Реферат: Определенный интеграл —

Реферат: Определенный интеграл - Реферат

Реферат: интеграл и его свойства —

Теоретические вопросы

    Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Основной задачей дифференциального исчисления
является нахождение производной f’(x)
или дифференциала df=f’(x)dx
функции f(x).
В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x
) требуется найти такую функцию F(x),
что F’(х)=f(x)
или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления
является восстановление функции F(x)
по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение.Функция F(x), Реферат: Определенный интеграл -, называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого Реферат: Определенный интеграл -и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Теорема.Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F1
(
x) и F2
(
x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2
(
x)=F1x) C, где С – постоянная
.

    Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение.Совокупность F(x) C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

Реферат: Определенный интеграл - — (1)

В формуле (1) f(x)dx
называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования,
а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Реферат: Определенный интеграл - и Реферат: Определенный интеграл -.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Реферат: Определенный интеграл -

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Реферат: Определенный интеграл -

5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

Реферат: Определенный интеграл -

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

Реферат: Определенный интеграл -

где u – дифференцируемая функция.

    Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

I. Реферат: Определенный интеграл -

II. Реферат: Определенный интеграл -

III. Реферат: Определенный интеграл -

IV. Реферат: Определенный интеграл -

V. Реферат: Определенный интеграл -

VI. Реферат: Определенный интеграл -

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов.
(Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u
может обозначать как независимую переменную (u=x)
, так и функцию от независимой переменной (u=u(x))
.)

1. Реферат: Определенный интеграл -(n≠-1).

2. Реферат: Определенный интеграл -(a >0, a≠1).

3. Реферат: Определенный интеграл -

4. Реферат: Определенный интеграл -

5. Реферат: Определенный интеграл -

6. Реферат: Определенный интеграл -

7. Реферат: Определенный интеграл -

8. Реферат: Определенный интеграл -

9. Реферат: Определенный интеграл -

10. Реферат: Определенный интеграл -

11. Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

12. Реферат: Определенный интеграл -

13. Реферат: Определенный интеграл -

14. Реферат: Определенный интеграл -(a≠0).

15.Реферат: Определенный интеграл -(a≠0).

16. Реферат: Определенный интеграл -(|u| > |a|).

17. Реферат: Определенный интеграл - (|u| < |a|).

18. Реферат: Определенный интеграл -

19. Реферат: Определенный интеграл -

Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

    Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной).
Пусть требуется вычислить интеграл Реферат: Определенный интеграл -, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле Реферат: Определенный интеграл -переменную х
заменяют переменной t
по формуле x=φ(t),
откуда dx=φ’(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

Реферат: Определенный интеграл - — (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям.
Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x)
и v(x)
– две дифференцируемые функции переменной х
. Тогда:

d(uv)=udv vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Реферат: Определенный интеграл -

Но так как Реферат: Определенный интеграл -, то:

Реферат: Определенный интеграл - — (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям
. С помощью этой формулы отыскание интеграла Реферат: Определенный интеграл -. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С
, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл - , Реферат: Определенный интеграл -(Pn
(
x)
– многочлен степени n, k
– некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=Pn
(
x)
и применить формулу (4) n
раз.

II. Интегралы вида Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл - (Pn(x) – многочлен степени nотносительно х
). Их можно найти по частым, принимая за u
функцию, являющуюся множителем при Pn
(
x).

III. Интегралы вида Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл - (a, b
– числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Рефераты:  Выполнение проекта росписи декоративного изделия (шкатулка) в технике миниатюрной живописи 'Утиная охота'. Дипломная (ВКР). Культурология. 2012-07-28

5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

Рациональной дробью R(x)
называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Реферат: Определенный интеграл -

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n≥m)
, то дробь называется неправильной
. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n≤m)
, то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

Реферат: Определенный интеграл -

где R(x)
– многочлен-частное (целая часть) дроби Реферат: Определенный интеграл -; Pn
(
x)
– остаток (многочлен степени n < m
).

6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование простейших дробей.
Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) Реферат: Определенный интеграл -

2) Реферат: Определенный интеграл - (n≥2);

3) Реферат: Определенный интеграл -

4) Реферат: Определенный интеграл - (n≥2).

Здесь А, a, p, q, M, N– действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2
/4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Интегрирование рациональных дробей.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
.

Всякую правильную рациональную дробь Реферат: Определенный интеграл - можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения Реферат: Определенный интеграл - на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm
(
x)
на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:

Реферат: Определенный интеграл - — (5)

Теорема. Правильную рациональную дробьРеферат: Определенный интеграл -, гдеРеферат: Определенный интеграл -, можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — (6)

(A1
,
A2
, …,
Ak
,
B1
,
B2
, …,
B1
,
M1
,
N1
,
M2
,
M2
, …,
Ms
,
Ns
– некоторые действительные числа).

Метод неопределенных коэффициентов.
Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби Реферат: Определенный интеграл - по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm
(
x)
и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn
(
x).

Метод частных значений.
При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х
, можно дать переменной х
несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби Реферат: Определенный интеграл - просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Правило интегрирования рациональных дробей.Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь Реферат: Определенный интеграл - — неправильная (k≥m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

Реферат: Определенный интеграл -

где n < m; R(x) – многочлен;

2) если рассматриваемая рациональная дробь Реферат: Определенный интеграл - — правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);

3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

    Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.

Интегралы вида Реферат: Определенный интеграл - Универсальная подстановка.
Будем рассматривать интегралы вида:

Реферат: Определенный интеграл -
— (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке Реферат: Определенный интеграл -.

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -(m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0).
Если хотя бы одно из чисел m
и n
– нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2x cos2x=1
оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, (n є N, n > 1).
Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t
и ctgx=t
соответсвенно.

Если t=tgx
, то x=arctgt
, Реферат: Определенный интеграл -. Тогда:

Реферат: Определенный интеграл -.

Последний интеграл при n ≥ 2
является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t=ctgx
, то x=arcctgt
, Реферат: Определенный интеграл -, откуда:

Реферат: Определенный интеграл -

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -(m, n є R).
Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

8.Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -
(m1
,
n1
,
m2
,
n2
, … — целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х
. Они вычисляются подстановкой x=ts
, где s
– общий знаменатель дробей Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, … При такой замене переменной все отношения Реферат: Определенный интеграл -= r1
, Реферат: Определенный интеграл -= r2
, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t
:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -
(m1
,
n1
,
m2
,
n2
, … — целые числа). Эти интегралы подстановкой:

Реферат: Определенный интеграл -

где s
– общий знаменатель дробей Реферат: Определенный интеграл -, Реферат: Определенный интеграл -, …, сводятся к рациональной функции от переменной t
.

Рефераты:  Что такое профстандарт? - Государственные профессиональные стандарты | АБиУС

Интегралы вида Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -
Для вычисления интеграла I1
выделяется полный квадрат под знаком радикала:

Реферат: Определенный интеграл -

и применяется подстановка:

Реферат: Определенный интеграл -, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному: Реферат: Определенный интеграл -

В числителе интеграла I2
выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

где I1
– вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3
сводится к вычислению интеграла I1
подстановкой:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Интеграл вида Реферат: Определенный интеграл -
Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax2
bx c
путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Реферат: Определенный интеграл - Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Интеграл Реферат: Определенный интеграл -подстановкой

u=k
sint
(или u=k
cost
)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.

Интегралы видаРеферат: Определенный интеграл -
(m, n, p єQ
, a, b є R

). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома Реферат: Определенный интеграл -, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) если p є Z
, то применяется подстановка:

x=ts
,

где s
– общий знаменатель дробей mи n
;

2) если Реферат: Определенный интеграл -Z
, то используется подстановка:

a bxn
=
ts
,

где s
– знаменатель дроби Реферат: Определенный интеграл -

3) если Реферат: Определенный интеграл -Z
, то применяется подстановка:

ax-n
b=ts
,

где s
– знаменатель дроби Реферат: Определенный интеграл -

9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение.Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

Реферат: Определенный интеграл - — (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τn
отрезка [
a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk
, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции
f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Реферат: Определенный интеграл -

Если указанный предел существует, то функция f(x)
называется интегрируемой на отрезке
[a; b] (или интегрируемой по Риману
). При этом f(x)dx
называется подынтегральным выражением, f(x)
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a
и b
– соответственно нижним
и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0
. Фигура, ограниченная графиком АВ
функции y=f(x),
прямыми x=a, x=b
и осью Ох
(рис. 1), называется криволинейной трапецией
.

Реферат: Определенный интеграл -Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение Реферат: Определенный интеграл - равно площади прямоугольника с основанием Реферат: Определенный интеграл - и высотой Реферат: Определенный интеграл -, а сумма Реферат: Определенный интеграл - представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τn
отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξk
.

Чем меньше Реферат: Определенный интеграл -, k=1, n,
тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S
криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0
:

Реферат: Определенный интеграл -

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

10. Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Реферат: Определенный интеграл -

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Реферат: Определенный интеграл -

Действительно, так как f(x)=1
, то

Реферат: Определенный интеграл -

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Реферат: Определенный интеграл -

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -R
.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1
(
x), f2
(
x), …, fn
(
x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

Реферат: Определенный интеграл -

6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы Реферат: Определенный интеграл -и Реферат: Определенный интеграл - то существует также интеграл Реферат: Определенный интеграл - и для любых чисел a, b, c;

Реферат: Определенный интеграл -

7. Если f(x) ≥ 0 Реферат: Определенный интеграл -[a; b], то

Реферат: Определенный интеграл -a < b.

8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) Реферат: Определенный интеграл -[a; b], то

Реферат: Определенный интеграл -a >b.

9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

Реферат: Определенный интеграл -a < b.

10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка Реферат: Определенный интеграл -[a; b], что

Реферат: Определенный интеграл -

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

11. Теорема о среднем.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка Реферат: Определенный интеграл -[a; b], что

Реферат: Определенный интеграл -

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Рефераты:  Исследовательская работа "Праздники Германии"

12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a
и b
. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a
, а верхний х
изменять так, чтобы x є [a; b],
то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

Реферат: Определенный интеграл -xє [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом
и является функцией верхнего предела х
. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t
, а верхний предел интегрирования – буквой х
.

Теорема.Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Реферат: Определенный интеграл -

Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

Реферат: Определенный интеграл - — (9)

13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Замена переменнойв определенном интеграле.
Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1
;
t2
], причем φ([
t1
;
t2
])=[
a; b] и φ(t1
)=
a, φ(t2
)=
b, то справедлива формула:

Реферат: Определенный интеграл -— (10)

Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть u(x)
и v(x)
– дифференцируемые на отрезке [a; b]
функции переменной х
. Тогда d(uv)=udv vdu.
Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]
:

Реферат: Определенный интеграл -— (11)

С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница

Реферат: Определенный интеграл -

Следовательно, формула (11) принимает вид:

Реферат: Определенный интеграл - — (12)

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

15. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0],
прямыми x=a
и x=b
и отрезками [a; b]
оси Ох
, вычисляется по формуле:

Реферат: Определенный интеграл -

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1
(
x)
и y=f2
(
x)[f1
(
x) ≤ f2
(
x)]
и прямыми x=a
и x=b
, находится по формуле:

Реферат: Определенный интеграл -

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b
и отрезком [a; b]
оси Ох
, выражается формулой:

Реферат: Определенный интеграл -

где t1
и t2
определяются из уравнений a=x(t1
),
b=x(t2
) [
y(t) ≥ 0
при t1
t ≤ t2
].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ)
и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β),
выражается интегралом:

Реферат: Определенный интеграл -

16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

Если кривая y=f(x)
на отрезке [a; b]
— гладкая (т. е. производная y’=f’(x)
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

Реферат: Определенный интеграл -

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t)
и y(t)
– непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t
от t1
до t2
, вычисляется по формуле:

Реферат: Определенный интеграл -

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ)
, α ≤ θ ≤ β
, то длина дуги равна:

Реферат: Определенный интеграл -

Дифференциал длины дуги.
Длина дуги кривой определяется формулой:

Реферат: Определенный интеграл -

где y=f(x) Реферат: Определенный интеграл - [a; b].
Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х
, а переменную интегрирования буквой t
. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Реферат: Определенный интеграл -

Практические задания

1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

1) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

2) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

__________________________________________________________________________________

3) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

4) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

5) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

6) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

7) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

8) Реферат: Определенный интеграл -

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

__________________________________________________________________________________

9) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Проверка:

Реферат: Определенный интеграл - — верно.

___________________________________________________________________________

2. Найти неопределенные интегралы:

1) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

2) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

3) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

4) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

5) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

6) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

7) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

8) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

9) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

10) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

__________________________________________________________________________________

11) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

12) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

13) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

14) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

15) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

3. Вычислить определенный интеграл:

1) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

2) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________

3) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

____________________________________________________________________________

4. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл - — интеграл I рода.

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — сходящийся.

____________________________________________________________________________

2) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл - — интеграл II рода.

Реферат: Определенный интеграл -Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл -

Реферат: Определенный интеграл - — расходящийся.

____________________________________________________________________________

3) Реферат: Определенный интеграл -.

Решение:

Реферат: Определенный интеграл -

___________________________________________________________________________________

Реферат: Определенный интеграл -

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий