реферат “Производная” | Образовательная социальная сеть

движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) – изменение угла от времени,

ω = φ'(t) – угловая скорость,

ε = φ'(t) – угловое ускорение, или ε = φ”(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) – масса,

x [0; l], l – длина стержня,

р = m'(х) – линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х”(t) ω2x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k – жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у” ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt φ0) или у = Acos(ωt φ0), где

А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота,

φ0 – начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

(C)= 0 С=const(cos x)’=-sin x(sin x)’=cos x(tg x)’=(ах)’=аx ln a(ctg x)’=-(ех)’=ex

Производная степенно-показательной функции

, где .

.

Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную

(1)

Отношение называется логарифмической производной функции . Из формулы (1) получаем

.Или

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции .

5. Производные высших порядков

Ясно, что производнаяфункции y =f (x) есть также функция от x:

Если функция f ‘ (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y” =f ” (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать

Очень удобно пользоваться также обозначением , указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y”=f ” (x) , называется третьей производной функцииy=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами .

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1) ; ; ; …;

; .

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале(a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dxи Dyимеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ³ f(x1), то функция f(x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f(x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a,b)функцииf(x)в любой точке этого интервала приращения Dxи Dyимеют разные знаки.График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2)£f(x1), то функция f(x) называется невозрастающей в интервале (a,b). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1] она сохраняет постоянное значение C.

Теорема 1.Дифференцируемая и возрастающая в интервале(a,b)функцияf(x)имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2.Дифференцируемая и убывающая в интервале(a,b)функцияf(x)имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 – возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривойy = f (x), а их абциссы – критическими значениями аргументаx
В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f (x0 ∆x).

На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале (a,b). В интервале (a,x0] она возрастает, на интервале [x0,x1] – сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [x1,b) – убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)³f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
Определение 3.Максимумом функцииf (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1 Dx).

На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале (a,b). В интервале (a,x0] она убывает, на интервале [x0,x1] – сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [x1,b) – возрастает. Во всех точка

х, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)£f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом.
Определение 4.Минимумом функцииf (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .
По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [a,b] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [a,b] выполняется неравенство f (x0)³f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [a,b] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [a,b] выполняется неравенство f (x0)£f (x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [a,b] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 .
Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [a,b], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [a,b] – это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [a,b] – это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.

Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего – в точке x1 интервала [x0,x3]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

Рис. 6На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной [f’ (x0) = ¥] и достигающая в этой точке максимума. При x ® x0 и x < x0f’ (x) ® ¥, при x ® x0 и x > x0f’ (x) ® -¥. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f’ (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a,b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
Теорема 5.Если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.

Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f‘(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с ” ” на “-“, и минимум, если знак меняется с “-” на ” “).
Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0 первая производная f‘(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f”(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f”(x)>0, и максимума, если f”(x)<0). Предполагается, что f”(x) непрерывна в точке x0 и ее окрестности.

6.3 .Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

6.4.Точка перегиба графика функции.

Будем говорить, что криваяy=f(x)в точкеx0обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).

Рисунок 1Будем говорить, что криваяy=f(x)в точкеx0обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y=f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0–h,x0 h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x)–y<0(f(x)–y>0) где f(x) – ордината точки M кривой y=f(x), y – ордината точки N касательной y–y0=f‘(x0)(x–x0) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0–h,x0 h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x)–y<0(f(x)–y>0),

то кривая y=f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y=f(x)выпуклой вверх (вниз) в интервале (a,b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y=f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a,b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касате

льной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

Рисунок 2.В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис. 2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой y=f(x). Пусть a и j – углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2 видим, что j – внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj>tga или f‘(x1)>f‘(x2).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a,b) кривая y=f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y=f‘(x) убывает. Поэтому вторая производная f”(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f‘(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a,b):f”(x)£0.

Рисунок 3.Если кривая y=f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga>tgj т.е. f‘(x2)>f‘(x1), а поэтому в интервале (a,b) производная f‘(x) возрастает. Тогда вторая производная f”(x) функции f(x), как производная возрастающей в интервале (a,b) функции f‘(x), будет положительна или равна нулю: f”(x)³0.
Докажем, что и наоборот, еслиf”(x)£0в некотором интервале(a,b), то в этом интервале криваяy=f(x)обращена выпуклостью вверх; еслиf”(x)³0в интервале(a,b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y–y0=f‘(x0)(x–x0) к кривой y=f(x) в точке x0, где a<x0b, в виде y=y0 f‘(x0)(x–x0). Очевидно, y0=f(x0), а потому последнее уравнение можно записать в виде y=f(x0) f‘(x0)(x–x0).(1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n=2 имеем:

(2)

Фиксируя x в интервале (a,b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим: (3)

Если f”[x0 Q(x–x0)]£0, где 0<Q<1, то имеем f(x)–y£0

откуда следует, что кривая y=f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f”[x0 Q(x–x0)]³0, то имеем f(x)–y³0 откуда следует, что кривая y=f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a,b), то высказанное выше утверждение доказано.

Рисунок 4.Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8.Пусть функцияf(x)имеет непрерывную вторую производнуюf”(x) и пусть A[x0; f(x0)] – точка перегиба кривойy=f(x). Тогдаf”(x0)=0или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y=f(x) в точке перегиба A[x0; f(x0)] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0–h,x0) вторая производная f”(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0,x0 h) – больше нуля.
Но f”(x) – функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x=x0 обращается в нуль: f”(x0)=0.

Рисунок 5.На рис.5 изображен график функции . Хотя при x0=0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f”(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f”(0) не существует. Но тем не менее точка O(0;0) является точкой перегиба, так как при x<0f”(x)>0 и кривая выпукла вниз, а при x>0f”(x)<0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f”(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y=f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

Теорема 9.Если вторая производнаяf”(x)непрерывна и меняет знак приx=x0, то точкаA[x0; f(x0)] является точкой перегиба кривойy=f(x)при условии, конечно, что в точкеAсуществует касательная.
Доказательство. Пусть например f”(x)<0 при x0–h<x<x0 и f”(x)>0 при x0<x<x0 h. Тогда в интервале (x0–h;x0) кривая y=f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0;x0 h) – выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0; f(x0)] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y=f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y=f(x) относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y=f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y=f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y=f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y=f(x) и точка M(x1;y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y=f(x) в точке M(x1;y1) равен значению f‘(x1) производной y’=f‘(x) при x=x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y–y1=f‘(x1)(x–x1)

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений – инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а

процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y – издержки производства, а х – количество продукции, тогда x– прирост продукции, а y – приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC предельные издержки (marginal costs); TC общие издержки (total costs); Q – количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек – это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример – категория предельной выручки (MR marginal revenue) это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n 1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: .

При этом R= PQ,где Rвыручка (revenue); Pцена (price).

Таким образом , MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого подхода – исследования А. Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных: . Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия “предельная полезность” категорией предельной нормы замещения (MRS marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.

Они определяются так: .

Т.к. dy отрицательно, знак “-” вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: .

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения.Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):.

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию – предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L labor) при неизменной величине капитала:.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY – результат, dL – затраты, то MPL предельная производительность труда.

Аналогично, MPk– предельный продукт капитала – дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то .

MPk – характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение: Эластичностью функцииЕx(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при x0:

.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:.

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n):.

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:.

Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: “Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода”.

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo), где MC – предельные издержки, а MR – предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) C(Q), где R прибыль, а C общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П(Q) = 0. Но П(Q)=R(Q) – C(Q), поэтому R(Qo) = C(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Миниму

м этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC(Q)QTC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов – закон убывающей доходности – звучит следующим образом: “с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает”.

Иными словами, величина , где y – приращение выпуска продукции, а x – приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где х – товар, а U полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3 98х2 200х. Удельные затраты составят К/х=-х2 98х 200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2 98х 200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3 600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется с помощью производной:

Производная меньше нуля, если P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

(Денежных единиц), где . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции: положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

темп положительный темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.

p(0, 1/2)1/2U'(p) 0–0,47-U”(p)–0 U (p)возрастает

выпукла0,3

maxубывает

выпукла0,2 точка перегибаубывает

вогнутаВывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается (см. на рисунке):

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: ,так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 – t2, из которого ;

В этот момент по т. Пифагора, т.е.

Скорость его изменения

Ответ:

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 – 2/3t. (m изменяется в граммах, t – в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Скорость капли , её кинетическая энергия в момент t равна

Исследуем функцию на наибольшее с помощью поизводной:

=0 t1=0 t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть

выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: P(R) = 0 : r – R = 0, R = r = 50;При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то на выполняется неравенство .

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.

Задача 1. Пусть .Докажите истинность неравенства . (1)

Решение: Рассмотрим на функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно, на убывает так, что при . Но Следовательно неравенство (1) верно.

Задача 2. Пусть и положительные числа, Тогда очевидно, что , . Можно ли гарантировать, что неравенство (2)

верно а) при ; б) при ?

Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:

Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале Поэтому при неравенство (2) справедливо.

б) на интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых и , для которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:

Задача 3. Доказать неравенство: при (3).

Воспользуемся теоремой 2. и , верно неравенство : на промежутке и выполнимо условие где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

Задача4. Доказать неравенство: (4).

Решение: , ;

Неравенство при любых верно. Значит неравенство (4) верно.

Зад

ача5. Доказать, что если , то (5).

Решение: Пусть Тогда

Чтобы найти, при каких значениях функция положительная, исследуем ее производную . Так как при то

Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что и непрерывна, получаем , при .

Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и то при . Неравенство (5) верно.

Задача 6. Выясним, что больше при : или .

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь .

Рассмотрим на вспомогательную функцию .

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

при .

В силу теоремы 1 функция вырастает на отрезке . Поэтому, при т.е.

при .

При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.

Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство: (6).

Решение: Пусть Рассмотрим функцию

.

При имеем .

Отсюда видно (теорема 1), что убывает на Поэтому при имеем т.е. мы получили неравенство:

(7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем:

Следовательно, убывает на , т.е. при значит, (8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на и на . Тогда при любом х из справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь при .

Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:

.

Видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:

на на .

Задача 1. Проверить тождество:

(1)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Вычислим ее производную (по х):

Поэтому (замечание) . Следовательно, что равносильно тождеству (1).

Задача 2. Проверить тождество:

(2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Докажем, что

Найдем ее производную:

Значит. При х=0 ,следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:

Задача 1 Упростить выражение:

Решение: Обозначив данное выражение будем иметь:

Таким образом, заданное выражение (1) равно .

Задача 2. Упростить выражение:

Решение: Обозначив это выражение через , будем иметь:

отсюда .

и при получаем:

Так что

Задача 3. Упростить запись функции:

(2)

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:

Отсюда

Найдём :

Таким образом функция (2) равна

Задача 4. Упростить запись многочлена:

(3)

Решение: Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:

Ясно, что Поэтому , где , найдём : при , .

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:

(1)

Решение: Считая переменной, а и постоянными фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через , будем иметь:

Поэтому (2)

где – постоянная, т.е. в данном случае – выражение, зависящее от параметров и . Для нахождения в равенстве положим тогда .

Получим

Задача 2. Разложить на множители выражение:

(3)

Решение: Поскольку переменная входит в данное выражение в наименьшей степени, рассмотрим его, как функцию и будем иметь:

получим:

Таким образом, исходное выражение (3) равно

Задача 3. Разложить на множители выражение:

Решение: Обозначив данное выражение через и считая и постоянными, получим:

откуда , где зависит только от и . Положив в этом тождестве , получим и

Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в качестве переменной рассмотрим , поскольку эта переменная входит в меньшей степени, чем . Обозначая его через и считая и постоянными, будем иметь:

отсюда:

Таким образом исходное выражение (4) равно

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:

Задача 1. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.

(1)

Решение: Область определения данного уравнения – промежуток определение на этом промежутке функцию , положив

Тогда, на

,

и таким образом функция – возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного решения.

Задача 2. При каких значениях имеет решения уравнение

(2)

Решение: область определения уравнения – отрезок , рассмотрим функцию , положив

Тогда на открытом промежутке

, так что – единственная критическая точка функции , являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку то примет наибольшее значение при , а наименьшее значение – при .

Так как функция непрерывна, то её область значений представляет собой отрезок , между её наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение (2) имеет решения при .

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.