Аналогия
Существует интересный способ рассуждения,
требующий не только ума, но и богатого воображения, исполненный
поэтического полета, но не дающий твердого знания, а нередко и
просто вводящий в заблуждение. Этот очень популярный способ –
умозаключение по аналогии.
Рассуждение идет по схеме: сопоставляются два
объекта и оказывается, что они сходны в каких-то своих признаках.
Из этого делается вывод, что их сходство распространяется и на
другие, еще не рассматривавшиеся признаки. При таком рассуждении
знание, полученное из рассмотрения одного предмета, переносится на
другой менее изученный предмет. Это и есть умозаключение по
аналогии.
Нередко аналогией называют рассуждения, заведомо
не являющиеся умозаключениями по аналогии.
В сказке Л.Кэрролла «Алиса в Стране чудес» есть
такой диалог.
Алиса спрашивает Чеширского кота:
− А откуда вы знаете, что вы не в своем
уме?
− Начнем с того, что пес в своем уме.
Согласна?
− Допустим, − согласилась Алиса.
− Дальше, − сказал кот. − Пес ворчит, когда
сердится, а когда доволен, виляет хвостом. Ну а я ворчу,
когда я доволен, и виляю хвостом, когда сержусь. Следовательно, я
не в своем уме.
Кот сравнивает здесь свое поведение с поведением
пса в тех же обстоятельствах, или, как обычно говорят, проводит
аналогию. Однако рассуждение кота − это не умозаключение по
аналогии. Последнее требует, чтобы на основе сходства известных
черт делался вывод о совпадении и других черт.
А
В абсурде Кэрролла строгая, почти математическая
система.
«Едят ли кошки мошек?… Едят ли мошки кошек?» −
твердит сонная Алиса, меняя действующих лиц местами.
«Вот судья», − размышляет она в сцене суда,
переворачивая причину и следствие. ф «Раз в парике, значит судья».
(Судьи в Англии во время судебных заседаний появляются в мантиях и
париках.)
В той же сцене дрожащий от страха Шляпных Дел
Мастер откусывает вместо бутерброда кусок чашки, которую он держит
в другой руке. Словом, «задом наперед, совсем наоборот», как сказал
бы по этому поводу Траляля. Принцип этот подчеркивают наставления,
которые дают Алисе участники Безумного Чаепития.
«Я говорю, что думаю, − заявляет Алиса, − и
думаю, что говорю». − «Это совсем не одно и то же, − поправляют они
ее. − Ведь не все равно, как сказать: «Я вижу то, что ем», или «Я
ем то, что вижу», а Соня добавляет: «Так ты еще скажешь, будто «Я
дышу, когда сплю», и «Я сплю, когда дышу», − одно и то же!»
Л.Кэрролл разрывает привычные сочетания слов рычагом формальной
логики.
«Когда тебе дурно, всегда ешь занозы, − советует
Алисе Король. − Лучше средства не сыщешь!» Алиса удивлена. «Можно
брызнуть холодной водой иди дать понюхать нашатырю. Это гораздо
приятнее, чем занозы!» − говорит она. − «Знаю, знаю, − отвечает
Король. − Но я сказал: «Лучше средства не придумаешь!» Лучше, а не
приятнее».
Парадоксы Л.Кэрролла
В настоящее время термин парадокс прочно вошел в
нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный
сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в
повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной
литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух,
и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов
друг»)
29]. Поэтому вполне естественно, что
термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях. В.С.
Библер замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых
различных смыслах – от чисто словарного и повседневного (красиво
звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее
осознанного в парадоксах теории множества30».
Парадокс (от др.-греч. παράδοξος − неожиданный,
странный от др.-греч. παρα-δοκέω − кажусь) − истинное высказывание,
утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся
парадоксальностью. Парадоксальность − неожиданность, непривычность,
оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам,
общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по
содержанию и/или по форме31.
Парадокс в обще-базальном порядке
− аффирмация, которая контрастирует с
общепринятыми критериями, ориентациями, установками, а также
парадокс это элиминирование того, что может быть достоверным;
− неожиданное нестандартное положение, которое
антитезно фактам действительности;
− дискурсивно-верное рассуждение, которое
результирует харизматические тезисы, кои могут быть дискурсивно
доказуемы, а уже такие положение мы не можем отнести ни к
достоверным, ни к ложным;
− два антитезных утверждения, которые обладают
весьма убедительными аргументациями.
Трактование парадокса как ошибки иногда приводит
к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают
ошибки, но несколько иного рода. А.В.Сухотин пишет: « Парадокс
рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия
познания.
Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек
и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение
логично, проведено правильно и, тем не менее, дает
сбой»32 [9]. Другие – наоборот «делаются
умышленно с намерением ввести кого-то в
заблуждение»33[С.293].
С ошибками в рассуждениях приходится
сталкиваться на каждом шагу, и избежать их невозможно. Больше того,
процесс человеческого познания состоит, в сущности, из ошибок – в
том числе ошибок в рассуждениях – и их исправления. В частности,
ошибки неизбежны в спорах: если двое отстаивают противоположные
мнения, то в силу закона противоречия в рассуждениях, по крайней
мере, одного из них есть ошибки34[С.181].
Преднамеренные ошибки называют софизмами.
Софизм − (от греч. sóphisma − уловка, ухищрение,
выдумка, головоломка) − умозаключение или рассуждение,
обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или
парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым
представлениям35.
Софизм обычно определяют как умозаключение или
рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость,
абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым
представлениям. Софизмы – логически неправильные рассуждения,
выдаваемые за правильные и доказательные.
Кажущаяся убедительность многих софизмов,
иллюзия их «логичности» и «доказательности» связана с хорошо
замаскированной ошибкой, с нарушением правил языка или логики.
Софизм – это обман, но обман тонкий и закамуфлированный, так что
его не сразу и не каждому удаётся раскрыть.
А.А. Ивин пишет: «В обычном и распространённом
понимании софизм – это умышленный обман, основанный на нарушении
правил языка и логики. Его цель – выдать ложь за истину. Считается,
что прибегать к софизмам предосудительно, как и вообще обманывать и
внушать ложную мысль, поэтому о софизмах обычно говорят вскользь и
с очевидным осуждением36»[С.292-293].
«Сидячий встал; кто встал, тот стоит;
следовательно, сидячий стоит»;
«Сократ – человек; человек – не то же самое, что
Сократ; значит, Сократ – это нечто иное, чем Сократ»;
М.М. Новосёлов предлагает классификацию
парадоксов, которая разделяет их на:
− парадоксы релевантности (т.е. те, в основе
которых лежит допущение о возможности игнорировать подробности
смысловых связей); с этими парадоксами связаны и парадоксы
математической индукции, так как попытки освободиться от этих
парадоксов основаны на математической индукции;
− парадоксы отождествлений (в основе которых
лежит допущение о независимости тождества от отождествлений); они
также связаны с парадоксами математической индукции и парадоксами
актива-пассива;
− семантические парадоксы (основанные на
допущение об осмысленности отношения обозначения);
− теоретико-множественные парадоксы (сводимые к
предыдущим);
− парадоксы актива-пассива (отождествление
происходящего с производимым и т.п.; к ним относятся парадоксы о
необходимости начала мира, антиномии Канта); кроме того, из-за
парадоксов актива-пассива возникают парадоксы отождествлений, а
также следующие группы парадоксов:
− парадоксы модальностей, которые допускают
дальнейшую классификацию: отождествление возможного с
действительным, ошибка смещения целей (приводящая к тому, что
достаточное считается необходимым и т.п.); пренебрежение условиями
возможности (что связано с парадоксами релевантности и приводит к
смешению возможности с действительностью); парадокс «утренняя
звезда»
− парадоксы из-за смещения интуитивных понятий с
четко определенными (они родственны семантическим
парадоксам)37[С.76-77].
Парадоксы в физике были обнаружены ещё в
глубокой древности. Их изучению особое внимание уделяли ученые в
Древней Греции. Наиболее известными «парадоксами древней науки»
являются парадоксы Зенона.
«Дихотомия» или добежит ли бегун до финиша?
Рассуждения бегуна: Прежде, чем я добегу до
финиша, мне необходимо пробежать половину дистанции, затем половину
оставшейся половины, то есть ¾ всей дистанции. Прежде чем я
преодолею последнюю четверть дистанции, мне необходимо пробежать её
половину.
В
38. На самом же деле, если
предположить, что на преодоление первой половины пути бегун
затратит 1 минуту, то каждую половину очередного отрезка он
пробегает за вдвое меньшее время, чем половину предыдущего отрезка.
Бегун преодолеет дистанцию за 2 минуты, хотя за это время ему
придется преодолеть бесконечно много половин соответствующих
отрезков дистанции.
Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху,
которая находится на расстоянии 1 км от него.
К тому времени, когда Ахилл добегает до того
места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти
вперёд на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы
пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то
расстояние.
Парадоксы Зенона показывают, к каким
парадоксальным следствиям приводит представление о неделимых –
«атомах» – пространства и времени, имеющих сколь угодно малые, но
конечные размеры39.
В главе «История Рыбного Деликатеса» Алиса
получает урок классической философии наоборот. Ей снится известный
в то время школьный парадокс о неуязвимом Ахиллесе и черепахе.
Ахиллес бегает быстрее черепахи, но черепаха, тем не менее, всегда
впереди, так как всегда ближе к точке старта.
