Предел последовательности. Теорема Штольца — Рефераты

Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты Реферат

Предел функции и предел последовательности

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

  • Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.

    контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009

  • Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.

    контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009

  • Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.

    контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2021

  • Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.

    презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2021

  • Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.

    презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2021

  • Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.

    презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2021

  • Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.

    презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2021

  • Пределы последовательностей и функций. реферат. математика. 2009-01-12

    Пределы последовательностей и функций

    Контрольная работа по высшей математике

    Числовой
    последовательностью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется
    числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую
    последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение
    любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого
    достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде
    функции его номера: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    В
    основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой
    последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если для любого сколь
    угодно малого положительного числа e
    существует такой номер Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,
    зависящий от выбранного e, начиная с
    которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты при  Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Если
    последовательность Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты имеет
    предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают
    следующим образом:

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Пусть
    функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты определена в
    некоторой окрестности точки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Выберем в некоторой окрестности этой точки
    какую-нибудь последовательность Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты сходящуюся к точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Значения функции в выбранных точках образуют
    последовательность Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, и
    можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

    Число
    А называется пределом функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если для любой сходящейся к Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты последовательности значений
    аргумента, отличных от Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,
    соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Возможно
    иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если для всякого
    положительного числа e можно указать
    другое положительное число d (зависящее
    от выбора e) такое, что абсолютная
    величина разности Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты будет
    меньше e, когда абсолютная величина
    разности Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты будет меньше Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, но больше нуля

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если  Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты  при  Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Таким
    образом, первое определение предела функции основано на понятии предела
    числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей».
    Второе определение носит название «на языке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты».

    Кроме
    понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при
    стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты при Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если для любого числа Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты существует такое число d, что при всех Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты справедливо неравенство Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Теоремы
    о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций.
    Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в
    точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, приводят к
    функциям, также имеющим предел в этой точке.

    Примеры

    Найти
    предел функции         Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Решение:
    Имеем неопределенность вида Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Для ее раскрытия разложим числитель и
    знаменатель на множители и сократим на общий множитель Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, который при Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты не равен нулю. В результате неопределенность
    будет раскрыта.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Пусть
    функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты определена в
    некоторой окрестности точки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Производной
    функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется предел отношения Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, когда Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (если этот предел существует).
    Производная функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в
    точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты обозначается

    Рефераты:  Реферат: Единый налог на вмененный доход

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Например,
    выражение Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты следует
    понимать как производную функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Определение
    производной можно записать в виде формулы

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.                 (4.1)

    Предел
    (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты не имеет производной в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Если предел (4.1) равен Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то говорят, что функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты имеет в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты бесконечную производную.

    В
    различных задачах (в том числе и экономических) производная функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты интерпретируется как
    скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной
    состоит в том, что Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты –
    это тангенс угла наклона касательной к графику Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Нахождение
    производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в
    точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой
    точке.

    Укажем
    правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций
    к вычислению производных других (более простых) функций.

    Если
    функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты дифференцируемы
    в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то сумма,
    разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, и справедливы следующие формулы

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Если
    функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты имеет обратную
    функцию Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то обратная функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты дифференцируема в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты или Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Если
    функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты дифференцируема
    в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то сложная функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты также дифференцируема в Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и верна следующая формула

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты  или  Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Пример.

    Найти
    производную функции         Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Решение:

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Функция
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, определенная во всех
    точках промежутка Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, называется
    возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений
    аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует
    большее (меньшее) значение функции, т. е,

    если
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты то при

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – возрастающая, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – убывающая.

    Из
    данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента
    и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Для убывающей функции эти
    приращения имеют разные знаки, в силу чего Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Те значения аргумента, при которых функция
    достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений,
    называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

    Точка
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется точкой
    максимума (минимума) непрерывной функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, а значение Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется максимумом (минимумом) этой функции,
    если существует некоторая окрестность точки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты такая, что значение функции в любой точке этой
    окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, т. е. меньше (больше), чем максимум
    (минимум) Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (рис. 1).

    Предел последовательности. Теорема Штольца - РефератыПредел последовательности. Теорема Штольца - Рефератыу                             max                  
    у

    min

    f(х0)                                              
     f(х0)

    О
     х0–d       х0     х0 d   х          О х0–d         х0          х0 d
    х

    точка максимума

    точка минимума

    Рис.
    1

    Из
    определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности
    точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и
    минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

    Чтобы
    установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций,
    рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все
    дальнейшие исследования функций.

