Реферат — Комплексные числа и их свойства

Реферат - Комплексные числа и их свойства Реферат

3
Утверждение комплексных
чисел в математике

Кардано
называл такие величины “чисто
отрицательными” и даже “софистически
отрицательными”, считал их бесполезными
и старался их не употреблять. В самом
деле, с помощью таких чисел нельзя выразить
ни результат измерения какой-нибудь величины,
ни изменение какой-нибудь величины.

Но
уже в 1572 году вышла книга итальянского
алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были
установлены первые правила арифметических
операций над такими числами, вплоть до
извлечения из них кубических корней.
Название “мнимые
числа” ввел в 1637 году французский математик
и философ Р.

Декарт, а в 1777 году один из
крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер
предложил использовать первую букву
французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел
во всеобщее употребление благодаря К.
Гауссу .

Термин “комплексные
числа”  так же был введен Гауссом
в 1831 году. Слово комплекс (от латинского
complexus) означает связь, сочетание, совокупность
понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих
единое целое.

     
В течение XVII века продолжалось обсуждение
арифметической природы мнимых чисел,
возможности дать им геометрическое обоснование. 

 
Постепенно развивалась техника 
операций над мнимыми числами. 
На рубеже XVII и XVIII веков была построена
общая теория корней n-ых степеней сначала
из отрицательных, а за тем из любых комплексных
чисел, основанная на следующей формуле
английского математика А. Муавра (1707): .

С помощью этой формулы можно было
так же вывести формулы для косинусов
и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в
1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную
функцию с тригонометрической. С помощью
формулы Л.

Эйлера можно было возводить
число e в любую комплексную степень. Любопытно,
например, что . Можно находить sin и cos от комплексных
чисел, вычислять логарифмы таких чисел,
то есть строить теорию функций комплексного
переменного.

 
В конце XVIII века французский математик
Ж. Лагранж смог сказать, что математический
анализ уже не затрудняют мнимые величины.
С помощью мнимых чисел научились выражать
решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.

 
Хотя в течение XVIII века с помощью
комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи,
связанные с картографией, гидродинамикой
и т. д., однако еще не было строго логического
обоснования теории этих чисел.

     
“Никто ведь не сомневается 
в точности результатов, получаемых 
при вычислениях с мнимыми количествами,
хотя они представляют собой только алгебраические
формы иероглифы нелепых количеств” Л.
Карно.

 
После создания теории комплексных 
чисел возник вопрос о существовании
“гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими
“мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик
У.

Гамильтон, который назвал их “кватернионами”.
Правила действия над кватернионами напоминает
правила обычной алгебры, однако их умножение
не обладает свойством коммутативности
(переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются
темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю
об их существовании.

 
Большой вклад в развитие теории
функций комплексного переменного внесли
русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили
занимался ее применениями к упругости,
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро-
и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С.
Владимиров — к проблемам квантовой теории
поля.

Действия с
комплексными числами

Рассмотрим
решение квадратного уравнения х2 1 = 0. Отсюда х2 = -1.
Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i2 = -1, откуда i =Комплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числа

Числа вида 4 3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем
виде комплексное число записывается а bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется
действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного
числа.

Сложение
комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = a bi и
z2 = c di называется комплексное число z = (a c) (b d)i. Числа a bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному
числу 2а, (а bi)
(а-bi) = 2а. Числа а bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю.
Комлексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты
мнимых частей: а bi =
c di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда,
когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a bi = 0, если a = 0,b = 0. Действительные числа являются
частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a bi = a — действительное число. Если а = 0, b Комплексные числа

Вычитание
комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух
комплексных чисел a bi и с di называется комплексное число х уi, которое в сумме с вычитаемым дает
уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных
чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а bi) — (c di) = (a-c) (b-d)i.

Произведение
комплексных чисел z 1= a bi и z2 = c di
называется комплексное число z = (ac-bd) (ad bc)i, z1z2
= (a bi)(c di) = (ac — bd) (ad bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение
многочленов с заменой i2 на –1.

Из определения
умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно
действительному числу: (a bi)(a — bi) = a2 b2

Деление
комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное
умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и
умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со
знаменателем: (a bi):(c di) = Комплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойства

Степень числа i является периодической функцией
показателя

с периодом 4. Действительно, i2 =
-1, i3 = -i, i4 = 1, i4n = (i4)n
= 1n = 1, i4n 1 = i, i4n 2 = -1, i4n 3
= -i.