Алиса появляется как
свидетель «третий», которому два существа, классически медленное и
классически быстрое, дают урок «тише едешь − дальше будешь». Л.
Кэрролл дополняет его собственным выводом − бег «от» и «к» приводит
к убыванию времени. Борхес назвал это открытие Л. Кэрролла
«бесконечным рядом убывающих расстояний».
«К парадоксам следует воспитывать в себе особые
симпатии. Ведь в них обнажаются «горячие точки» науки, пункты ее
наиболее вероятных продвижений вперед»40.
Следовательно, парадоксы – это скорее полезное явление, а не
вредное (как принято считать). Они полезны для науки в целом и,
особенно, для её развития, продвижения вперед.
Чеширский кот
…Кот исчез – на этот раз очень медленно.
Первым исчез кончик его хвоста, а последней – улыбка; она долго
парила в воздухе.
− Д-да! – подумала Алиса, – Видела я котов
без улыбок, но улыбка без кота! Такого я в жизни ещё не
встречала…
Выражение «улыбка без кота» представляет
собой неплохое описание чистой математики, хотя математические
теоремы часто могут быть успешно приложены к описанию внешнего
мира, сами теоремы суть абстракции гения, принадлежащие другому
царству, «далекому от человеческих страстей».
Оксфордская радость доктора Доджсона, любовь его
ночей бессонных – «чистая математика», помещена в книжку в образе
Чеширского Кота (Cheshire Cat). Привлекательная гармония чистой
науки управляет хаосом, как Чеширский Кот своей зримостью.
Растворяясь по собственной надобности, кот оставляет взамен лишь
чистый знак.
Ч
В первоначальном варианте книги Льюиса Л.
Кэрролла Чеширский Кот как таковой отсутствовал. Появился он только
в 1865 году.
Именно с этого момента кот постоянно
сопровождает Алису, делится с ней весьма пространными размышлениями
и также внезапно исчезает, как и появляется. И лишь только висящая
в воздухе улыбка напоминает об этом необычном животном.
Алиса знакомится с Чеширским Котом.
…Только кухарка не чихала, да ещё – огромный
кот, что сидел у печи и улыбался до ушей.
− Скажите, пожалуйста, почему ваш кот так
улыбается? – спросила Алиса робко.
− Потому, – сказала Герцогиня. − Это Чеширский Кот, – вот почему!..
В те времена часто использовалось выражение −
«улыбается, как чеширский кот». Эта поговорка стала предметом
многочисленных споров в университете Оксфорда. Выдвигалось много
гипотез насчет ее происхождения и подробного значения.
В «Книге Вымышленных Существ», в разделе
«Чеширский кот и коты из Килькеннии» (The Cheshire Cat and the
Killkenny Cats), Борхес пишет: «В английском языке есть выражение
«grin like a Cheshire cat» (сардонически усмехаться, как чеширский
кот). Предлагаются разные объяснения. Одно состоит в том, что в
Чешире продавали сыры, похожие на голову улыбающегося кота.
Эта теория имеет интересные абсурдные
последствия, так как сырный кот может быть, в таком, случае быть
съеден мышью! Или – если мы допускаем существование чеширского кота
как породы – он может съесть мышь, которая съела его в виде сыра!
Второе − что над высоким званием небольшого
графства Чешир «смеялись даже коты».
Д
Другие считают, что кошки были завсегдатаями
вывесок различных чеширских харчевен. Они изображались в различных
ракурсах − могли спокойно сидеть, могли вальяжно лежать, а могли и
улыбаться. Вероятно, изначально эти бесхитростные вывески
претендовали на изображение свирепых леопардов или львов, угрожающе
скалящих пасть. Но история и наблюдательный человеческий глаз все
расставили на свои места.
Если присмотреться, кошечки на вывесках
невероятно похожи на важную и уравновешенную британскую породу.
Представители британской кошачьей разновидности по природе своей
обладают очень большими щеками. На них хорошо заметны подушечки для
усов, «смотрящие» в разные стороны. Благодаря ним, создается
впечатление, что кошка хитровато ухмыляется чему-то.
Эта интересная особенность внешнего вида
британских кошек была сразу же замечена острым взглядом англичан. И
с давних пор существует «grin – народная английская поговорка −
«улыбаться, как чеширский кот» like a Cheshire cat».
Когда молодой Доджсон приехал в Оксфорд, там как
раз шла дискуссия о происхождении этой поговорки. Доджсон, уроженец
Чешира, не мог ей не заинтересоваться.
Доктор Доджсон, автор «Математических курьезов»
и «Символической логики», преподнес в подарок Алисе кота высокого
интеллекта − загадку на убывание. Знаменитая улыбка Чеширского кота
− она продолжает висеть в воздухе, даже, когда кот исчезает. И до
сих пор не установлено, почему Чеширский кот улыбается именно так.
Чеширский Кот обладает способностью появляться и
исчезать по частям. Когда он появлялся, то первой появлялась его
улыбка, а когда он исчезал – она исчезала последней.
С одной стороны, улыбка чеширского кота
воспринимается как нечто реально осязаемое и понятное, вполне
сенсорное, но, с другой − есть в ней какая-то мистическая
неуловимость и самостоятельность. Подобно этому существуют и многие
математические понятия − мы не сомневаемся в их реальности, мы
умеем с ними работать, мы научились с определенной степенью
достоверности распознавать и идентифицировать их, мы видим какие-то
их признаки и проявления, но они непосредственно не фиксируются.
«Да! – подумала Алиса. – Видала я котов без
улыбок, но улыбка без кота! Такого я в жизни еще не встречала».
Помимо очевидного обыгрывания примера
невозможности в некоторых ситуациях применить обратную логику (как,
например, в таком выражении: «все шоферы – люди, но не все люди –
шоферы» и т.д.), Л. Кэрролл в этом парадоксе метафорически
описывает суть чистой математики.
Понятно, что математические
теоремы и измышления могут быть успешно применены к описанию
внешнего мира, хотя, по сути, они – не более чем абстракции гения.
В известном смысле, математика и есть «улыбка без кота». То есть,
по словам Бертран Рассела, «чистая мысль».
Кэрролловская арифметика в сказках об Алисе
Кэрролловский метод диаграмм
Л.Кэрроллом были предложены два метода
логического анализа − диаграммы и индексная запись. Причем ведущую
эвристическую роль играют диаграммы. Этот метод основан на
классификации универсума рассмотрения с помощью конкретных свойств
(признаков).
Пусть диаграмма
представляет конкретный универсум. Если
воспользоваться неким признаком, например, Х, то универсум может
быть поделен на две ячейки: X и ~X (не-Х):
Далее можно, взяв другой признак, например, Y
разделить универсум на еще две части. Таким образом, мы получим
«двухбуквенную» диаграмму Л.Кэрролла:
Условимся далее, что знак 1 означает, что данная
клетка универсума занята (в ней имеется хотя бы один предмет,
наделенный такой комбинацией свойств). Л.Кэрролл для этой цели чаще
использует красную фишку (кружок). Знак 0, стоящий в клетке
означает, что эта клетка пуста − таких предметов не существует.
На таких диаграммах можно легко представить
простые суждения. Л.Кэрролл называет их «суждениями существования»
или «нормальными формами». Представим диаграммы для традиционных
четырех видов простых суждений: (A) − общеутвердительных (все X
есть Y); (E) − общеотрицательных (все X не естьY); (I) −
частноутвердительных (некоторые X есть Y) и (O) −
частноотрицательных (некоторые X не есть Y):(I)
Некоторые X суть Y=Некоторые Y суть Х=XY
существуют=Существуют XY
(O)
Некоторые Х суть ~Y=Некоторые ~Y суть Х=X~Y
существуют= =Существуют X~Y
Таким образом, согласно Л.Кэрроллу,
частноотрицательное суждение является разновидностью
частноутвердительного.(E)
Ни один X не сутьY=Ни один Y не суть Х=Ни один
XY не существует=Не существует XY
(A)
Все Х суть Y=(Ни один Х не суть ~Y) (Некоторые Х
суть Y)=(Не существуют X~Y)
(Существуют XY) = …
Таким образом, в логике Л.Кэрролла существует
только два типа простых суждений: I и E. Он называет их
«реальностями» и «химерами» соответственно. О-суждения −
разновидность I-суждений, а общеутвердительные суждения состоят из
одной химеры и одной реальности.
В этом он радикально расходится с
традиционной трактовкой, согласно которой А-суждения чисто обратимы
в общеотрицательные. В трактовке же Л.Кэрролла такой
общеотрицательный эквивалент дополняется «реальностью», в которой
подчеркивается непустота субъекта исходного суждения.
Если учесть возможность перемены мест субъекта и
предиката, а также допущение отрицательных терминов-субъектов и
терминов-предикатов, то очевидно, что такая трактовка, с одной
стороны, упрощает силлогистику, с другой − резко увеличивает число
возможных корректных модусов умозаключений.
Силлогистическое рассуждение − вид рассуждения,
где требуется определить, следует ли из двух или нескольких
утверждений данное заключение. Одним из видов силлогизмов является
категорический силлогизм. Категорический силлогизм включает в себя
кванторные слова, или термины, указывающие на количество.
Обычно силлогизм состоит из двух утверждений,
которые называются посылками, и третьего утверждения, которое
называется заключением. В категорических силлогизмах в посылках и
заключении присутствуют кванторные слова. Задача заключается в том,
чтобы определить, является ли заключение логическим следствием
посылок.
Посылки и заключение силлогизма классифицируются
по наклонениям (moods). Существует четыре вида наклонений, или
сочетаний положительных и отрицательных утверждений с терминами
«все» и «некоторые». Эти четыре вида наклонений приводятся ниже.
Суждение является общим, если оно содержит
термины «все» или «ни один», частным − если содержит термин
«некоторые», отрицательным − если содержит «не», и утвердительным,
если оно не является отрицательным. Таким образом, вид суждения
определить довольно легко, если найти в нем ключевые термины.
Умозаключения − собственно силлогизмы −
предполагают построение трехбуквенных диаграмм, на которые
наносятся суждения посылки:
Например, возьмем посылки:
Все эгоистичные люди неприятны окружающим.
Все обязательные люди приятны окружающим.
В традиционной логике из них может быть получено
общеотрицательное заключение: Все обязательные люди не
эгоистичны.
Проверим его на диаграммах Л.Кэрролла. Универсум
− люди. X − эгоистичные. Y − обязательные. M − приятные окружающим:
По Л.Кэрроллу традиционное заключение
оказывается неполным. Полное заключение содержит еще одно суждение:
Все эгоистичные люди необязательны.
Метод Л.Кэрролла обладает несомненными
эвристическими преимуществами перед другими методами диаграмм:
Л.Эйлера и Д.Венна.
Метод Эйлера основан на сопоставлении понятию −
круга, который изображает объем данного понятия (класс
соответствующих предметов). Для изображения суждений как
субъектно-предикатных структур используются простейшие комбинации
двух кругов, соответствующих объемам субъекта и предиката:
Такая диаграмма используется для изображения
суждений: «все Х суть Y», «ни один X не есть не-Y», «некоторые Y
суть X», «некоторые Y суть не-X» и суждений, обратным четырем
последним.
Эта диаграмма используется в представлении
суждений: «все Х суть не-Y», «Все Y суть не-Х», «ни один Х не есть
Y», «некоторые не-Х суть Y», «некоторые не-Y суть Х», «все не-Х
суть не-Y»
Эта диаграмма используется в представлении
суждений: «некоторые Х суть Y», «некоторые Х суть не-Y», «некоторые
не-Х суть Y», «некоторые не-Y суть Х» и обратные им.
Таким образом, метод Эйлера обладает интересной
особенностью – все эйлеровы диаграммы содержат суждение «некоторые
не-Х суть не-Y». Это позволяет Л.Кэрроллу саркастически заметить:
«По-видимому, Эйлеру никогда не приходило в голову, что это
утверждение иногда может оказаться
ложным!»19 Кроме того, для изображения этого
суждения потребуется весь набор диаграмм.
Что касается метода Д.Венна, то он пользуется
двумя кругами, в которых заштрихованная часть означает пустой класс
(по техническим причинам мы там ставим 0), а непустая, «занятая»
часть отмечается крестиком:
Таким образом, для четырех возможных классов XY,
X~Y, ~XY и ~X~Y лишь первым трем соответствуют клетки конечных
размеров. Четвертому же классу отводится вся остальная часть
бесконечной плоскости. Столкнувшись с необходимостью изобразить
суждение «ни один не-Х не сть не-Y», Венн замечал, что «не следует
стараться заштриховывать всю внешнюю часть диаграммы».
Д
Для четырех терминов потребуется уже сложная
фигура из пересеченных эллипсов, дающая 15 конечных клеток. Для
пяти терминов – еще более сложное построение с 31 клеткой. Причем
один из эллипсов надо будет считать лежащим в плоскости вне одного
из остальных. Для шести терминов потребуются две пятибуквенные
диаграммы. Дальше шести терминов Д.Венн не идет.
Л.Кэрролловские же диаграммы легко
распространяются на 4 термина − в этом случае получаются 16 клеток.
Для пяти терминов используются 32 клетки, для шести − 64, для семи
− 128, для восьми − 256, для девяти − 512 (две соприкасающиеся
восьмибуквенные диаграммы), для десяти − 1024 (квадрат из четырех
восьмибуквенных диаграмм) и т.д.
Фактически, метод Л.Кэрролла является развитием
и усовершенствованием метода Венна. Различия касаются только
графики: у Венна − круги и ячейки ограничиваются кривыми линиями, а
у Л.Кэрролла − прямыми. Кроме того, у Л.Кэрролла класс ~X~Y
занимает такую же ограниченную часть плоскости, что и другие
классы.
Интересно, что уже в ХХ столетии У.Маккаллок и
его последователи, применившие диаграммы Венна (на которого
Маккаллок и ссылается) для моделирования сетей формальных нейронов,
пользовались, фактически, диаграммами Л.Кэрролла. Сначала Маккалок
чертил круги в духе Эйлера-Венна, а затем стал пользоваться
ихфрагментом, как общим случаем20:
Представляя в таких диаграммах информацию,
Маккалок первоначально ставил в точки в значимых ячейках, потом
пользовался знаками 0 и 1, перейдя затем к теоретико-вероятностным
(многозначным) моделям. Д.Коэн показал возможность применения
маккалоковского подхода для выражения не только функций
Буля-Шредера, но и более общих функций Льюиса, а также
Поста-Лукасевича, т.е. к аппарату многозначных и модальных
логик21.
Отечественный исследователь диаграмм Венна −
А.Кузичев показал, что модернизированные Маккаллоком в 1943 году
диаграммы Венна позволяют адекватно выражать содержание не только
алгебры логики Д.Буля, но и логики высказываний и логики
предикатов22.
В 1972 году венгерскими
логиками Д.Бизамом и Я.Герцогом был предложен табличный метод
решения логических задач23. Д.Бизам и
Я.Герцог строят таблицы (матрицы) всех возможных комбинаций
терминов, фигурирующих в рассуждении, чтобы затем, на основе
информации, содержащейся в условиях задачи, вычеркнуть невозможные
комбинации.
Одно из излюбленных обвинений формальной логики
– обвинение в банальности и тавтологичности – так как она не дает
прироста информации. Знание, выраженное в заключении, уже якобы,
содержится в посылках. Поэтому силлогизм не обладает доказательной
силой, поскольку якобы содержит логическую ошибку «предвосхищения
основания», когда утверждается нечто, что еще требуется доказать:
Столь грозное, на первый взгляд, обвинение
просто и изящно отводится в Л.Кэрролловском методе диаграмм,
которым наглядно демонстрируется: чтобы информацию, содержащуюся в
двух посылках, трансформировать в новое суждение (считать
информацию с трехбуквенной диаграммы и перенести ее в
двухбуквенную), необходимо взаимодействие содержания информации,
содержащейся в каждой из посылок.
Как известно, у любого понятия есть две основные
характеристики: объем и содержание. Первая связана с совокупностью
предметов, знание которых фиксировано в понятии. Содержание −
признаки предметов, знание о которых выражено в понятии. Вопрос о
том, что определяет − объем содержание или содержание объем сродни
знаменитому спору о курице и яйце.
Если первичен объем, то познание
начинается с предметов и лишь затем мы выделяем признаки, их
характеризующие. Если первично содержание, то познание начинается с
признаков, из которых потом «лепятся» предметы. Или иначе – то ли
множество определяет свойства, объединяющее элементы множества, то
ли само это свойство определяет принадлежность предметов этому
множеству.
У Л.Кэрролла классы определяются интенсионально,
т.е. наличием или отсутствием признаков предметов. Универсум
рассуждения Л.Кэрролл трактует как пространство признаков,
упорядочение которых и составляет предмет логики. Таким образом,
уже с самого начала просматривается отличие подхода Л.
Элементы логики содержания можно найти еще в
силлогистике Аристотеля. Как отмечает Маковельский, «теория
категорического силлогизма возникла из критики платоновского учения
об определении понятия путем логического деления». Однако
непосредственно саму силлогистику Аристотель строит смешанным
путем.
В присуще С
А присуще В
Следовательно, А присуще С
Обусловлена такая нечеткость, очевидно, тем, что
во времена Аристотеля еще не была выработана ясная дистинкция между
объемом и содержанием понятия. Со времен схоластов в традиционной
«школьной» логике первая фигура понимается несколько иначе:
В есть С
А есть В
Следовательно, А есть С
В этом случае связка «есть» трактуется как
«объем понятия X входит в объем понятия Y.» Наглядное представление
об объемной интерпретации логических отношений дают диаграммы
Эйлера и, правда, в меньшей степени, диаграммы Венна.
Именно с экстенсиональным подходом связаны
магистральные пути развития современной логической науки: булева
алгебра, математическая логика Г.Фреге, Б.Рассела, Д.Гильберта.
Связано это, очевидно, с большей разработанностью анализа объемных
отношений в силу их большей простоты и использования математических
методов: алгебры (Д.Буль, Г.Шредер, С.Порецкий и др.),
функциональной трактовки понятий (Г.Фреге), теоретико-множественных
и теоретико-вероятностных подходов в новейшее время. Математика же
строится преимущественно на основе теории множеств, т.е.
экстенсионально.
Развитие логики содержания после Аристотеля
можно найти в логике стоиков, в основе которой лежит не
общепринятая в Средние века аксиома силлогизма dictum de omni et
nullo и не объемное отношение терминов в силлогизме, а трактовка
вещи как совокупности качеств. Поэтому логика стоиков строится на
интенсиональном принципе «признак признака вещи есть признак вещи».
В принципе, традиция логики содержания
прослеживается на протяжении всей истории логики, ее элементы можно
найти в учениях Р.Декарта, логиков Пор-Рояля, Лейбница. К этой
традиции, в известной степени, примыкает и Л.Кэрролл. Его не
интересует, отражено в посылках реальное положение дел или нет.
Важно, что если бы посылки были бы истинными, то и заключение с
необходимостью было бы истинным суждением. В его логике
рассматриваются изначально все возможные мыслимые ситуации. Решение
же вопроса о реальности существования элементов универсума
(характеризуемых некими комплексами свойств) дело не логики, а
теории познания и конкретной методологии, в конце концов – каждой
конкретной науки и сферы деятельности. Логика же интересуют
всеобщие закономерности, необходимые связи между признаками.
В этом случае преодолеваются трудности с поиском
адекватного выражения логического (необходимого) следования,
решения парадоксов материальной, сильной, строгой и релевантной
импликаций, поскольку логические отношения − суть необходимые
отношения, а отношение следования есть фиксация факта необходимости
сосуществования данных признаков.
Аристотелем в «Топике» была предложена концепция
предикации, согласно которой в качестве предиката суждении могут
выступать:
(1) Родовое понятие − например, «человек −
животное»;
(2) Случайный признак − например, «человек −
сидит»;
(3) Определяющее в определении − например,
«человек − животное, обладающее разумом»;
(4) Собственный признак, т.е. часть сущности
вида − например, − «человек обладает способностью к
речи»24.
Л.Кэрролл все это разнообразие предикации
сводит, фактически, ко второму случаю. Он допускает все возможные
комбинации признаков и рассматривает, каковы логически необходимые
следствия допущения конкретных комбинаций.
В логике его интересуют только признаки: x, y,
z, m и т.д. Он оперирует с полем признаков. Индивиды же интересуют
его лишь постольку, поскольку они являются носителями признаков,
распределенных в универсуме. Эта глубокая идея перекликается с
идеей Г.
Лотце, непонятой историком логики П.С.Поповым, который
критиковал Лотце за ненужное якобы повторение понятия «люди» в
суждении «Некоторые люди суть черные люди»25.
П.С.Попов полагает, что Г.Лотце здесь отходит от своей же концепции
логики содержания, поскольку подводит понятие «черные люди» под
более общее понятие «люди». Однако в логике содержания, тем более в
концепции Л.Кэрролловских нормальных форм суждения, эти аргументы
снимаются.
В логике содержания нас интересуют отношения не
классов, а признаков в поле конкретного универсума. В данном случае
универсумом рассуждения являются люди. Не случайно Л.Кэрролл
постоянно подчеркивает в «Символической логике», что всякая
классификация − мысленный процесс группировки индивидов по
определенным свойствам.
Именно с этой методологической позиции Л.Кэрролл
и предпринял свою основательную критику традиционной силлогистики,
согласно которой из двух отрицательных посылок невозможен
правильный вывод. Л.Кэрролл считал эту концепцию «еще одним пунктом
помешательства логиков, столь же патологическим, как и их
паническая боязнь отрицательных признаков»26.
Он предлагает рассмотреть следующие пары суждений:
Ни один из моих мальчиков не жаден
Ни одна из моих девочек не жадна
Ни один из моих мальчиков не умен
Только умный мальчик мог бы решить эту задачу
Ни один из моих мальчиков не окончил школу
Некоторые из моих мальчиков не поют в хоре
Из каждой пары можно сделать заключение
(соответственно):
Никто из моих мальчиков и девочек не жаден
Никто из моих мальчиков не мог бы решить эту
задачу
Некоторые мальчики, не окончившие школу, не поют
в хоре
Причем, последние суждения в логике Л.Кэрролла
надлежит рассматривать как утвердительные, в то время как в
традиционной логике их сочтут отрицательными. Л.Кэрролл иронически
замечает: «Если вы, дорогой читатель, подробно рассмотрев все три
пары посылок, обнаружите, что не можете вывести заключение ни из
одной из них, мне не останется ничего другого, как повторить слова,
сказанные персонажем в одной пьесе: «Вам придется поверить в то, в
чем мы искренне уверены»».27
И здесь, в критике ограниченности традиционного
объемного понимания логических отношений, Л.Кэрролл −
единомышленник Г.Лотце. Но если немецкий логик наметил только общие
черты логики содержания, то его британский современник дал первый
конструктивный образец ее.
Диаграммы Л.Кэрролла − это графическое
изображение всех возможных описаний состояния универсума,
полученных с применением конкретных средств описания (терминов).
Можно сказать, что это графический аналог описаний состояния
(возможных миров) в духе Р.Карнапа.
Логика Л.Кэрролла − естественным образом логика
необходимых связей. Л.Кэрролловские правила вывода (например,
считывания информации с 3-х и более буквенной диаграммы) есть
правила получения необходимого знания на основании знания о
существовании предметов определенного вида.
Причем, мы только
предполагаем их существование, т.е. если мир устроен так, что наши
посылки истинны (например, коты-гувернеры существуют), то мы с
необходимостью получаем заключение. Подтверждение же таких
экзистенциальных (онтологических, как сказал бы У.Куайн) допущений
производится внелогическим путем. Логика Л.
Рассмотрим некоторые задания из «Символической
логики» Л. Кэрролла.
Задание.
Ваш курс всегда честен.
Ваш курс – лучшая политика.
Решение. Введём следующие обозначения:
Универсум u − курсы, m − ваши, x − честные, y − курсы,
являющиеся лучшей политикой.
M = AmxAmy = (m’ x)(m’ y) = m’ xy.
F(x,y) = xy i = Ixy(3), т.е. «Честный курс – иногда лучшая
политика».
Задание.
Ни одно жирное животное не может бегать быстро.
Некоторые гончие бегают быстро.
Решение. Введём следующие обозначения:
Универсум u − животные, m – быстрые, x − жирные, y – гончие.
M = ExmIym(8) = (m’ x’) & 1 = m’ x’.
F(x,y) = x’ i = Ix’y(5).
F(x,y) = x’ i = Ix’y(5), т.е. «Некоторые гончие не жирные».
Свиньи не летают.
Свиньи прожорливы.
Джон трудолюбив.
Ни один трудолюбивый человек не несчастен.
Некоторые законы о налогах несправедливы.
Все законы, принятые на прошлой неделе, относятся к
налогообложению.
Ни один военный не пишет стихов.
Ни один из моих жильцов не штатских.
Ни одно лекарство не приятно на вкус.
Александровский лист – лекарство.
Некоторые циркуляры не доставляют удовольствия.
Ни одно письмо, в котором содержится какая-нибудь просьба, не
доставляет удовольствия.
Все осы злые.
Всех злых существ необходимо остерегаться.
Кэрролловская логика в сказках об Алисе
Закон исключительного третьего, как и закон
противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу
высказываниями: из двух противоречащих высказываний одно является
истинным.
«Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер
в этом году»,
«Личинки мух имеют голову или не имеют ее».
Истинность отрицания равнозначна ложности
утверждения. В силу этого закон исключенного третьего можно
передать и так: каждое высказывание является истинным или ложным.
Этот закон с иронией обыгрывается в
художественной литературе. Причина иронии понятна: сказать «Нечто
или есть, или его нет», значит, ровным счетом ничего не сказать. И
смешно, если кто-то этого не знает.
В известной сказке Л.Кэрролла «Алиса в
Зазеркалье» Белый Рыцарь намерен спеть Алисе «очень, очень красивую
песню».
– Когда я ее пою, всерыдают…или…
– Или что? – спросила Алиса, не понимая,
почемуРыцарь вдруг остановился.
– Или…не рыдают…
Операция деления
Из арифметики хорошо известна операция деления
чисел. Деление понятий, или логическое деление, – другая
мыслительная операция, имеющая с первой общие не только название,
но и структуру: у обеих операций есть «делимое», «делитель» и
«результат деления».
Логическое деление применяется к понятиям,
результат такого деления – несколько новых, видовых понятий. В
содержание последних входят все те признаки, которые мыслились в
исходном, родовом понятии, и, кроме того, признаки, отличающие один
вид от другого.
Логическое деление, случается, смешивают с
другой операцией, которая тоже иногда именуется «делением», – с
расчленением некоторого предмета на составные части.
Слово «деление» употребляется и в других
смыслах. Они связаны с основными только посредством зыбких
сиюминутных ассоциаций.
В
«− Раздели буханку хлеба ножом − что будет?
− По-моему… − начала Алиса, но тут вмешалась
Черная Королева.
− Бутерброды, конечно, − сказала она. − А вот
еще пример на вычитание. Отними у собаки кость − что останется?
Алиса задумалась.
− Кость, конечно, не останется − ведь я ее
отняла. И собака тоже не останется − она побежит за мной, чтобы
меня укусить… Ну и я, конечно, тоже не останусь!
− Значит, по-твоему, ничего не останется? −
спросила Черная Королева.
− Должно быть, ничего…»
Такого рода комические «деления» и «вычитания»
даже при желании не спутаешь с обычными операциями над числами и
понятиями.
Фантазии Л. Кэрролла и информатика
Ответьте простой вопрос: а что такое компьютер?
Далеко не каждый так вот с ходу запросто может
дать определение, отражающее главные свойства компьютера, тем более
что собственно и само название сбивает с толку. В самом деле, и
русское вышедшее из употребления название
“электронно-вычислительная машина”, и английское “компьютер”,
которое, собственно, переводится на русский точно так же −
“вычислитель”, − говорят о первоначальном главном предназначении
этих устройств − решать математические задачи.
Изучив информатику мы знаем, как именно
компьютер выполняет расчеты: все расчеты, которые выполняет
компьютер, в конечном итоге базируются всего на одной операции −
сложении. Компьютерное вычитание − это сложение уменьшаемого с
дополнительным кодом вычитаемого.
Компьютерное умножение − это
более сложная операция в виде циклического сложения первого
множителя с самим собой, “сдвигаемым влево” на каждом шаге цикла,
согласно битовой маске второго множителя. Наконец, деление − это
циклическая комбинация умножений и вычитаний, то есть, в конечном
итоге, все тех же сложений.
Компьютер, а вернее арифметико-логическое
устройство (АЛУ) его центрального процессора, также “знает”
несколько аксиом, на которых и держится вся эта хитрая штука с
трехмерными играми, стереозвуком, видеопроигрывателями и прочим.
Вот эти аксиомы: 0 0 = = 0; 0 1 = 1; 1 0 = 1; 1 1 = 0.
Когда АЛУ процессора выполняет побитовое
сложение разрядов двух чисел, то в случае если в обоих разрядах
стоят единицы, схемы АЛУ устанавливают соответствующий разряд
итогового числа в ноль (четвертая аксиома) и вырабатывают сигнал
переноса разряда, который будет учитываться при сложении следующих
двух битов.
Получается, что при побитовом сложении схемы АЛУ всякий
раз (кроме сложения самых младших разрядов) складывают не два, а
три бита (третий − это возможная единица переноса, образовавшаяся
при сложении предыдущего разряда). А ведь сложение − это, как было
уже сказано выше, самая массовая математическая операция.
И представьте, насколько бы увеличилась
производительность компьютеров, если бы они оперировали не двумя
числами, а тремя. Таким образом, мы незаметно подошли к идее
троичного компьютера.
На пути создания троичного компьютера имеется
ряд ограничений; первое − элементное. Основа оперативной памяти (и
внутренних схем процессора) современных компьютеров − триггеры.
Триггер, или защелка, − это электронное устройство, которое всегда
может находиться лишь в одном из двух состояний, которые
интерпретируются либо как ноль, либо как единица.
Современные компьютеры − это логические машины.
Большая часть операций, которые выполняются в них, − не
математические, а логические. Да, собственно, и четыре аксиомы АЛУ
− это не математика, а логика. В самом деле, эти аксиомы логически
расписываются следующим образом: “если первый бит равен 0, а второй
равен 1, то в ответе − 1” и т. п.
Это булева логика, введенная в
1847 году английским математиком Джорджем Булем (см. статью
“Паро-вычислительная машина Бэббиджа”, Upgrade # 1 (91)). Булева
логика − двоичная, она очень и очень подходит двоичным машинам, но
для троичных машин и логика должна быть троичной. А где ее взять? И
вот тут мы снова возвращаемся к автору “Алисы в стране чудес”.
В 25 лет Чарльз Лутвайдж Доджсон (Льюис Л.
Кэрролл) получил степень магистра математики, все его наиболее
значимые работы (известные в основном специалистам) были посвящены
математической логике и разработке силлогистики − науки,
основателем которой считается Аристотель.
В своей работе
“Символическая логика” Л. Кэрролл рассмотрел вопросы классификации
объектов и их признаков, а также ввел бинарные и троичные
диаграммы, позволяющие формализовать любые суждения. Строго говоря,
Льюис Л. Кэрролл в середине XIX века (как раз тогда, когда Дж.
Буль
опубликовал свою работу “Математический анализ логики”) разработал
теорию построения логических автоматов, хотя ни о каких автоматах
он и не задумывался. В своей работе Л. Кэрролл предложил
специальные диаграммы для представления в простой форме (квадраты,
разбитые на клетки, и фишки черного и белого цвета) различных
логических суждений.
Пятая книга “Символической логики” Л. Кэрролла
посвящена силлогизмам и является дальнейшим развитием идей
Аристотеля. Очень упрощенно можно сказать, что эта книга стала во
многом основой науки силлогистики, которая, в противовес логике
двоичных суждений, предвосхитила троичную логику.
Силлогистика Л.
Кэрролла была успешной попыткой преодоления “нестыковок”
материальной импликации (смотрите врезку “Импликация”). По мнению
некоторых исследователей, Льюис Л. Кэрролл под видом детской сказки
попытался внедрить свои открытия в области математической логики.
Но литературный талант сыграл с ним злую шутку.
“Алиса в стране чудес” покорила весь цивилизованный мир… но лишь
как забавная, искрометная, полная странных каламбуров сказка. Не
зная его научных работ, “Алису” можно воспринимать только как
совершенно алогичную книгу − увы, открытия Л.
Итак, как же ответить на вопрос о том, имеет ли
отношение к истории вычислительной техники автор “Алисы в стране
чудес”? Если бы все дело закончилось простым забвением его
математических работ, то, видимо, ответ должен быть отрицательным.
Но все дело в том, что его “Символическая логика” повлияла на
русского инженера и изобретателя Н. П.
Брусенцова, который в конце
50-х годов прошлого века сконструировал в МГУ и запустил в серию
единственную в мире ЭВМ с троичной архитектурой. У Брусенцова даже
есть работа, которая называется “Диаграммы Льюиса Л. Кэрролла и
аристотелева силлогистика”41.
Таким образом, логика Л.Л. Кэрролла,
действительно, оказывается логикой, не зависящей в своих законах и
семантике от знания о мире, его структуре и т.д. Она предстает
действенным инструментом познания, а не учением о структуре мира,
как это явно или неявно получается в традиционном экстенсионально
ориентированном логицизме.
Начиная со всех возможных (иногда весьма
экзотических, «лишенных смысла») комбинаций терминов, вроде бы – с
чисто словесной, «безответственной» игры, мы получаем возможность
строгого анализа информации, чтобы с учетом достоверного знания,
полученного опытным путем, получать новое знание.
Нонсенс действительно оказывается необходимым
условием истины.
Глава II. Геометрия и физика Л. Кэрролла
Мысли о свободном падении
В первой главе Алиса попадает в Страну Чудес.
Алиса юркнула за Кроликом следом. Нора шла
сначала прямо, ровная, как туннель, а потом вдруг круто оборвалась
вниз…
Илл. Millicent Sowerby (1907)
Она всё падала и падала. Неужели этому не будет
конца? А не промчу ли я всю землю насквозь? Вот будет смешно.
Вылезаю, а люди все вниз головой! Как их зовут? Антипатии, кажется…
В
42: тело будет падать с возрастающей
скоростью, но с убывающим ускорением, пока не достигнет центра
Земли, где ускорение равно нулю. После этого скорость его станет
уменьшаться, а замедление – увеличиваться до тех пор, пока тело не
достигнет противоположного конца туннеля. Затем снова начнется
падение к центру Земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха и
силой Корнолиса. Возникающей вследствие вращения Земли, то можно
считать, что тело будет колебаться вечно. Сопротивление воздуха,
разумеется, в конце концов, остановит его в центре Земли.
На интерес Л. Кэрролла к этой проблеме указывает
и тот факт, что в его романе «Сильви и Бруно» (гл. 7) немецкий
профессор описывает наряду с листом Мебиуса, проективной плоскостью
и другими научными и математическими диковинками чудесный метод, с
помощью которого можно приводить поезда в движение одной лишь силой
тяжести.
Рельсы следует проложить в совершенно прямом, прорытом по
хорде, туннеле, который соединит два города. Середина туннеля,
естественно, находится ближе к центру Земли, чем концы, вследствие
чего поезд будет скатываться «под гору» к центру, приобретая при
этом достаточный разгон, который вынесет его к другому концу.
Любопытно, что поезд пройдет нужное расстояние (если не принимать
во внимание сопротивление воздуха и трение колес) за время, в
точности равное периоду колебания предмета, падающего в туннеле,
прорытом по диаметру Земли, а именно: немногим более 42 минут. Это
время не зависит от длины туннеля.
«Не успела Алиса и глазом моргнуть, как она
начала падать, словно в глубокий колодец. < … > Пролетая мимо
одной из полок, она прихватила с нее банку с вареньем. На банке
было написано «Апельсиновое», но увы! она оказалась пустой. Алиса
побоялась бросить банку вниз – как бы не убить кого-нибудь! На лету
она умудрилась засунуть ее в какой-то шкаф».
Этим пассажем Л. Кэрролл, очевидно, заставляет
читателя задуматься над абсурдностью описанной ситуации. Как вы
понимаете, Алисе совсем не нужно было бояться бросить банку с
вареньем вниз, так как в условиях свободного падения, банка бы
никуда не упала – она осталась бы перед ней в подвешенном
состоянии.
Естественно, что и поставить банку на полку Алиса тоже
никак не смогла бы, так как скорость падения была бы слишком
большой. Как это ни удивительно, но именно такие размышления
позволили Эйнштейну сформулировать специальную теорию
относительности: «для наблюдателя, свободно падающего с крыши,
гравитационное поле, по крайней мере, в его ближайшем окружении, не
существует.
В самом деле, если при этом наблюдатель бросает
какие-то предметы, то они находятся по отношению к нему в состоянии
покоя или равномерного движения вне зависимости от их физического
или химического состава… В распоряжении наблюдателя нет
объективных средств обнаружения своего падения в гравитационном
поле.
В таком случае он вправе считать, что находится в покое в
пространстве, лишенном поля тяготения». И далее Эйнштейн описывает
знаменитый эксперимент с падающим лифтом: «Вообразите в космосе
лифт, движущийся вверх с постоянно нарастающей скоростью.
Если
ускорение постоянно и в точности равно ускорению падающего на Землю
предмета, то человек внутри лифта будет себя чувствовать, как на
Земле, – таким путем можно не только смоделировать тяготение, но и
нейтрализовать его. В падающем же лифте ускорение вниз полностью
ликвидирует влияние тяготения».
Свойства окружности
Вспомним эпизоды, где идёт речь о свойствах
окружности.
В огромную лужу слёз, которую наплакала Алиса,
попáдали разные птицы и звери. Выбравшись из лужи, они стали искать
способ, как побыстрее обсохнуть. По предложению Птицы Додо было
решено устроить бег по кругу.
«Сначала он нарисовал на земле круг. Правда,
круг вышел не очень-то ровным, но Додо сказал:
−
А потом расставил всех без всякого порядка по
кругу. Никто не подавал команды − все побежали, когда захотели…
Через полчаса, когда все набегались и просохли, Додо вдруг
закричал:
− Бег закончен! Все столпились вокруг него и,
тяжело дыша, стали спрашивать:
− Кто же победил?
На этот вопрос Додо не мог ответить, не подумав
как следует… Наконец, Додо произнёс:
− Победили все! И каждый получит награды!»
Математиков в этой истории могли бы
заинтересовать три момента.
Во-первых, почему Додо расставил всех по кругу
без всякого порядка? Почему бы для точек круга, а вернее
окружности, не указать, какая из трёх произвольно взятых точек
находится между двумя другими (по аналогии с точками прямой)? Если
хотите, имеет ли смысл это делать?
Во-вторых, что именно заставило Додо как следует
задуматься? Иначе говоря, почему в беге по кругу не оказалось
проигравших, а были одни победители?
И, наконец, что имел в виду Додо, сказав о
нарисованной на земле линии: «Правильность формы несущественна»?
О каких свойствах окружности поведал нам автор –
математик Чарлз Лютвидж Доджсон, предстающий в этом эпизоде в
образе Птицы Додо?
Для точек окружности нет смысла указывать, какие
из них лежат между другими. Можно сказать, они равноправны, как и
точки всякой плоской простой (без самопересечений) замкнутой
кривой. «Правильность формы несущественна», как выразился Додо. А
если учесть, что участники начали бег, когда захотели, да ещё из
разных точек, Додо действительно было о чём призадуматься. Он
принял мудрое решение, объявив победителями всех.
Когда Алиса повстречалась с Синей Гусеницей (та
восседала на огромном, ростом с девочку, грибе и томно курила
кальян), между ними завязалась беседа, в ходе которой девочка
пожаловалась на свой маленький рост.
«− Если вы не возражаете, сударыня, − отвечала
Алиса, − мне бы хотелось хоть капельку подрасти. Три дюйма − такой
ужасный рост!
− Со временем привыкнешь, − возразила Гусеница,
сунула кальян в рот и выпустила дым в воздух.
А
лиса
терпеливо ждала, пока Гусеница не соблаговолит снова обратить на
неё внимание. Минуты через две та вынула кальян изо рта, зевнула −
раз, другой − и потянулась. Потом она сползла с гриба и скрылась в
траве, бросив Алисе на прощанье:
− Откусишь с одной стороны − подрастёшь, с
другой − уменьшишься!
− С одной стороны чего? − подумала Алиса. − С
другой стороны чего?
− Гриба, − ответила Гусеница, словно услышав
вопрос, и исчезла из виду.
С минуту Алиса задумчиво смотрела на гриб,
пытаясь определить, где у него одна сторона, а где − другая; гриб
был круглый, и это совсем сбило её с толку».
Да уж, есть о чём призадуматься!
Если бы Алиса была знакома со свойствами
окружности, то не тратила бы время зря, пытаясь определить, где у
гриба одна сторона, а где другая. У круглого гриба вообще нет
сторон!
− Ну вот, голова, наконец, освободилась! −
радостно воскликнула Алиса. Впрочем, радость ее тут же сменилась
тревогой: куда-то пропали плечи. Она взглянула вниз, но увидела
только шею невероятной длины, которая возвышалась, словно огромный
шест, над зеленым морем листвы.
− Что это за зелень? − промолвила Алиса. − И
куда девались мои плечи? Бедные мои ручки, где вы? Почему я вас не
вижу?
С этими словами она пошевелила руками, но
увидеть их все равно не смогла, только по листве далеко внизу
прошел шелест».43
Идеализация пространства
Каждый поворот сюжета, каждое слово Сказки и
каждый поступок Льюиса Кэрролла и Алисы Лидделл скрупулёзно изучены
лириками и физиками. Образы Кэрролла получили независимое
существование, а аллегории – самое различное толкование:
политическое, психологическое, психоаналитическое, богословское,
логическое, математическое, физическое, филологическое.
Незамеченным для исследователей оказалось лишь
то, что лежит на виду – ПРОСТРАНСТВО СКАЗКИ. При этом все знали,
что Сказку писал преподаватель математики. Первое её издание
состоялось в 1865 году, а в 1854 году другой преподаватель
математики Бернгард Риман говорил о «n-мерных пространствах». Само
же выражение «четвёртое измерение» (quarta dimensio) появилось в
Англии в 1671 г.
Мы изучаем геометрию Евклида-Гильберта и,
соответственно, взираем на мир через евклидово пространство.
В качестве основных характеристик евклидова
пространства выделяют следующие:
«оно бесконечно; оно беспредельно; оно
однородно; оно изотропно; оно связно; оно однозначно; оно
трехмерно; оно имеет постоянную кривизну, равную
нулю».44
Однако, пространство евклидовой геометрии не является
единственно возможным в геометрической действительности. Более
того, что в основе других теоретических действительностей
(например, физической действительности) может лежать совсем другая
идеализация пространства.
Прибытие Алисы в мир малых измерений (страну
чудес) происходит не одномоментно. Сначала – свободное падение в
Кроличьей Норе, с утратой физических констант: плавное уменьшение
тяготения и отрицательная инерционность, потом измененная
стационарность внешнего мира и утрата линейного восприятия времени.
Иными словами, Алиса посредством морфологических
и геометрических трансформаций из реальности физической (пикник на
берегу Темзы 4 июля 1862 года) оказывается в иной «виртуальной
реальности», где господствующее положение принадлежит двумерцам –
игральным картам.
Остальные жители этого мира, возможно, такие же
переселенцы, как и Алиса, обладают изысканным литературным
английским языком, протологикой и метаязыком. Квазиобитатели, как и
КвазиАлиса, имеют изменённые инстинкты, пропорции и размеры –
последствия преобразований. Трансформации Алисы и Чеширского Кота –
вторая пространственная идея Сказки.
Обитатели «страны чудес» воспринимают Alise не
как часть своего мира, а как пришельца, до которого им нет никакого
дела. Они заняты своими двумерными страстями. Им заметны в ней
трёхмерные странности, как и в четырёхмерном КвазиЧешике. Но им не
понять, что их Высокие гости обладают «пространственной
независимостью» и даже – «пространственной безопасностью».
– А ещё я хотела подняться на вершину холма…
– Разве это холм? – перебила её Королева –
Видала я такие холмы, рядом с которым этот – просто равнина!
– Ну, нет! – сказала вдруг Алиса, и сама
удивилась, как это она решается возражать Королеве. – Холм никак не
может
быть равниной. Это уж совсем чепуха!
– Разве это чепуха? – сказала Королева и
затрясла головой. –
Слыхала я такую чепуху, рядом с которой эта
разумна, как толковый словарь!
Крупнейший физик ХХ века Артур Стэнли Эддингтон,
цитируя эти слова Черной Королевы, утверждает, что, хотя физику,
возможно, бессмысленно утверждать, что существует какая-то иная
реальность, помимо той, которая подвластна законам физики, всё же
это осмысленно, как толковый словарь, по сравнению с бессмыслицей
предположения, что этой реальности вовсе не существует.
А как все-таки в реальности − здесь, а не в Стране Чудес −
устроено пространство? Оно однородно или неоднородно? Можно ли
найти такую теоретическую действительность, в рамках которой
поляризованный гриб был бы возможен? Разные тексты начитывались, но
таких действительностей не обнаруживалось.
Какая идеализация пространства лежит в основе оптики,
классической механики и электромагнетизме, является ли там
пространство однородным или неоднородным и построить модель
объяснения устройства гриба, исходя из данного пространства?
Впервые задумываешься над тем, каково же оно «на самом деле»,
насколько пространство из евклидовой геометрии применимо ко всем
случаям познания мира45, насколько оно
совпадает с тем, которое выстраивается внутри физики, биологии,
географии и т.д.?
Вторая сказка Кэрролла «Сквозь Зеркало и что там
увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье» более лиричная,
многоплановая и многомерная. Взаимоотношениям героев Зазеркалья за
130 лет посвящены многочисленные исследования. Предметом нашего
интереса являются пространственные и отражённые повороты сюжета.
Поскольку геометрические аспекты были усилены
парадоксами зеркальных отражений, можно только удивляться
предвидению Кэрроллом будущего значения понятия симметрии, как
фундаментального научного направления.
Силовое поле «Звёздных Врат» в телевизионных
сериалах, словно гигантское зеркало, покрылось сверкающей рябью и,
шагнувшие в Зазеркалье американские десантники, стали исчезать один
за другим, чтобы нести демократию и права человека в другие миры и
измерения.
Схематизация времени
Д
«…С тех пор, − продолжал грустно Болванщик, −
Время для меня палец о палец не ударит. И на часах все время шесть…
Тут Алису осенило.
Поэтому здесь и накрыто к чаю? − спросила
она.Да, − отвечал Болванщик со вздохом. − Здесь
всегда пора пить чай. Мы не успеваем даже посуду вымыть.И просто пересаживаетесь, да? – догадалась
Алиса.Совершенно верно, − сказал Болванщик. −
Выпьем чашку и пересядем к следующей.А когда дойдете до конца, тогда что? −
рискнула спросить Алиса.А что, если мы переменим тему? − спросил
Мартовский Заяц и широко зевнул…»46
Этот эпизод интересен тем, что он позволяет
обратиться к формированию у учащихся идеализации времени – опять же
через обсуждение его свойств.
Ясно, что остановка часов не есть остановка
времени. «Часы остановить можно, а время нет».
Что такое для нас есть время
В ответ на этот вопрос пишут формулу: 
Обращение же к «Безумному чаепитию» и
разыгрывание всякого рода мыслительных экспериментов по поводу него
позволяет это сделать.
Организуя мыслительный эксперимент, вместе с
Алисой, Мартовским Зайцем, Болванщиком и Мышью-Соней мысленно сядем
за стол: в каком времени мы сейчас «живем» – в линейном или
циклическом? Можно ли утверждать, что в линейном времени? Ведь
двигаясь только вокруг стола и все время возвращаясь к «исходному»
стулу, мы никуда в конечном счете не перемещаемся?
Если сидеть за столом бесконечно долго, без
часов, никуда не выходя и осуществляя только процесс чаепития?..
Остановится ли в этом случае время? Какое именно? Циклическое?
Значит, начнется линейное? Но ведь герои по-прежнему не будут
совершать никакого перемещения в пространстве…
Реконструировав и промыслив ту модель, которая
на самом деле была положена математиком Л. Кэрроллом в основу
веселого эпизода: что будет, если свести вместе линейное и
циклическое время? Не произойдет ли его «остановки»? Не исчезнет ли
вообще время?
Или же мы окажемся лишь в новой эпистемической
ситуации, когда обе модели (линейного и циклического времени) будут
взаимно проблематизированы и нам необходимо будет построить
какую-то новую, абсолютно другую и никому ранее не известную
модель, действительно объясняющую феномен времени?
Как, например, зарисовать остановленное время?
Можно ли его зафиксировать с помощью точки?
Что означает точка − момент «пустоты» во
времени? Но возможен ли такой «момент», когда нет никакого момента
− «пустота»?.. Или же точка означает момент длительности? Тогда это
не остановка.
Можно ли остановленное время нарисовать как
ствол срубленного дерева – в виде огромного-преогромного пня, у
которого много-много колец?
Чем тогда остановленное время отличается от
вечности? Остановленное время – это все, что было, и все, что
будет? Т.е. это − все моменты, взятые одновременно? Или же
наоборот, это − полное отсутствие времени?..
А календарь − чем он как модель времени
отличается от модели-«пня»?
Схема «Конструктивные принципы древнерусского
календаря»
Не означает ли сам календарь остановку времени?
Ведь он изображает постоянное повторение одного и того же − лета,
осени, зимы, весны… Подобно тому, как Болванщик, Мартовский Заяц и
Мышь-Соня пересаживаются на одни и те же стулья вокруг одно и того
же стола, так и времена года «пересаживаются» одно на место
другого.
Не есть ли это постоянное, монотонное повторение сезонов
года − остановка времени?.. А что, если нарисовать календарь всех
тысячелетий, которые уже прошли и которые наступят? Что такой
календарь будет означать? Вечность? Полноту времени? Множество всех
возможных времен?
На схеме из книги А.Н. Зелинского
«Конструктивные принципы древнерусского календаря» изображена
модель Великого миротворного круга, которая представляет собой не
только «сконцентрированное выражение основных принципов
древнерусского календаря, но и является частью средневековой
концепции мира вообще.
Она охватывает в сложном единстве все основные
аспекты времени в средневековом понимании последнего − а)
космический, б) исторический, в)
литургический»48. Таким образом, данная
модель может быть рассмотрена как схема всевозможных календарных
схем или как модель «полноты времен».
«Какие смешные часы! – заметила Алиса. – Они
показывают число, а не час!».
Тут будет уместно вспомнить один замечательный
парадокс, придуманный Л. Кэрроллом. А заключается он в следующем:
часы, которые совсем не ходят, тем не менее, более точны, чем часы,
которые отстают или спешат. Л. Кэрролл объяснял это тем, что в
первом случае часы показывают верное время целых два раза в день, а
вторые – ни разу. И ведь это абсолютная правда!
« … и на часах все время шесть.
− Поэтому здесь всегда накрыто к чаю? – спросила
Алиса».
Как вы помните, безумное чаепитие в сказке Л.
Кэрролла было вечным в связи с тем, что часы Болванщика
остановились и все время показывали шесть (тогда в Англии чай пили
в шесть, а не в пять, как сейчас).
Довольно интересно эта ситуация связывается с
появившейся несколько позднее (а именно, в 1917 году) теорией
вселенной голландского астронома де Ситтера. Так вот, он разработал
модель, в которой время искривлялось так же, как и пространство.
Вылетев из одной точки пространства и выдерживая прямой линию
полета, путешественник должен был возвратиться не только в ту же
точку пространства, но и в то же самое время!
Согласно теории де
Ситтера, чем дальше взгляд земного наблюдателя проникал в
пространство, тем медленнее должны были ему казаться происходящие
там процессы. Стоило же предпринять путешествие «в эти отдаленные
области лени и неторопливости» на космическом корабле, как по мере
нашего приближения мы увидели бы постепенное оживление хода
времени. И к моменту нашего прибытия жизнь кипела бы там в обычном
темпе.
Вот так Л. Кэрролл предвосхитил революционные
теории пространства и времени.
Зеркальная симметрия
Ряд эпизодов из сказки «Алиса в Зазеркалье»
иллюстрирует идею зеркальной симметрии.
Зеркала… Загадочные предметы, без которых не
представима жизнь человека. Зачем человеку нужно зеркало? Почему
каждый с таким упорством вглядывается в свое отражение? Только ли
это прихоть, или в желании увидеть себя в волшебном стекле есть
нечто большее?
Всю свою историю человек пытается познать мир.
Но познание мира это, в первую очередь, познание себя.
П
Платон определил человека как бесперое двуногое.
Очевидно, он никогда не видел кенгуру или циркового медведя. Эту
формулировку блестяще опроверг Диоген. Он ощипал цыпленка и бросил
его к ногам Платона со словами: «Вон он, твой человек!» Тогда
Платон уточнил определение: человек – это существо бескрылое,
двуногое, с плоскими ногтями; единственное из существ,
восприимчивое к знанию, основанному на рассуждениях.
Казалось бы, эта формулировка действительно
описывает человека. Но, с точки зрения стороннего наблюдателя,
собаки в опытах Павлова тоже проявляли способность к рассуждению.
Гораздо проще указать на человека и сказать:
«Вот это – человек!» То есть, дать определение на основании
визуализации. Издавна слова «познать» и «увидеть» считаются
синонимами. Мы говорим «я видел собственными глазами», считая это
достаточным доказательством существования явления.
Язык отразил эту
синонимичность. Так, во французском языке «reflet» – отражение,
«reflechir» – размышлять; в английском «speculate» – размышление,
«speculum» – зеркало; в немецком «reflektieren» – отражать,
рассчитывать, размышлять; в русском языке – созерцание, зерцало
(зеркало).
Но как же увидеть себя? Частично – да, возможно.
Но целиком… Не зря ведь говорят: не видать чего-то, как собственных
ушей. Мы не можем увидеть собственную голову, не можем оказаться
вне собственного тела, обойти себя кругом, рассмотреть спину. То
есть, визуализация является неполной.
Следовательно, зеркало можно назвать техническим
инструментом нашей самоидентификации, которая является основой в
познании мира. Наши самосознание, представление о себе и мире,
формируются с помощью и под влиянием зеркала.
Иногда мы принимаем зазеркалье, как отдельный
мир, живущий по своим законам, населенный нашими двойниками и
двойниками окружающих нас вещей. Так что же, собственно говоря,
происходит в зазеркалье? По каким законам оно живет?
Зеркала – явление сложное и малоизученное,
поэтому, с моей точки зрения, их нужно рассматривать со всех
сторон, чтобы понять хотя бы часть свойств, проявляемых этими
таинственными предметами. Так что от философии перейдем к
математике.
Математика Зазеркалья
Совсем по другому поводу, из любопытства и из-за
несмышленого котенка Кити, «Алиса оказалась на каминной полке, хоть
и сама не заметила, как она туда попала… Зеркало стало таять,
словно серебристый туман по утру. Через миг Алиса прошла сквозь
зеркало и легко спрыгнула в Зазеркалье». Её там удивили ожившие
портреты и, разговаривавшие между собой, шахматные фигуры.
Но она оставалась невидимой и неслышимой для
обитателей высокомерного пространства. Возможно, размерность
Зазеркального пространства, в котором оказалась Алиса, была дробной
– 3,1415926535897932384664338327950288419716 9399375105820974944592
(здесь всего 63 знака после запятой, а Кэрролл придумал
мнемоническое правило для запоминания последовательного ряда цифр,
с помощью которого помнил «число π» до 71-го знака после запятой).
В зеркале все предметы «переворачиваются»,
предстают обращенными. Если вы протянете своему отражению правую
руку, то увидите, что оно протягивает вам левую. Вот что пишет Л.
Л. Кэрролл: «… я тебе расскажу все, что знаю про Зазеркальный дом.
Во-первых, там есть вот эта комната, которая начинается прямо за
стеклом. Она совсем такая же, как наша гостиная… только все там
наоборот!»
К
Оказывается, когда мы стоим перед зеркалом, то
мысленно как бы обходим его сбоку и становимся за ним. Поэтому
меняется правое с левым. А вот если представить, что мы
перевалились через зеркало сверху, чтобы голова была внизу, то
тогда казалось бы, что поменялся верх и низ, а левое и правое
остались на месте. Нормальный человек, естественно, скорее
«обойдет» зеркало, чем будет «переваливаться» через него.
Чтобы оказаться в нужном времени и нужном
измерении, Алисе было достаточно спуститься по лестнице новым
способом. «Она только положила руку на перила – и тихонько поплыла
вниз по ступенькам, даже не задевая их ногами» (только через 60 лет
будет изобретён эскалатор).
Параллельные миры Зазеркалья, сквозь которые
проходит королевская пешка Алиса, размечены для неё Белой
Королевой: «- Пешка, как ты знаешь, первым ходом прыгает через
клетку. Так что на третью клетку ты проскочишь на всех парах – на
паровозе, и тут же окажешься на четвёртой.
Там ты повстречаешь
Труляля и Траляля… Пятая клетка залита водой, а в шестой
расположился Шалтай-Болтай… Седьмая клетка вся заросла лесом, но ты
не беспокойся: один из Рыцарей на Коне проведёт тебя через лес, а
на восьмой линии мы встретимся как равные – ты будешь Белой
Королевой».
Сказка построена по принципу перевёрнутого,
зеркального отражения. Зеркально, но асимметрично расположены
вокруг королевской пары ладьи, кони и слоны. Точное зеркальное
отражение представляют фигуры противника.
Физика Зазеркалья
Ещё до того как Алиса попала в Зазеркальный дом,
у неё было в целом правильное представление о том, как он должен
выглядеть:
«− Во-первых, там есть вот эта комната, которая
начинается прямо за стеклом. Она совсем такая же, как наша
гостиная, Китти, только всё там наоборот! Когда я залезаю на стул и
смотрю в Зеркало, она видна мне вся, кроме камина. Ах, как бы мне
хотелось его увидеть!
…А дальше идёт коридор. Если распахнуть дверь в
нашей гостиной пошире, можно увидеть кусочек коридора в том доме,
он совсем такой же, как у нас».
В
Плоское зеркало меняет местами правую и левую
стороны всех предметов, поэтому предметы с вертикальной плоскостью
(или осью) симметрии выглядят в нём так же, как и всегда, у
остальных же половинки переставлены местами. Однако не все предметы
в комнате отражаются в зеркале целиком, а некоторые вообще не
видны.
Смотрящему в зеркало человеку предмет виден в
том случае, когда световые лучи от него попадают в глаз,
предварительно отразившись от поверхности зеркала. Если эти лучи до
неё вообще не доходят, никакого отражения не возникает. Алиса
права: глядя в зеркало, камина не увидишь, за исключением верхней
части каминной полки, на которой оно укреплено.
Наконец, строки в книге будут выглядеть в
зеркале написанными задом наперёд, если поднести книгу к плоскости
зеркала или правым, или левым краем.
Законы движения в зазеркалье так же вывернуты,
как и неподвижные отражения. В самом деле, если в ответ на
помахивание правой рукой отражение машет левой, то если вы желаете
попасть в какое-то место в зазеркалье, нужно идти прямо в
противоположную сторону.
Маленькая Алиса Л. Кэрролла этого не знала,
поэтому «… куда бы она ни шла, где бы ни сворачивала, всякий раз,
хоть убей, она выходила снова к дому». И только пойдя в
противоположном направлении, она вышла туда, куда хотела.
Алиса повстречалась с Чёрной Королевой? Для того
чтобы приблизиться к ней, девочке пришлось идти… в
противоположном направлении. Читаем в сказке:
«Вон она идет! − закричал молоденький Шпорник.
Алиса радостно оглянулась − и увидела Чёрную
Королеву.
− Пойду-ка я к ней навстречу, − сказала Алиса.
− Навстречу? − переспросила Роза. − Так ты её
никогда не встретишь! Я бы тебе посоветовала идти в обратную
сторону!
− Какая чепуха! − подумала Алиса.
Впрочем, вслух она ничего не сказала и
направилась прямо к Королеве. К своему удивлению, она тут же
потеряла её из виду и снова оказалась у порога дома.
В сердцах она отступила назад, огляделась по
сторонам в поисках Королевы, которую наконец увидала вдали, и
подумала: не пойти ли на этот раз в противоположном направлении?
Всё вышло как нельзя лучше. Не прошло и минуты,
как она столкнулась с Королевой у подножья холма, куда раньше никак
не могла подойти».
Но выбор направления – это еще не все.
Любопытнее всего, с моей точки зрения, другое. В нашем мире
скорость есть частное от деления расстояния на время, то есть:
v=S/t. В зазеркальном мире все наоборот. Там v=t/S.
«При большой скорости время велико, а расстояние
мало. Чем выше скорость, тем меньше пройденное расстояние. Чем
быстрее бежала Алиса во времени, тем более она оставалась на том же
месте в пространстве» (Alexander L.Taylor.Though the
Looking-Glass).
Л. Кэрролл был не просто сказочником, а
математиком, рассказывающим сказку, и смог предвосхитить Энштейна.
«Самое удивительное было то, что деревья не бежали, как следовало
ожидать, им навстречу; как ни стремительно неслись Алиса и
Королева, они не оставляли их позади… «Далеко еще?» – с трудом
вымолвила, наконец, Алиса.
Это следствие закона движения, приведенного
выше: при большой скорости время велико, а расстояние мало. Чем
выше скорость, тем меньше пройденное расстояние. Чем быстрее бежала
Алиса во времени, тем более она оставалась на том же месте в
пространстве.
Оказывается, пироги в Зазеркалье сначала раздают
гостям и только потом режут на части!
«− Что ж, угости нас пирогом, Чудище, − сказал
Лев и улёгся на траву, положив подбородок на лапы.
…Алиса сидела на берегу ручейка, поставив
большое блюдо себе на колени, и прилежно водила ножом.
− Ничего не понимаю! − сказала она Льву (она уже
почти привыкла к тому, что её зовут Чудищем). − Я уже отрезала
несколько кусков, а они опять срастаются!
− Ты не умеешь обращаться с Зазеркальными
пирогами, − заметил Единорог. − Сначала раздай всем пирога, а потом
разрежь его!
Конечно, это было бессмысленно, но Алиса
послушно встала, обнесла всех пирогом, и он тут же разделился на
три части.
− А теперь разрежь его, − сказал Лев, когда
Алиса села на своё место с пустым блюдом в руках».
Д
Целая глава в книге посвящена зеркальным
близнецам Труляля и Траляля. Кстати, любимое выражение Траляля
«Задом наперёд, совсем наоборот!» как нельзя лучше характеризует
суть описанных Л.Л. Кэрролллом превращений: зеркало изменяет
последовательность, в которой расположены точки на прямой (события
во времени), на обратную.
Неудивительно, что пространство, имеющее такие
законы, всегда представляется загадочным. А загадочное кажется
опасным. Умберто Эко в «Маятнике Фуко» пишет: «Если имеется
зеркало, это уже просто, по Лакану: вам хочется посмотреться в
него. Но ничего не выходит.
Вы меняете положение, ищете такого
положения в пространстве, при котором зеркало вас отобразит,
скажет: «вот ты, ты тут». И совершенно невозможно примириться с
тем, что зеркала Лавуазье, выпуклые, вогнутые и еще бог весть
какие, отказываются вести себя нормально, издеваются над вами:
отступите на шаг – и вы в поле зрения, шагнете хоть чуть-чуть – и
теряете себя.
Этот катоптрический театрик создавался специально для
разрушения вашей личности, то есть вашего самоощущения в
пространстве… Появляется неуверенность не только в себе, но и во
всем прочем. Исчезают вполне реальные вещи, которые вы видите рядом
с собой… нормальное зеркало отражает получаемые из вогнутого лучи
таким образом, что собственно предмета, очертаний его в зеркале не
видно, ощущается нечто призрачное, мимолетное и к тому же
перевернутое вверх ногами, где-то в воздухе, вне зеркала…»
Подобные «фокусы» зеркал привели к формированию
множества мифов, сказок, легенд, мистических историй. Но все эти
истории не имеют к математике даже условного отношения, поэтому мы
рассмотрим небольшую часть того, что назовем «Легенды зеркал».
От математики – к легендам. Но это и не
удивительно. Любое понимание какого-либо явления начинается с его
описания. Легенды и есть такое описание.
Ребенок, впервые увидев себя в зеркале,
удивляется. Он не сразу начинает воспринимать отражение, как свою
копию. Скорее, он считает, что это – другой ребенок. И в сознании
откладывается мысль, что там, за зеркальным стеклом, кто-то живет.
И ребенок приходит к понятию «двойника».
Двойник – это тот, кто живет в зеркале, в
зазеркальном мире. Он очень похож на оригинал, но, тем не менее –
другой, обладающий самостоятельностью.