    Рекомендуется
    исследование функций проводить в определенной последовательности.

    1.
    Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные
    асимптоты графика.

    2.
    Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции);
    точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика
    функции.

    4.
    Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания
    и экстремумов функции.

    5.
    Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и
    вогнутости графика и точек перегиба.

    6.
    Построить график функции с учетом проведенного исследования.

    Пример.
    Провести полное исследование функции

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Решение:

    Проведем
    полное исследование функции, используя следующую схему:

    найти
    область определения функции;

    исследовать
    на четность и нечетность функцию;

    найти
    точки разрыва функции;

    найти
    асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

    исследовать
    функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

    определить
    интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

    при
    необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

    построить
    схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

    Областью
    определения функции является множество Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Так
    как Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то функция не является ни четной, ни
    нечетной.

    Функция
    претерпевает разрыв в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Найдем
    асимптоты графиков функции:

    а).
    Прямая Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты является
    вертикальной асимптотой, т.к.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,       Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    б).
    Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются
    частным случаем наклонных асимптот) Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,

    где
                       Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Таким
    образом, прямая Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты является
    единственной наклонной асимптотой и на Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, и на Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Найдем
    точки пересечения графика функции с осями координат.

    а)
    С осью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, т.е. точка пересечения с осью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    б)
    С осью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, т.е. точка пересечения с осью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    6.
    Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем
    производную функции.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Из
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты получаем Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, откуда Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

                                      
    _                               

    Рефераты:  Теорема Пифагора: формулы, пример задачи - геометрия за 8 класс

    ______________________________________ 
    x

    -3                                              11

    Так
    как на интервалах Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная положительна,
    т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то график функции
    на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная отрицательна, т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то на указанном интервале
    график функции убывает.

    Так
    как при переходе через точки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная функции меняет знаки и эти точки
    входят в область определения функции, то Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — точки локального экстремума. Причем Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты точка локального минимума: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (так как при переходе через
    нее производная меняет знак с » » на «-«); Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — точка локального максимума: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (так как при переходе через
    нее производная меняет знак с «-» на » «).

    7.
    Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба.
    Для этого найдем вторую производную функции.

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Очевидно,
    что в интервале Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты вторая
    производная меньше нуля, т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, и в этом интервале график функции является
    выпуклым вверх. В интервале Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты вторая производная больше нуля, т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, и в этом интервале график
    функции является выпуклым вниз (вогнутым).

    Несмотря
    на то, что при переходе через точку Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты вторая производная меняет знак, она не является
    точкой перегиба, так как Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты не
    входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким
    образом, точек перегиба у графика функции нет.

    Из
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты получаем Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, откуда Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

                                      
    _                               

    ______________________________________ 
    x

    -3                                              11

    Так
    как на интервалах Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная положительна,
    т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то график функции
    на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная отрицательна, т.е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то на указанном интервале
    график функции убывает.

    Так
    как при переходе через точки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты производная функции меняет знаки и эти точки
    входят в область определения функции, то Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — точки локального экстремума. Причем Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты точка локального минимума: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (так как при переходе через
    нее производная меняет знак с » » на «-«); Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты — точка локального максимума: Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты (так как при переходе через
    нее производная меняет знак с «-» на » «).

    Часто
    возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении,
    а именно: дана функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,
    найти функцию Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, такую,
    что Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Функция
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется
    первообразной для данной функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты на некотором промежутке Х, если для любого Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты выполняется равенство

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Например,
    пусть Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, тогда за
    первообразную можно взять Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,
    поскольку Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    В
    основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – первообразная для
    функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты на промежутке
    Х, то все первообразные для функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты имеют вид Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где С – произвольная постоянная.

    Выражение
    вида Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты описывает все
    первообразные для функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.
    Действительно, для любой постоянной С

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Пусть
    наряду с данной первообразной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – также первообразная для Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда должны выполняться равенства

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,

    откуда
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Следовательно, разность
    этих первообразных будет тождественно равна константе Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты или Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Действие
    нахождения первообразной называется интегрированием функции.

    Доказанная
    теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – первообразная для Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то совокупность функций Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где С – произвольная
    постоянная, называется неопределенным интегралом от функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, который обозначается следующим
    образом

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Геометрически
    неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, называемых интегральными.

    Для
    того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять
    производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Как всякая обратная
    операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.

    Приведем
    основные свойства неопределенного интеграла:

    1.
    производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    2.
    неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов
    от слагаемых функций

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    3.
    постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Значения
    интегралов от основных элементарных функций получаются из формул
    дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов:

    Интегралы,
    содержащиеся в этой таблице, называются табличными.

    Пример.
    Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить
    дифференцированием

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Решение:
    Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом
    замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба
    метода.

    1.
    Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты или Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    После
    замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла:
    постоянный множитель Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты можно
    выносить за знак неопределенного интеграла, и так как Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, то пришли к табличному интегралу Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    2.
    Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и то, что подынтегральное
    выражение можно представить в виде

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,

    внесем
    под знак дифференциала Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.
    Для этого выпишем дифференциал этой функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    После
    внесения под знак дифференциала функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты пришли к табличному интегралу Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    3.
    Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем
    производную

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Таким
    образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
    функции, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

    Определение
    определенного интеграла. Пусть функция Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а,
    b] на п произвольных частей точками

    Рефераты:  Безработица, ее типы, экономические последствия (Реферат)

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Точки,
    разделяющие отрезок [а, b] на частичные отрезки Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты длиной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, называются точками разбиения. Внутри каждого
    частичного отрезка выберем произвольную точку Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Образуем сумму произведений

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты,

    называемую
    интегральной суммой для функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты на отрезке [а, b]. Геометрический смысл
    величины s показан на рис. 2.. Это
    сумма площадей прямоугольников с основаниями Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и высотами Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    При
    этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами,
    выражение Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты –
    подынтегральным выражением, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – подынтегральной функцией.

    Определенный
    интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной
    вертикальными прямыми Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты при
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, осью Ох и графиком
    неотрицательной и непрерывной функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. В этом состоит его геометрический смысл.

    Если
    предположить, что Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты –
    производительность труда в момент t, то Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты будет численно равен объему произведенной продукции
    за промежуток Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, т. е.
    определенному интегралу можно придать экономический смысл.

    Определенный
    интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного
    интеграла:

    1)
    постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

    2)
    интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от
    этих функций (свойство линейности).

    Кроме
    того, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теории
    неопределенных интегралов:

    3)
    интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину
    отрезка интегрирования

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    4)
    при перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    5)
    интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты;

    6)
    для любых чисел а, b и c имеет место равенство

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Пример.
    Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    Решение:

    Воспользуемся
    методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты или Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Осуществим пересчет пределов интегрирования,
    используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в выражение Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты и найдем нижний предел интегрирования
    новой переменной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.
    Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, найдем верхний предел
    интегрирования новой переменной Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Тогда

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты

    До
    сих пор рассматривались функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты одной переменной х. В случае зависимости
    параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие
    функции нескольких переменных.

    Пусть
    каждому набору значений n переменных величин Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты из множества M
    , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в
    соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят,
    что задана функция нескольких переменных Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    Приведем
    примеры функций нескольких переменных.

    1.
    Функция вида Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – постоянные числа,
    называется линейной или гиперплоскостью Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты-мерном пространстве.

    2.
    Функция вида Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, где Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты – постоянные числа, называется
    квадратичной формой от переменных Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    При
    рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический
    язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п =
    2 и п = 3.

    Далее
    для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты), хотя практически все понятия и
    теоремы, сформулированные для Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, переносятся на случай Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Основные понятия математического анализа,
    введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных.
    Так, число А называется пределом функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если для любого числа Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты можно найти число Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты такое, что для всех точек Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты из d-окрестности
    точки М выполняется неравенство Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Для обозначения предела функции в точке
    используется символика

    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты.

    В
    случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по
    различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах
    функции в точке вдоль определенных линий.

    Функция
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты называется непрерывной
    в точке Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты, если предел
    функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты. Геометрический смысл
    непрерывности функции при Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты очевиден:
    график функции Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты представляет
    собой в точке непрерывности Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты сплошную поверхность в некоторой окрестности
    этой точки.

    Пример.
    Найти экстремум функции двух переменных z = x2 y2, x Î [-20, 20], y Î [-10,
    10].

    Решение.

      Необходимое
    условие экстремума Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты = 2х
    = 0, Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты = 2у = 0, откуда
    координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).

      Вторые
    производные А = Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты= 2; В =
    Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты= 0; С = Предел последовательности. Теорема Штольца - Рефераты= 2. Так как AC — B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) —
    локальный минимум.

      Значение
    функции в точке минимума z (0, 0) = 0.

    Список литературы

    Выгодский
    М.Я. Справочник по высшей математике. —
    М.: Джангар, 2000. — 864 с.

    Гордон
    В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ,
    2000. – 96 с.

    Демидович
    Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.

    Для
    подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua

    Список литературы

    Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Джангар, 2000. — 864 с.

    Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.

    Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.

    Оцените статью
    Реферат Зона
    Добавить комментарий