Введение
Изучая тему «Производная»
в курсе алгебры и начала анализа,
мы имели возможность убедиться
в том, что она имеет большое
прикладное значение. Тема используется
при исследовании функций и построение
графиков, при решении задач на максимум
и минимум, при изучении тем «Интеграл»,
«Дифференциальные, уравнения».
В своей работе я
хочу остановиться более подробно на
задачах, решение которых ведется
с помощью понятий: физический смысл
производной; геометрический смысл
производной.
Целью моей работы является
актуализация знаний по теме «Производная»
с тем, чтобы наиболее качественно
подготовится к экзамену по математике
за курс средней школы, а также
к дальнейшему обучению на экономическом
факультете УРГСХА.
1
Задачи, связанные с
физическим смыслом
производной.
№1 Точка
движется по координатной прямой согласно
закону
X (t) =
.
В какой момент
времени скорость точки будет равна 9?
Решение:
Мы знаем,
что скорость точки равна производной
функции x(t)=
.По условию задачи.
(t) =
(
t) =
=8t – 3 т. к
(t)=9, то имеем уравнение
8t-3=9
8t=12|/8
T=1.5 (с)
Ответ: скорость
точки будет равна 9 в 1,5 секунды.
№2 Точка
движется по координатной прямой согласно
закону x(t)=
.
Вычислите ускорение
точки в момент времени
t=2
c.
Решение:
Мы знаем,
что ускорение есть вторая производная
функции x(t)=
,
X (t)=
= (t)= = 12 t-
10
Итак, a=
(
t)
= 12t-10 , находим a(2c)=12*2-10=14м/с.
Ответ: ускорение
точки в момент времени t=2 равно 14м/с.
№3
Точка движется по координатной прямой
согласно закону x(t)=
.
В какой момент
времени
ускорение точки будет равна 6?
Решение :
Мы знаем,
что ускорение есть вторая производная
функции x(t)=
(t)
=3
(t)
(t)= (
(t)) = (
=6t-6=a(t)
Итак a(t)=6t-6
по условию задачи оно равно 6, следовательно
решаем уравнение .
6t-6=6
6t=12
T=2
Ответ: a=6м/с
при t=2с
№4
Точка движется по координатной прямой
согласно закону x(t)=
– 9
t. В какой момент времени
скорость точки будет минимальна?
Решение:
Найдем производную
функции
==
-12
t 9
Итак,
(
t)=
-12
t 9. Найдем производную скорости.
(
t)=
=
6
t-12
Решим уравнение
(
t)=0
6t-12=0
6t=12/6
T=2 (стационарная
точка функции)
(
t) определить вид
экстремума
(1)=6*1-12=-6<0
На интервале
(0; ) функция имеет
только одну стационарную точку и это
точка минимума, следовательно,
именно в ней функция принимает наименьшее
значение.
Ответ: скорость
точки будет минимальна при t=2с
2
Задачи, связанные с
геометрическим смыслом
производной .
№1. Написать
уравнение касательной к графику функции
y =
в точке графика с абсциссой .
Решение:
Находим производную
функции
= ==
- y(=- Cos2
=- Cos=1 1-1=1
()= 2 =22*1-2=2
Подставляем найденные
значения в уравнение касательной
Подставим найденные
значения в уравнение касательной
Y=-1 2(x-1)
Y=-1 2x-2
Y=2x-3
Ответ: Y=2x-3
№3 Напишите
уравнение касательной к графику функции
,
параллельно прямой
y=2x 7
Решение:
В этой задаче
не дано
значит мы должны
найти.
Геометрический, смысл
производной состоит
в том, что значение
производной в точке
–
есть угловой
коэффициент касательной. А т.к касательная
должна быть параллельно прямой y=2x 7,
это
=2
Найдем:
, следовательно подставляем
найденные значения в уравнение.
Ответ: № 4 В каких
точках графика функции Касательная к этому
графику образует с положительным
направление оси Ox угол?Решение: Найдем
производную функции.Мы знаем, что ,
следовательно Решим уравнение Ответ: №5 Напишите уравнение
касательной к графику функции в
точке ее минимума.
Решение: Найдем точку
min функции Найдем стационарные
точки функции решив уравнение =0-X=0 стационарная точка
(1)=4*ln4-*ln2=4*ln4-4*ln2Итак Уравнение касательной
имеет вид.Y=-1 0(x-0)Y=-1Ответ: Y=-1№6 Дана функция .
Напишите уравнение
касательной к графику
функции , проходящую через точку А(2;-5).Решение:
Так
как , то точка А не принадлежит
графику функций . Пусть –
абсцисса точки касания. Производная функции существует
для любого . Найдем
ее:,
тогда . Уравнение касательной
имеет вид Так как точка А принадлежит
касательной, то справедливо числовое
равенство . откуда =0
или =4.
Это означает
что через точку А можно провести две касательные
к графику функции .Если =0,
то уравнение имеет
вид . Если =4,
то уравнение касательной
имеет видОтвет:№7 Даны функции . Напишите уравнение
общей касательной к графикам
этих функций.Решение:
Пусть –
абсцисса точки касания
искомой прямой с графиком
функции , а – абсцисса
точки касания той же прямой с графиком
функции .Производная функции существует
для любого . Найдем ее:=2x-2
.
Тогда . Уравнение касательной
имеет вид . Производная функции существует
для любого . Найдем ее:Тогда
. Уравнение
касательной имеет вид Очевидно, что оба
уравнения являются уравнениями
одной и той же прямой при выполнении
двух условий:
Решив систему двух уравнений
с двумя неизвестными получим или
или , . Это означает,
что существует две
общие касательные к
графикам функций и . Подставим ,
затем в уравнение (2),получим
уравнения двух касательных:Ответ:
Остаточный член формулы тейлора
В форме Лагранжа:
23-24)Вычисление длины дуги кривой.
Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая, являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x) с непрерывной производной на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками . Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x) на [a,b] разобьется на n частей точками
. Проведем хорды и обозначим их длины соответственно. Полученная ломаная имеет длину . Длиной дуги кривой y=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления)
.Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка :
.Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a,b], то, по теореме Лагранжа о дифференцируемых функциях, найдется такая точка на отрезке , что
.Если обозначить , то формулу для можно переписать в виде
Таким образом, длина дуги y=f(x) на отрезке [a,b] определяется формулой
в силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы. Выражение называется дифференциалом дуги. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.Если кривая задана уравнением x=f(y), yÎ[a,b], то, рассуждая аналогично, можно получить формулу , .Если кривая на плоскости задана параметрически: x=x(t), y=y(t), ; , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим:
, Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), , где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на отрезке функции с непрерывной производной, то длина кривой вычисляется по формуле
, 
.Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением , где – дифференцируемая функция с непрерывной на производной . Запишем формулы перехода от декартовой системы координат к полярной: . Если в эти формулы подставить , то получится параметрическое задание кривой, где параметр – полярный угол. Тогда по формуле для параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривой
. , .
Раздаточный материал: карточки с заданиями, микроплакаты с формулами, макеты передвижных графиков
Технические средства: ПК IBM
Литература: А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс часть 1 и 2
Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:
Кто такой учёный? Определение. Тот, кто ночами, забыв про кровать.Усердно роется в книжной груде.Чтобы ещё кое-что узнатьИз того, что знают другие люди.
(П. Хейн)
1. Организационный момент (3 минуты)
Организационный момент: приветствие, проверка посещаемости, ответы на вопросы по д.з.
2. Сообщение темы урока и целей занятия.
Вступительное слово (5 минут)
“Мир – рвался в опытах Кюри Атомной, лопнувшею бомбойНа электронные струи…»
Эти строчки в одном из своих стихотворений написал поэт Андрей Белый. Это был только 1921 год… За полтора десятка лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век!
Но почему же мы знаем о его литературных достижениях и о Борисе Бугаеве математике знаем совсем мало?! А дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке, когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много, но самая престижная – Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях).
Так, например мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому, что у её основателя Альфреда Нобеля была невеста и друг – математик, который отбил её у него… После чего Нобель завещал: за математику премию не вручать!
И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, совершить открытие, вывести формулы самим, и как знать, может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и, наконец-то, обратит внимание на математиков!
Итак, начинаем исследовательскую часть.
3. Актуализация опорных знаний
Работа идёт в группах. Ученики берут лист с заданием и выполняют это задание в тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри группы.
Математики. Лист №1.
Пусть дан график f(x).
Рассмотрим точку М0 с абсциссой xo. Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки xo до х, т.е. ∆х = х – xo , M0М – секущая, M0N – касательная.
Найдите
а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);
б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей)
Решение: f(x) – заданная функция, ∆х = х – xo – изменение абсциссы от точки xo до х
vср = . В нашем случае kсек =
При х→х0 (или ∆х →0) будет f(x)→f(x0), следовательно, M0М→ M0N. Тогда k кас = .
Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?
– Да. Буква «∆» – одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).
Физики. Лист №1:
Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией
s = s (t), t[ t0 ; t].
Найдите:
а) среднюю скорость за отрезок [t0 ; t];
б) скорость точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: За промежуток времени длительности t – t0 между моментами времени t0 и t точка проходит путь равный s(t) –s(t0 ).
Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.
Тогда vср = ;
Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0. Тогда
Биологи. Лист №1.
Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение начального интервала времени от t0 до t происходит по некоторому закону y = N(t).
Найдите:
а) среднюю скорость изменения количества бактерий за промежуток времени [t0 ; t];
б) скорость изменения количества точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: В физике для нахождения средней скорости делят длину перемещения тела s на время, в течение которого оно совершено, т.е. vср = . В нашем случае vср = .
Мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0 является предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0.
Тогда .
4. Изучение нового материала (15-20 мин)
Подобные задачи рассматриваются и в экономике, и в анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство» или «объем реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».
А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к пределу отношения разности значений функции к разности значений аргумента.
Так как ∆х показывает на сколько изменилось начальное значение аргумента х0, то ∆х называют «приращением аргумента».
Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆». Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х →0 ( или при ∆ t→0).
Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели – этому пределу надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.
Математически предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х→0 называется производной в точке xo, но обозначается по-разному:
f′(х), f′, у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж
или – эти обозначения ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц (разности xo – xo и у – уo он обозначил как dx и dy, d – первая буква в латинском слове diferentia означающее «разность»).
Это определение вы запишете в тетрадях, а я – на доске:
Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. учащиеся должны ответить:
1. Задать функцию f(x).
2. Задать приращение аргументу и найти приращение функции … ∆у = f(x0 ∆х) – f(x0).
3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента…
4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х→0
Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради
Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s'(t) = v(t);
Геометрический смысл: f'(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох
f'(хо) = k = tg α.
Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот – если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная.
Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке? Возьмите модели в руки. На них вы видите график некоторой функции у = f(x). А теперь давайте покрутим окружность с графиком вокруг центра и рассмотрим различные положения кривой и касательной к ней.
Рассматриваются различные случаи… Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.
Всегда ли существует ли производная в точке хо?
Задается ряд вопросов:
Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f'(хо) = k = tg α.
Мы получили, что не во всех точках существует производная.
Как же так? Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке, то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?! Подумайте, что же вы сделали не так, и исправьте фразу. “
Далее учащиеся возвращаются к предложению, написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:
5. Закрепление нового материала
Самостоятельная работа в группах (15-20 минут)
Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2
Биологи
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = C.
Решение
y = C – постоянная линейная функция.
∆у = f(x ∆х) – f(x)= С – С = 0; = 0,
то у′ = = = 0.
Итак, ( С ) ′= 0.
Физики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = kx b.
Решение
y = kx b – линейная функция.
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x ∆х) – f(x)=
= k (x ∆х) – (kx b) = k∙x k∆∙х – kx – b = k∆∙х
= k = k.
Итак, (kx b)′ = k.
Математики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = х2.
Решение
y = х2 .
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x ∆х) – f(x)=
= (x ∆х)2 – х2 =
= х2 2∙х∙∆х (∆х)2 – х2 = 2∙х∙∆х (∆х)2 = ∆х∙(2х ∆х)
= 2х = 2х.
Итак, (х2 )′ = 2х.
6 этап. Закрепление нового понятия
Работа с программой «Математика 10-11».
1. Инструктаж по технике безопасности.
2. Инструктаж по работе с программой.
3. Просмотр и прослушивание темы: «Производная», «Пример 1»,
«Пример 2». Решение задач 1 и 2.
Просмотр и прослушивание темы: «Задачи о касательных», «Пример 1»,
«Пример 2», «Пример 3». Решение задач 1 и 2.
Просмотр и прослушивание темы: «Механический смысл производной»,
«Пример 1», « Пример 2».
Решение задачи 1.Прослушивание, просмотр, запись….
7 этап. Итог урока
Вопросы учащимся:
Что называется производной в точке?
Сформулируйте физический смысл производной?
Геометрический смысл? Когда существует производная?
Какой момент был самым интересным на уроке?
Какой был самым трудным?
Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию – вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.
Почему крокодил?
Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!
Этого я и вам желаю! ”
Оценки за работу на уроке…
8 этап. Домашнее задание
Выучить теорию по учебнику §27-28, № 27.1-27.4
Заключение
Работа по теме «Геометрический
и физический смысл производной»,
позволила мне повторить
формулы
производных элементарных и сложных
функций, правила дифференцирования,
и помогло глубже разобраться
в понятиях физический, и геометрический
смысл производной.
Я лучше усвоила
тему «Уравнение касательной к графику
функций» и думаю, что без труда
справлюсь с аналогичными заданиями
на экзамене по математике.
и т.д……………..