Комплексные числа. реферат. математика. 2021-10-12

Введение

Рассмотрев тему «комплексные числа» на занятиях
высшей математики мы заинтересовались данной темой и решили углубить свои
познания в этой области.

Большое значение комплексных чисел в математике
и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес.
Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии,
тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и
различных задачах с механическим и физическим содержанием.

История комплексных чисел

Древнегреческие математики считали
«настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось
представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III
веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Наряду с натуральными числами применяли дроби —
числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах
дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем
Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или
в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.
Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «… элементы чисел
являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом.
Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из
пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной.
Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить
длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с
этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование
несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению,
было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о
числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими
математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III
веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними,
а в VII веке эти
числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с
долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать
изменения величин. Уже в VIII
веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два
значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный
корень извлекать нельзя: нет такого числа Реферат - Комплексные числа и их свойства,
чтобы Реферат - Комплексные числа и их свойства.

В XVI
веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических
уравнений вида Реферат - Комплексные числа и их свойства кубические и
квадратные корни

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Эта формула безотказно действует в случае, когда
уравнение имеет один действительный корень (Реферат - Комплексные числа и их свойства),
а если оно имеет три действительных корня (Реферат - Комплексные числа и их свойства),
то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось,
что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного
корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й
степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII
и XIX веков доказал, что
буквенное уравнение пятой степени Реферат - Комплексные числа и их свойства нельзя
решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные
величины a, b,
c, d,
e с помощью шести
алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень, извлечение корня).

Рефераты:  Исследовательская работа на тему "Влияние солнечной активности" | Образовательная социальная сеть

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое
общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически.
Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и
комплексные числа) n корней
(среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII
веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже
XVIII и XIX
веков
упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г.
предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений Реферат - Комплексные числа и их свойства,
не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида Реферат - Комплексные числа и их свойства,
Реферат - Комплексные числа и их свойства,
нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной
алгебры и считать что Реферат - Комплексные числа и их свойства. Кардано называл
такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически
отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В
самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения
какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году
вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены
первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения
из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский
математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII
века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа Реферат - Комплексные числа и их свойства (мнимой единицы).
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин
«комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово
комплекс (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.
Образующих единое целое.

В течение XVII
века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности
дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над
мнимыми числами. На рубеже XVII
и XVIII веков была
построена общая теория корней n-ых
степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел,
основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

Реферат - Комплексные числа и их свойстваРеферат - Комплексные числа и их свойства

С помощью этой формулы можно было так же вывести
формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году
замечательную формулу : Реферат - Комплексные числа и их свойства, которая связывала
воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера
можно было возводить число e
в любую комплексную степень. Любопытно, например, что Реферат - Комплексные числа и их свойства.
Можно находить sin
и cos от комплексных
чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций
комплексного переменного.

В конце XVIII
века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ
уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие
уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII
века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и
прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще
не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский
ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, —
только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после
подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневается в точности
результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они
представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых
количеств» Л. Карно.

В конце XVIII
века, в начале XIX
века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К.
Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили
изобразить комплексное число Реферат - Комплексные числа и их свойства точкой Реферат - Комплексные числа и их свойства на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а вектором Реферат - Комплексные числа и их свойства,
идущим в эту точку из начала координат.

При таком истолковании сложение и вычитание
комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор Реферат - Комплексные числа и их свойства можно
задавать не только его координатами a
и b, но так же длиной r
и углом j, который он
образует с положительным направлением оси абсцисс.

При этом Реферат - Комплексные числа и их свойства,
Реферат - Комплексные числа и их свойства и
число z принимает вид Реферат - Комплексные числа и их свойства,
который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r
называют модулем комплексного числа z
и обозначают Реферат - Комплексные числа и их свойства. Число Реферат - Комплексные числа и их свойства называют
аргументом z и обозначают ArgZ.
Заметим, что если Реферат - Комплексные числа и их свойства, значение ArgZ
не определено, а при Реферат - Комплексные числа и их свойства оно определено с
точностью до кратного Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет
записать число z в виде Реферат - Комплексные числа и их свойства (показательная
форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел
позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного
переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во
многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами Реферат - Комплексные числа и их свойствана
плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник
вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел — чисел с несколькими
«мнимыми» единицами.

Такую систему вида

Реферат - Комплексные числа и их свойства

где Реферат - Комплексные числа и их свойства,
построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их
«кватернионами».

Правила действия над кватернионами напоминает
правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством
коммутативности (переместительности): например, Реферат - Комплексные числа и их свойства,
а Реферат - Комплексные числа и их свойства.
Гиперкомплексные числа не являются темой этого реферата, поэтому лишь упомянем
об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного
переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее
применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и
гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой
теории поля.

Комплексное число имеет вид a
bi; здесь a
и b — действительные
числа , а i — число нового
рода, называемое мнимой единицей.

“Мнимые” числа составляют частный вид
комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа
являются частным видом комплексных чисел (когда b
= 0).

Действительное число a
назовем абсциссой комплексного числа a
bi; действительное
число b — ординатой
комплексного числа a bi.
Основное свойство числа i
состоит в том, что произведение i*i
равно -1, т.е.

i2= -1

Долгое время не удавалось найти такие физические
величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам,
что и действия над комплексными числами — в частности правилу (1). Отсюда
названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен
целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не
только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или
физическом смысле числа i,
потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными
числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над
комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом,
чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь
комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а
совместно с ними.

отрезок комплексный число

Соглашение о комплексных числах

1. Действительное
число а записывается также в виде a
0i (или a
— 0i).

Примеры. Запись 3 0i
обозначает то же, что запись 3. Запись -2 0i
означает -2.

2. Комплексное
число вида 0 bi
называется “чисто мнимым”. Запись bi
обозначает то же, что 0 bi.

3. Два
комплекных a bi,
a’ b’i
считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е.
Если a = a’,
b = b’.

4. В
противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается
следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2
5i = 8 2i,
то по правилам алгебры мы имели бы i
= 2, тогда как i не должно
быть действительным числом.

Замечание. Мы еще не определили, что такое
сложение комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве
утверждать, что число 2 5i
есть сумма чисел 2 и 5i.
Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса)
и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5
7i.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел a
bi и a’
b’i
называют комплексное число (a
a’) (b
b’)i.

Это определение подсказывается правилами
действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 5i) (4 — 8i) = 1 —
3i

Пример 2. (2 0i) (7 0i) = 9
0i. Так
как запись 2 0i означает то
же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой
(2 7=9).

Пример 3. (0 2i) (0 5i) = 0
7i, т. е. 2i 5i = 7i

Пример 4. (-2 3i)
( — 2 — 3i) = — 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна
действительному числу. Два комплексных числа a bi
и a-bi
называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна
действительному числу.

Замечание. Теперь, когда действие сложения
определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a
bi как сумму чисел a
и bi. Так, число 2 и
число 5i в сумме дают число
2 5i.

Рефераты:  Теорема Пифагора и способы её доказательства | Учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

Вычитание комплексных чисел.

Оп ределение.

Разностью комплексных чисел a
bi (уменьшаемое) и a’
b’i
(вычитаемое) называется комплексное число (a
— a’) (b
— b’)i.

Пример 1. (-5 2i) — (3 — 5i) = -8
7i

Пример 2. (3 2i) — (-3 2i) = 6
0i = 6

Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел
устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a
bi и a’
b’i
можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i
обладало свойством i 2= — 1. В
силу требования 1) произведение (a
bi)(a’
b’i)
должно равняться aa’
(ab’ ba’)i
bb’i2
, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’
— bb’) (ab’
ba’)i.
В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

Определение. Произведением комплексных чисел a
bi и a’
b’i
называется комплексное число (aa’
— bb’) (ab’
ba’)i.

Замечание 1. Равенство i2
= -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер
требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i
2 , т. е. i*i,
равнозначна записи (0 1*i)(0
1*i). Здесь a
= 0, b = 1, a’
= 0, b’ = 1 Имеем aa’
— bb’ = -1, ab’
ba’ = 0, так что
произведение есть -1 0i,
т. е. -1.

Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться
формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем
положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 — 2i)(3 2i) = 3 — 6i
2i — 4i 2 = 3 — 6i 2i 4 = 7 — 4i.

Пример 2. (a bi)(a — bi) = a2 b
2

Пример 2 показывает, что произведение
сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

В соответсвии с определением деления
действительных чисел устанавливается следующее определение.

Опредление. Разделить комплексное число a
bi на комплексное
число a’ b’i
— значит найти такое число x
yi, которое, будучи
помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда
возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На
практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 — 4i):(3
2i).

Записав дробь (7 — 4i)/(3
2i), расширяем её на
число 3 — 2i, сопряженное с 3
2i. Получим:

((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 2i)(3 —
2i)) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 2. (-2 5i)/(-3 -4i) = ((-2
5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i)( -3 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 — 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно
является частным, достаточно помножить её на a’
b’. Получим a
bi.

Геометрический смысл сложения и вычитания
комплексных чисел

Пусть векторы ОМ и ОМ’ (рис. 1) изображают
комплексные числа z= x
yi u
z’ = x’
y’i.
Из точки М проведем вектор МК, равный OM’.
Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК
называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.

Итак, сумма двух комплексных чисел
представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и
больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z|
— |z’|| < |z
z’| < |z|
|z’|.

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Рис. 1

Равенство имеет смысл только в тех случаях,
когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые или противоположные направления. В
первом случае |OM|
|OM’| = |OK|,
т. е. |z z’|=|z|
|z’|. Во втором
случае |z z’|=||z|
— |z’||.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Длина отрезка

При заданной прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости комплексному числу z = x iy (i2= -1) можно взаимно
однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1)

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Рис. 2

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Число z тогда называют комплексной
координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой
плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с рис. 2 множеством
комплексных чисел, то эту плоскость называют

также плоскостью комплексных чисел.
Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой
точкой плоскости комплексных чисел.

При у=0 число z
действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она
называется действительной осью. При х=0 число z чисто
мнимое: z=iy. Мнимые
числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль — одновременно
действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О
плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и
обозначается |z| или r

|z| = r = |OM| = Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Если Реферат - Комплексные числа и их свойства — ориентированный угол,
образованный вектором Реферат - Комплексные числа и их свойствас осью х, то
по определению функции синуса и косинуса

Реферат - Комплексные числа и их свойства

откуда Реферат - Комплексные числа и их свойства и поэтому Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Такое представление комплексного
числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x iy называют
алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол Реферат - Комплексные числа и их свойства называют
аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Если дано комплексное число z=x iy, то число Реферат - Комплексные числа и их свойства называется
комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно,
и число z сопряжено числу Реферат - Комплексные числа и их свойства. Точки М(z)
и Реферат - Комплексные числа и их свойства симметричны
относительно оси х (рис.2).

Из равенства Реферат - Комплексные числа и их свойстваследует y=0 и
обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является
действительным и обратно.

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Рис. 3

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Рис. 4

Точки с комплексными координатами z и -z
симметричны относительно начальной точки О (рис.3). Точки с комплексными
координатами z и Реферат - Комплексные числа и их свойства симметричны
относительно оси у. Из равенства z=Реферат - Комплексные числа и их свойства вытекает x=0 и
обратно. Поэтому условие z=Реферат - Комплексные числа и их свойства является критерием чисто мнимого
числа. Для любого числа z, очевидно, |z| = |Реферат - Комплексные числа и их свойства| = |-z| = |Реферат - Комплексные числа и их свойства|.

Сумма и произведение двух
сопряженных комплексных чисел являются действительными числами

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Число, сопряженное с суммой,
произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма,
произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Эти равенства можно легко проверить,
пользуясь формулами для операций над комплексными числами. Каждой точке М(z)
плоскости — взаимно однозначно соответствует вектор Реферат - Комплексные числа и их свойства. Поэтому
комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O.
Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание
соответствующих им векторов. Именно если а и b — комплексные координаты точек A
и В соответственно, то число с=а b является координатой точки С, такой, что Реферат - Комплексные числа и их свойства (рис.4).
Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Расстояние между точками А и В равно
Реферат - Комплексные числа и их свойства:

|АВ| = |а-b|

Так как |z|2= zРеферат - Комплексные числа и их свойства, то

|AB|2=(a-b)(Реферат - Комплексные числа и их свойства)

Уравнение zРеферат - Комплексные числа и их свойства= r2 определяет
окружность с центром О радиуса r. Отношение Реферат - Комплексные числа и их свойства, в котором
точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих
точек так:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

откуда Реферат - Комплексные числа и их свойства

Если положить Реферат - Комплексные числа и их свойства и Реферат - Комплексные числа и их свойства, то

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Условия (4) необходимы и достаточны
для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны. При Реферат - Комплексные числа и их свойстваточка С
является серединой отрезка AB, и обратно. Тогда:

c = Реферат - Комплексные числа и их свойства

Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр
имеет комплексную координату Реферат - Комплексные числа и их свойства = Реферат - Комплексные числа и их свойства при условии, что точки А, В, С, D имеют
соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не
исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются
на одной прямой, то равенство a c = b d (5)
является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD
был параллелограммом.

                 
C

   
B                                                              B                         
C

 N       
M                                                     MЬ            

A                               
D                             A                                          D

Рис.
5                                             Рис. 6

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и
BD четырехугольника
ABCD. (Рис.5)

Доказать, что |AB|2 |BC|2 |CD|2 |DA|2 = |AC|2 |BD|2 4|MN|2.

Решение. Пусть точкам A,
В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b,
с, d, т, п.

Так как m = Реферат - Комплексные числа и их свойства и n = Реферат - Комплексные числа и их свойства, то

|AB|2 |BC|2 |CD|2 |DA|2 Реферат - Комплексные числа и их свойства

Реферат - Комплексные числа и их свойства

|AC|2 |BD|2 4|MN|2 Реферат - Комплексные числа и их свойства

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости
параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2 |MC|2=|MB|2 |MD|2, тo ABCD
— прямоугольник. (Рис.6)

Решение. Если за начальную точку
принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому
данное в условии равенство будет эквивалентно равенству Реферат - Комплексные числа и их свойства, которое
означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Уравнение высших степеней, уравнение
деления круга на пять частей

В основе решения уравнений выше второй степени
лежит теорема о рациональных корнях многочлена

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Если несократимая дробь p/q является
корнем многочлена P(x)=Реферат - Комплексные числа и их свойства с целыми
коэффициентами, то её числитель p является делителем свободного
члена, а знаменатель q — делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно
подставить в ур-е P(x)=0 x=p/q и умножить
ур-е на Реферат - Комплексные числа и их свойства. Получим

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Все слагаемые в левой части, кроме
последнего, делятся на р, поэтому и Реферат - Комплексные числа и их свойстваделится на р, а поскольку q и р —
взаимно простые числа, р явл-ся делителем Реферат - Комплексные числа и их свойства. Доказательство для q аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти
все рациональные корни ур-я с целыми коэфф-ми испытанием конечного числа
«кандидатов». Например, для ур-я Реферат - Комплексные числа и их свойства, старший коэфф-т которого равен 1,
«кандидатами» будут делители числа -2. Их всего четыре: 1, -1, 2, -2. Проверка
покажет, что корнем явл-ся только одно из этих чисел: Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Если один корень найден, можно
понизить степень ур-я. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена P(x) на двучлен
х-с равен P(c), т.е.
Р(х)=(х-с)Q(х) Р(с).

Рефераты:  ГОСТ 7.9-95 (ИСО 214-76) СИБИД. Реферат и аннотация. Общие требования -

Из теоремы непосредственно следует,
что

Если с — корень многослена Р(х), то
многочлен делится на х-с, т.е. Р(х)=(х-с)Q(х), где Q(x) —
многочлен степени, на 1 меньшей, чем Р(х).

Продолжая наш пример, вынесем из
многочлена Реферат - Комплексные числа и их свойства множитель Реферат - Комплексные числа и их свойства. Чтобы
найти частное Q(x), можно
выполнить деление «уголком», как показано на рис. 7. Но есть и более простой
способ. Он станет понятен из примера:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Теперь остаётся решить квадратное
уравнение х2 х-1=0. Его корни:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Если у многочлена с целыми
коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить
его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например,
уравнение:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Представим левую часть в виде
произведения двух квадратных трёхчленов с неизвестными (неопределёнными)
коэффициентами:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Раскроем скобки в правой части и
приведём подобные:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Теперь, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х в обеих частях, получим систему уравнений Реферат - Комплексные числа и их свойства

Попытка решить эту систему в общем
виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корпи, если
они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно
считать, что Реферат - Комплексные числа и их свойства, тогда
последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: b = 3, q=-1 и b=1, q=-3.
Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из
них даёт искомое разложение:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Этот способ решения уравнений
называется методом неопределённых коэффициентов.

Если уравнение имеет вид P(Q(x)) = 0, где
Р и Q —
многочлены, то замена у = Q(x) сводит его
решение к решению двух уравнений меньших степеней: Р(у) = 0 и Q(x) = у.
Замена используется, в частности, при решении биквадратных уравнений.

Более интересный случай — возвратные
уравнения, т. е. уравнения чётной степени

Реферат - Комплексные числа и их свойства,

в которых коэффициенты, одинаково
отстоящие от концов, равны: Реферат - Комплексные числа и их свойства= Реферат - Комплексные числа и их свойства, Реферат - Комплексные числа и их свойства= Реферат - Комплексные числа и их свойства и т. д. Такое уравнение сводится к
уравнению вдвое меньшей степени делением на Реферат - Комплексные числа и их свойстваи последующей заменой у = х± 1/x.

Рассмотрим, например, уравнение

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Поделив его на х2 (что законно, так
как х = 0 не является корнем), получаем

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Заметим, чтоРеферат - Комплексные числа и их свойства.

Поэтому величина у = х 1/х
удовлетворяет квадратному уравнению у ау b
— 2 = 0, решив которое можно найти х из уравнения х2-ух 1 =0.

При решении возвратных уравнений
более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение Реферат - Комплексные числа и их свойствапри любом k можно
представить как многочлен степени k от у = х
1/х.

Описанные здесь приёмы используются
при исследовании (в комплексных числах) уравнения деления круга на пять частей:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Рис. 7

Уравнение называется так потому, что
если его корпи отметить па комплексной плоскости, то они попадут в вершины
правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, причём одной из
вершин будет точка с координатами (1;0) (рис.8). Используя тригонометрическое
представление комплексного числа, эти корни можно записать следующим образом:

Реферат - Комплексные числа и их свойства, k=1, 2, 3, 4,
5.

Среди них находится и единственный
действительный корень ьРеферат - Комплексные числа и их свойства.
Спрашивается, можно ли выразить остальные.

Попробуем сделать это.
Поскольку один корень, х=1, нам известен, понизим степень уравнения, вынося из
его левой части двучлен х-1:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Остаётся
уравнение

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Оно возвратное, делим его на Реферат - Комплексные числа и их свойства:

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Подставляем z=x 1/x:

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Корни этого квадратно уравнения

Реферат - Комплексные числа и их свойства.

Для х получаем уравнение Реферат - Комплексные числа и их свойства, или

Реферат - Комплексные числа и их свойства

Отсюда

Реферат - Комплексные числа и их свойстваРеферат - Комплексные числа и их свойства.

Таким образом, наше уравнение
допускает решение в радикалах, и даже в квадратных радикалах. Последнее
означает что правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и
линейки. Более того, полученные формулы указывают и конкретный способ: прежде
всего надо построить отрезки, равные действительным и мнимым частям комплексных
чисел Реферат - Комплексные числа и их свойства, а затем
точки с соответствующими координатами — они и будут вершинами пятиугольника.

Заключение

Исследовав эту тему и проанализировав весь
материал, который смогли найти, мы сделали вывод, что комплексные уравнения не
только незаменимы, но и должны рассматриваться в широком спектре их
практического применения.

Метод комплексных чисел позволяет решать
планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными
выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее
требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с
координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой
немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть
очень коротким.

Список использованной литературы

1.
«Энциклопедия для детей — математика» 1998 г.

.
«Энциклопедический словарь юного математика» 1997 г.

Реферат — комплексные числа и их свойства

6.Комплексные числа и координатная плоскость.

ПрипереходекгеометрическоймоделимножестваСкомплексныхчисел

требуется,какминимум,ещёодноизмерение:ведьвсеточкипрямойуже

«заняты»действительнымичислами.Оказывается,геометрическоймоделью

множества C являетсякоординатнаяплоскость.Каждомукомплексномучислу

можноестественнымобразомпоставитьвсоответствиеточкукоординатной

плоскости.Тогдалюбомукомплексномучислусоответствуетединственная

точка на координатной плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости

является «изображением» единственного комплексного числа.

В случаес комплексными числами,в соответствие счисловой прямой,

отождествлениесточкамикоординатнойплоскости.Например,фраза:«число

z

1

лежитвпервойкоординатнойчетверти»простоозначает,чтои

действительнаяимнимаячастикомплексногочисла

положительны.Слова«z2лежитнаосиординат»являютсяпереводомна

геометрический языктого факта,что числоz

2

чисто мнимое, а «…комплексное

число z

3

расположенывышебиссектрисы1и3координатныхчетвертей…»

показывают,чтомыимеемделоскомплекснымчисло,укоторого

мнимаячастьбольшедействительнойчасти.

Иногдаприведенныеправиладлясложения,вычитаниякомплексныхчисели

умножениякомплексныхчиселнадействительныечисламобъединяюттаким

образом:вомножествокомплексныхчиселоперациисложения,вычитанияи

умножениявычитанияиумножениянадействительныечислапроизводятся

покоординатно.Подчеркнемчтосамаэтаформулировкапредполагает

операцииуженессамимикомплекснымичислами,асихгеометрическими,

векторными представлениями.

у

х

Z

3

Z

1

Z

2

y=x

§

= 0, т.е. х

2

|х| = 0. Но это возможно только при х = 0 (ведь х – действительное число.)

Итак, данное уравнение имеет три корня: z

1

= 0, z

2

= i, z

3

= -i.

7)Задачи,связанныесрешениемразличныхуравнений,

содержащих комплексные переменные.

МножествоЕсостоитизвсехкомплексныхчиселz,таких,что,

.Найдитевсетакиечислаz

о

,чтодлялюбыхz

1

иz

2

изЕ

Решение.

2

2

= (х 4)

2

(у-8)

2

2

– х

2

– 8х – 16 9у

2

– у

2

16у – 64 =0

2

– 8х – 16 8у

2

16у – 64 =0

х

2

– х – 2 у

2

2у – 8 =0

(х – 0,5)

2

(у 1)

2

= 11,25

Окружность с центром (0,5; –1)

Ответ: z

о

= 0,5 – i

8). Среди всех комплексных чисел z, таких, что, есть ровно одно

число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение.

Т.к.аргументравен,тоегодействительнаяимнимаячасти

противоположны.Причёмдействительнаячастьсознаком“-”,амнимая“ ”,

тогда z = – x xi, x > 0

(2 – x)

2

(x – 3)

2

= a

2

4 – 4x x

2

x

2

– 6x 9 = a

2

2(x – 2,5)

2

– 12,5 13 = а

2

2(x – 2,5)

2

= а

2

– 0,5

(x – 2,5)

2

= 0,5(а

2

– 0,5)

Поусловиюровноодночислоудовлетворяетэтомусоотношению.Значит,

уравнениедолжноиметькратныйкорень,чтовозможнотольколишьприa

(а – число неотрицательное).

x = 5/2a = 2,5

Ответ: z = – 2,5 2,5i

Решение
уравнений с комплексным переменным

Рассмотрим
сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а — заданное число, z — неизвестное. На множестве
действительных чисел это уравнение:

1) имеет один
корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два
действительных корня z1,2 =
Комплексные числа

3) не имеет
действительных корней, если а<0.

На множестве
комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .

Задача 1. Найти
комплексные корни уравнения z2 = a, если:

1)а = -1; 2)а =
-25; 3)а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 — i2 = 0.
Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z i) =
0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 =
Комплексные числа

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2 = (-1)25,

z2 = i2 52, z2 —
52 = 0, (z-5i)(z 5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 =
-5i.Ответ.z 1,2 = Комплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойстваКомплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойства

Заметим, что
найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2 3i и z2=2-3i.
Найдем сумму и произведение этих корней: z1 z2=(2 3i) (2-3i)=4, z1z2=(2 3i)(2-3i)=13.

Число 4- это
2-й коэффициент уравнения z2-4z 13=0, взятый с противоположным знаком, а
число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она
справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни
уравнения az2 bz c = 0, z1 z2 = —Комплексные числаКомплексные числаРеферат - Комплексные числа и их свойства

Задача 3.
Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1 2i. По теореме Виета находим

P=-(z1 z2)=2, q=z1z2=5.
Ответ z2-2z 5=0.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий