Проверка готовности студентов к занятию

1. Какая случайная величина называется непрерывной?

2. Что называется плотностью распределения вероятностей?

3. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины?

4. Дать определение дисперсии непрерывной случайной величины?

5.Дать определение начального теоретического момента порядка k?

6.Дать определение центрального теоретического момента порядка k?

§

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамобязательно примет одно из значенийМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамполную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамполную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамОтвет: Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамРешение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамклассическому определению:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамОтвет: искомый закон распределения выигрыша:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамсумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:или в свёрнутом виде:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентампроигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамв среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Пример 5

Случайная величина Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Есть?

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – вероятность попадания в мишень. Тогда:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – вероятность промаха.Составим Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – закон распределения попаданий при двух выстрелах:Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамМатематическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Проверка: 0,09 0,42 0,49 = 1

Ответ: Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамПримечание: можно было использовать обозначения Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам – это не принципиально.Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Вычислим математическое ожидание:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
поменяем части местами и проведём упрощения:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
таким образом:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентамВыполним проверку:
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам, что и требовалось проверить.Ответ: Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства | Помощь студентам

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий