реферат — Геометрический и физический смысл производной.

реферат - Геометрический и физический смысл производной. Реферат

Введение

Изучая тему «Производная»
в курсе алгебры и начала анализа,
мы имели возможность убедиться
в том, что она имеет большое
прикладное значение. Тема используется
при исследовании функций и построение
графиков, при решении задач на максимум
и минимум, при изучении тем «Интеграл»,
«Дифференциальные, уравнения».

В своей работе я
хочу остановиться более подробно на
задачах, решение которых ведется
с помощью понятий: физический смысл
производной; геометрический смысл
производной.

Целью моей работы является
актуализация знаний по теме «Производная»
с тем, чтобы наиболее качественно
подготовится к экзамену по математике
за курс средней школы, а также
к дальнейшему обучению на экономическом
факультете УРГСХА.

1
Задачи, связанные с
физическим смыслом
производной.

№1 Точка
движется по координатной прямой согласно
закону

X (t) =
.
В какой момент

времени скорость точки будет равна 9?

Решение:

Мы знаем,
что скорость точки равна производной
функции x(t)=

.По условию задачи.

(t) =
(
t) =

=8t – 3 т. к
(t)=9, то имеем уравнение

8t-3=9

8t=12|/8

T=1.5 (с)

Ответ: скорость
точки будет равна 9 в 1,5 секунды.

№2 Точка
движется по координатной прямой согласно
закону x(t)=
.
Вычислите ускорение
точки в момент времени

t=2
c.

Решение:

Мы знаем,
что ускорение есть вторая производная
функции x(t)=
,

X (t)=
= (t)= = 12 t-
10

Итак, a=
(
t)
= 12t-10 , находим a(2c)=12*2-10=14м/с.

Ответ: ускорение
точки в момент времени t=2 равно 14м/с.

№3
Точка движется по координатной прямой
согласно закону x(t)=
.
В какой момент

времени
ускорение точки будет равна 6?

Решение :

Мы знаем,
что ускорение есть вторая производная
функции x(t)=
(t)
=3

(t)

(t)= (
(t)) = (
=6t-6=a(t)

Итак a(t)=6t-6
по условию задачи оно равно 6, следовательно
решаем уравнение .

6t-6=6

6t=12

T=2

Ответ: a=6м/с
при t=2с

№4
Точка движется по координатной прямой
согласно закону x(t)=
— 9
t. В какой момент времени
скорость точки будет минимальна?

Решение:

Найдем производную
функции
==
-12

t 9

Итак,

(

t)=
-12
t 9. Найдем производную скорости.

(

t)=
=
6

t-12

Решим уравнение

(

t)=0

6t-12=0

6t=12/6

T=2 (стационарная
точка функции)

(

t) определить вид
экстремума

(1)=6*1-12=-6<0

На интервале
(0; ) функция имеет
только одну стационарную точку и это
точка минимума, следовательно,
именно в ней функция принимает наименьшее
значение.

Ответ: скорость
точки будет минимальна при t=2с

2
Задачи, связанные с
геометрическим смыслом
производной .

№1. Написать
уравнение касательной к графику функции

y =

в точке графика с абсциссой
.

Решение:

Находим производную
функции
= ==

    y(=- Cos2
    =-
    Cos=1 1-1=1
    ()= 2 =22*1-2=2
    Подставляем найденные
    значения в уравнение касательной



    Подставим найденные
    значения в уравнение касательной

Y=-1 2(x-1)

Y=-1 2x-2

Y=2x-3

Ответ: Y=2x-3

№3 Напишите
уравнение касательной к графику функции
,
параллельно прямой

y=2x 7

Решение:

В этой задаче
не дано

значит мы должны
найти.
Геометрический, смысл
производной состоит
в том, что значение
производной в точке

есть угловой
коэффициент касательной. А т.к касательная
должна быть параллельно прямой y=2x 7,
это
=2

Найдем:

, следовательно подставляем
найденные значения в уравнение.

Ответ: № 4 В каких
точках графика функции Касательная к этому
графику образует с положительным
направление оси Ox угол?Решение: Найдем
производную функции.Мы знаем, что ,
следовательно Решим уравнение Ответ: №5 Напишите уравнение
касательной к графику функции в
точке ее минимума.

Решение: Найдем точку
min функции Найдем стационарные
точки функции решив уравнение =0-X=0 стационарная точка

(1)=4*ln4-*ln2=4*ln4-4*ln2Итак Уравнение касательной
имеет вид.Y=-1 0(x-0)Y=-1Ответ: Y=-1№6 Дана функция .
Напишите уравнение
касательной к графику
функции , проходящую через точку А(2;-5).Решение:

Так
как , то точка А не принадлежит
графику функций . Пусть —
абсцисса точки касания. Производная функции существует
для любого . Найдем
ее:,
тогда . Уравнение касательной
имеет вид Так как точка А принадлежит
касательной, то справедливо числовое
равенство . откуда =0
или =4.

Это означает
что через точку А можно провести две касательные
к графику функции .Если =0,
то уравнение имеет
вид . Если =4,
то уравнение касательной
имеет видОтвет:№7 Даны функции . Напишите уравнение
общей касательной к графикам
этих функций.Решение:

Пусть —
абсцисса точки касания
искомой прямой с графиком
функции , а — абсцисса
точки касания той же прямой с графиком
функции .Производная функции существует
для любого . Найдем ее:=2x-2
.

Тогда . Уравнение касательной
имеет вид . Производная функции существует
для любого . Найдем ее:Тогда
. Уравнение
касательной имеет вид Очевидно, что оба
уравнения являются уравнениями
одной и той же прямой при выполнении
двух условий:

Решив систему двух уравнений
с двумя неизвестными получим или
или , . Это означает,
что существует две
общие касательные к
графикам функций и . Подставим ,
затем в уравнение (2),получим
уравнения двух касательных:Ответ:

Остаточный член формулы тейлора

В форме Лагранжа:
реферат - Геометрический и физический смысл производной.реферат - Геометрический и физический смысл производной.

23-24)Вычисление длины дуги кривой.

Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая, являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x) с непрерывной производной на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками . Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x) на [a,b] разобьется на n частей точками

реферат - Геометрический и физический смысл производной. . Проведем хорды  и обозначим их длины  соответственно. Полученная ломаная имеет длину  Длиной дуги кривой y=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления)реферат - Геометрический и физический смысл производной. .Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка  :реферат - Геометрический и физический смысл производной. .Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a,b], то, по теореме Лагранжа о дифференцируемых функциях, найдется такая точка  на отрезке  , чтореферат - Геометрический и физический смысл производной. .Если обозначить  , то формулу для  можно переписать в видереферат - Геометрический и физический смысл производной.Таким образом, длина дуги y=f(x) на отрезке [a,b] определяется формулойреферат - Геометрический и физический смысл производной.в силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы. Выражение   называется дифференциалом  дуги. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.Если кривая задана уравнением x=f(y), yÎ[a,b], то, рассуждая аналогично, можно получить формулу  .Если кривая на плоскости задана параметрически: x=x(t), y=y(t),   , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке   непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим:реферат - Геометрический и физический смысл производной. Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t),  , где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на отрезке функции с непрерывной производной, то длина кривой вычисляется по формулереферат - Геометрический и физический смысл производной. реферат - Геометрический и физический смысл производной. .Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением  , где  — дифференцируемая функция с непрерывной на  производной  . Запишем формулы перехода от декартовой системы координат к полярной:  . Если в эти формулы подставить  , то получится параметрическое задание кривой, где параметр  — полярный угол. Тогда по формуле для параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривойреферат - Геометрический и физический смысл производной.реферат - Геометрический и физический смысл производной.реферат - Геометрический и физический смысл производной.реферат - Геометрический и физический смысл производной. .  .

Рефераты:  Медико–тактическая характеристика очагов аварий, катастроф и стихийных бедствий. Курсовая работа (т). Безопасность жизнедеятельности. 2012-10-06

Раздаточный материал: карточки с заданиями, микроплакаты  с  формулами,  макеты передвижных  графиков

Технические средства: ПК IBM

Литература:  А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс часть 1 и 2

Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:

       Кто такой учёный?   Определение.   Тот, кто ночами, забыв про кровать.Усердно роется в книжной груде.Чтобы ещё кое-что узнатьИз того, что знают другие люди.

 (П. Хейн)

                                   1. Организационный момент                                      (3 минуты)

Организационный  момент: приветствие, проверка посещаемости, ответы на вопросы по д.з.

  2. Сообщение темы урока и целей занятия.

           Вступительное слово                                                                                      (5 минут)

«Мир — рвался в опытах Кюри Атомной, лопнувшею бомбойНа электронные струи…»

Эти  строчки  в одном из своих стихотворений   написал поэт Андрей Белый. Это был только 1921 год… За полтора десятка лет до того,  как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век!

Но почему же мы  знаем о его литературных достижениях и     о  Борисе Бугаеве математике знаем совсем мало?!  А дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке,  когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения.  Премий много, но самая престижная — Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях).

Так, например  мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека,  которому бы её вручили за математику! Почему?  Потому, что  у  её  основателя  Альфреда  Нобеля была невеста  и  друг   –   математик,  который  отбил  её  у  него…  После чего Нобель завещал:  за математику премию не вручать!

И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными,  совершить открытие,  вывести формулы самим,  и  как  знать,  может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями  и, наконец-то, обратит внимание на математиков!    

Итак,  начинаем исследовательскую часть.

3. Актуализация опорных знаний

Работа идёт в группах. Ученики берут лист с заданием и выполняют  это  задание  в  тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри группы.

   Математики.  Лист №1.

           Пусть   дан   график    f(x).

Рассмотрим точку М0 с абсциссой  xo.   Пусть  ∆х   —  это  изменение  абсциссы  от  точки   xo   до  х,  т.е.   ∆х  =  х — xo ,   M0М – секущая,  M0N – касательная. 

    Найдите

     а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

     б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная — это предельное положение секущей)

        Решение:   f(x) – заданная функция, ∆х  =  х — xo – изменение  абсциссы  от  точки   xo  до  х

Рефераты:  Меры безопасности при извержении вулкана - Правила безопасности при всесезонных рисках - Главное управление МЧС России по Сахалинской области

vср  = . В нашем случае  kсек =

При    х→х0 (или  ∆х →0)  будет   f(x)→f(x0), следовательно,  M0М→ M0N.    Тогда    k кас =  .

         Вопрос: Скажите, а вы знаете,  кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?

        — Да. Буква  «∆»   — одна из заглавных букв греческого алфавита ее  стал  использовать  Эйлер (сер. 18 века).

Физики. Лист №1:

Рассмотрим движение материальной точки  М по прямой с выбранным на ней  началом отсчета  — точкой О.  Расстояние от начала отсчета до точки М  в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение  точки М будет описываться функцией  

s = s (t), t[ t0 ; t].  

Найдите:

           а) среднюю скорость за отрезок [t0 ; t];

           б) скорость точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток   времени   длительности  t —  t0  между   моментами  времени  t0    и  t    точка  проходит путь равный      s(t) –s(t0 ). 

Среднюю скорость получают,  разделив перемещение материальной точки   s  на изменение  времени,  в течение которого оно совершено.

Тогда    vср  = ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать  движение. А мгновенной скоростью называется предел средней скорости за промежуток времени от  t0    до  t    при    t→ t0. Тогда  

          Биологи.  Лист №1.

          Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение  начального интервала времени  от  t0    до  t  происходит по некоторому закону  y = N(t).                                                                  

Найдите:

          а) среднюю скорость изменения количества бактерий за  промежуток    времени [t0 ; t];

          б)  скорость изменения количества точки в момент времени t0  (мгновенную скорость).

                Решение:   В физике для нахождения средней скорости  делят длину перемещения тела  s  на время,  в течение которого оно совершено, т.е.    vср  = .  В нашем случае     vср  = .

Мгновенной скоростью v(t0)  в момент времени  t0 является предел средней скорости за промежуток времени  от  t0     до  t     при    t→ t0.    

Тогда  .                                                                          

                           4.  Изучение нового материала                       (15-20 мин)

        Подобные задачи рассматриваются  и  в  экономике, и  в  анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство»  или  «объем  реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».

        А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы  решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к пределу отношения разности значений функции к разности значений аргумента.

         Так как  ∆х показывает на сколько изменилось начальное значение аргумента х0,  то  ∆х  называют «приращением аргумента».  

        Приращению аргумента  соответствует «приращение функции», которое  также обозначается с помощью заглавной греческой  буквы «∆». Исходя из этого полученную формулу   можно записать по-другому:    или        и прочитать так: предел отношения приращения функции  к  приращению аргумента при ∆х →0  ( или при  ∆ t→0).  

        Поскольку многие  задачи  в различных областях  науки  в  процессе  решения  приводят  к  такой же модели —  этому пределу надо: дать название,  дать обозначение  и   изучить его.         Это  мы  с  вами  сейчас  и  сделаем. 

        Математически предел отношения приращения функции  к  приращению аргумента  при  ∆х→0  называется  производной  в точке xo,    но   обозначается по-разному:

 f′(х),   f′,  у′   —  эти обозначения для производной ввел  Жозеф Луи Лагранж

   или   — эти обозначения ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц    (разности  xo — xo  и  у — уo   он обозначил как  dx  и  dy,  d – первая буква в латинском слове  diferentia означающее «разность»).

        Это определение вы  запишете  в тетрадях,   а  я  — на доске:

Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. учащиеся должны ответить:

     1. Задать функцию f(x).

     2. Задать приращение аргументу и найти приращение функции …           ∆у = f(x0  ∆х) – f(x0).

     3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента…            

      4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента  при  ∆х→0             

Рефераты:  Реферат: Система смазки и охлаждения двигателя автомобиля

      Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради

      Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния:  s'(t) = v(t);

        Геометрический смысл:   f'(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

                                                      f'(хо) = k =  tg α.   

        Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что?  (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот —  если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная.

Итак, подведём итог:  вы сами дали мне определение производной,  но встаёт вопрос:  а всегда  ли  существует производная в точке?  Возьмите модели в руки.  На них вы видите график некоторой функции  у = f(x).  А теперь давайте покрутим  окружность  с графиком вокруг центра и рассмотрим различные положения кривой и касательной к ней.

        Рассматриваются различные случаи… Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох  и  параллельна   оси  Ох.

        Всегда ли существует ли производная в точке хо?  

 Задается ряд вопросов:

Давайте  вернёмся  к  геометрическому смыслу производной: производная в точке  равна  угловому коэффициенту касательной,  проведённой в этой точке    f'(хо) = k =  tg α.

        Мы получили, что не во всех точках существует производная.

        Как же так?  Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке,  то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?!  Подумайте, что же вы сделали не так,  и исправьте фразу. «

Далее учащиеся   возвращаются  к предложению,  написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:  

5. Закрепление нового материала  

                              Самостоятельная работа в группах  (15-20 минут)

        Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2

        Биологи  

        Лист №2:  Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите  производную функции  y = C.

        Решение         

y = C – постоянная линейная функция.

∆у = f(x ∆х) – f(x)= С – С = 0;                 = 0,

то  у′ =    =  = 0.

Итак,    ( С ) ′= 0.

        Физики  

        Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции  y = kx b.

        Решение

y = kx b – линейная функция.

Аргументу   х дадим приращение  ∆х, тогда

∆у = f(x ∆х) – f(x)=

     = k (x ∆х) – (kx b) = k∙x k∆∙х – kx  —  b = k∆∙х

 = k =  k.

Итак,  (kx b)′ = k.

        Математики

        Лист №2:  Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции  y = х2. 

Решение

y = х2 .

Аргументу   х  дадим приращение  ∆х, тогда

∆у = f(x ∆х) – f(x)=

     = (x ∆х)2 – х2 =  

      = х2 2∙х∙∆х (∆х)2 — х2 = 2∙х∙∆х (∆х)2 = ∆х∙(2х ∆х)

 = 2х = 2х.

Итак, (х2 )′ = 2х.

6 этап.  Закрепление  нового  понятия

        Работа  с  программой «Математика 10-11».

        1. Инструктаж по технике безопасности.

        2. Инструктаж по работе с программой.

       3. Просмотр и прослушивание темы:  «Производная», «Пример 1»,

        «Пример 2». Решение задач 1 и 2.

        Просмотр и прослушивание темы: «Задачи о касательных»,  «Пример 1»,          

         «Пример 2»,  «Пример 3». Решение задач 1 и 2.

        Просмотр и прослушивание темы: «Механический смысл производной»,  

         «Пример 1», « Пример 2».  

         Решение задачи 1.Прослушивание, просмотр, запись….

7 этап. Итог урока

Вопросы учащимся:

Что называется производной в точке?

Сформулируйте физический смысл производной?

Геометрический смысл? Когда существует производная?

Какой момент был самым интересным на уроке?

Какой был самым трудным?

        Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию — вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.

       Почему крокодил?

       Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!

     Этого я и вам желаю! »

     Оценки за работу на уроке…  

8 этап. Домашнее задание

  Выучить теорию по учебнику  §27-28, № 27.1-27.4

Заключение

Работа по теме «Геометрический
и физический смысл производной»,
позволила мне повторить

формулы
производных элементарных и сложных
функций, правила дифференцирования,
и помогло глубже разобраться
в понятиях физический, и геометрический
смысл производной.

Я лучше усвоила
тему «Уравнение касательной к графику
функций» и думаю, что без труда
справлюсь с аналогичными заданиями
на экзамене по математике.

и т.д……………..

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий