Случайные величины. Математическое ожидание.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – это корень квадратный из дисперсии: .

Размерность дисперсии равна квадрату размерности Х, тогда как размерность s(Х) равна размерности Х. Во многих случаях это оказывается удобнее.

Пусть – независимые случайные величины, тогда . По свойству дисперсии: , тогда

.

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины : Например, , , ,…

.

Центральным моментом порядка k называется математическое ожидание величины : , например, , и т.д.

Мода и медиана. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для дискретных величин) или то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Если имеется более одного максимума, то распределение называют полимодальным.

Медианой называют такое значение случайной величины (обычно – непрерывной), для которого Геометрически – абсцисса точки, в которой площадь делится пополам.

Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин – это функция распределения вероятностей случайных величин.

Пусть x – действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше x, т.е. Р(X<x) обозначим через F(x). Если x изменяется, то изменяется и F(x), т.е. F(x) – функция х.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. F(x)=P(X<x). Геометрически F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точки х.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства F(x)

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 £ F(x)£ 1 – F(x) вероятность, 0 £ P(A) £ 1 .

2. F(x) неубывающая функция, т.е. F( ) ³ F( ), если > .

Доказательство:

Пусть > . Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньше , можно разделить на 2 несовместных события:

1. Х примет значение, меньше , с вероятностью Р( < );

2. Х примет значение £ < с вероятностью P( £ < ).

По теореме сложения: Р( < ) = Р( < x₁) P( £ < ),

отсюда Р( < ) – Р( < ) = P( £ < x₂) или F() – F() = P( £ < ), но .

Следствие 1. Вероятность того, что равна приращению F(x) на этом интервале: Р( ) = F(b) – F(a) ( =b, x₁=a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение равна 0.

Р(a £ Х < b) = Р(a < Х < b) = Р(a < x £ b) = Р(a £ x £ b).

3. Если возможные значения случайной величины Î (a,b), то: 1) F(x)= 0 при x £ a;

2) F(x) = 1 при x >b.

Докажем. Если £ a, то события X<x невозможны. Пусть ³ b, тогда X< – достоверное событие.

Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то .

Плотность распределения вероятностей непрерывной

Случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения:

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равно , т.е. Р(a < Х < b) = .

Доказательство:

Если известна функция распределения, то Р(a £ X £ b) = F(b) – F(a). По формуле Ньютона-Лейбница: F(b) – F(a) = = , а Р(a £ X £ b) = Р(a < X < b).

Пример. Дана плотность вероятности:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение Î (0,5; 1).

Р(0,5 < X < 1) = = 0,75.

Функцию распределения можно найти по плотности распределения: F(x) = . Действительно, F(x) = P(X<x) или F(x) = P(–¥ < X < x), тогда .

По известной функции распределения можно найти плотность: .

Пример. Найти F(x), если .

Если x £ a, f(x) = 0, то , если : . Если , то .

Свойства f(x)

1 . f(x) ³ 0, т.к. F(x) – неубывающая функция, поэтому, ³ 0.

2. =1. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение (–µ;µ) – достоверное событие, поэтому р = 1.

Вероятностный смысл , тогда:

– вероятность того, что случайная величина примет значение .

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше числа , не меньше, чем , т.е. .

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую закон распределения:

Закон распределения случайной величины :

Предположим, что первые k значений случайной величины меньше данного , а остальные – не меньше . Тогда . Запишем формулу для дисперсии в виде: Отбросим первое слагаемое и во втором слагаемом заменим меньшей величиной , получим Отсюда: , т.е. . Иначе: . Для частости: .

Теорема Чебышева. Если – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико, т.е.

Рассмотрим случайную величину Имеем: ;

По условию теоремы дисперсия ограничена, т.е. , поэтому . Воспользуемся неравенством Чебышева: Перейдя к пределу и учитывая, что , получим доказываемое.

Теорема Бернулли

Пусть в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна. Тогда как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Или , где – частота появления события A.

Пусть – число появлений события A в первом испытании, – во втором, – в n-ом испытании, может принимать значения : 1 (событие А наступило) с вероятность р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью . Испытания независимые, , так как , то , тогда по неравенству Чебышева: Каждая величина тогда – числу появления события А в n испытаниях, тогда следовательно, .

Теорема Пуассона. Если в последовательности n независимых испытаний вероятность появления события А в каждом испытании равна , то при увеличении n частость события A сходится (по вероятности) к среднему арифметическому вероятностей , т.е.

Пусть случайная величина – число появлений события А в каждом испытании, тогда – число появлений события А в n испытаниях. – независимые величины. Для случайной величины имеем: среднее арифметическое вероятностей; Тогда по неравенству Чебышева: Переходя к пределу, получим доказываемое.

Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Если каждому возможному значения случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y – функция от X: Y=j(X).

Найдем закон распределения вероятностей функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1) Если X – дискретная величина. Найти распределение Y=X². Вероятности соответствующих значений X и Y равны:

2) Пусть X – непрерывная случайная величина.

Пусть Y=j(X) и плотность распределения f(x) известна, тогда , где – обратная функция для функции у=j(х), которая должна быть дифференцируемой и строго возрастающей или убывающей функцией.

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Пусть Y=j(X) – функция случайного аргумента Х. Найдем M(Y).

Пусть Х дискретная случайная величина: с вероятностью , Y – тоже дискретная случайная величина со значениями: с вероятностью . Тогда

Пусть X – непрерывная случайная величина, заданная плотностью f(x).

а) можно найти g(y) – плотность распределения величины Y и , однако проще: .

Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом – одномерные. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются 2, 3,…, n числами. Такие величины называются двумерными, трехмерными, …, n-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X, Y называют компонентами (составляющими); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Пример: станок штампует плитки. Если контролировать длину X и ширину Y – то имеем двухмерную случайную величину (X, Y).

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины – перечень возможных значений этой величины, т.е. пары чисел и их вероятностей .

События (Х= , = ) образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей, помещенных в таблице, равна 1. Можно найти законы распределения каждой составляющей. События (Х= , = ), (Х= , = ),…,(Х= , =) несовместны, поэтому – вероятность того, что Х примет значение равно сумме вероятностей «столбца ». – просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично, равно сумме вероятности строки .

Функции распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют , определяющую вероятность того, что X<x, Y<y: F(x,y)=P(X<x, Y<y).

Свойства:

1. – вероятность.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. , если ; если .

3. Предельные соотношения: , , .

4. , .

При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х; при функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y.

Вероятность попадания случайной величины в полуполосу

И прямоугольник

Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: или в полуполосу

Функция распределения считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна: – это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершиной и вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Аналогично, . Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон: . Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ и вероятность попадания случайной точки в полуполосу CD: .

Y

X

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Двумерная плотность распределения вероятностей – вторая смешанная частная производная от функции : .

Геометрически – это поверхность (поверхность распределения). Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения :

Вероятностный смысл f(x, y)

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD: . Применим теорему Лагранжа: , где . Отсюда – это отношение вероятности попадания в квадрат к его площади.

Перейдем к пределу .

Свойства :

1) f(x,y)³0 (F(x,y), поскольку – неубывающая функция своих аргументов.

2) .

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

– это вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Разобьем область D на n элементарных областей прямыми, параллельными Оу и Ох на расстоянии Dх и Dу. Вероятность попадания случайной точки в область D равна сумме вероятностей попадания точки в элементарные области: . Переходя к пределу, получим .

Раздел IX. Элементы математической статистики

Глава 23. Статическая оценка параметров распределения

Задачи математической статистики. Вариационный ряд

Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.

В общем виде:

– объем выборки.

Графическое изображение вариационного ряда – полигон.

Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны , где – относительная частота.

Точечные оценки

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М(х), D(х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами).

Точечной оценкой характеристики Q называется некоторая функция Q* результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики: . Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру: , т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность: точечная оценка называется состоятельной, если она при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию.

Основные точечные оценки

1. Выборочная средняя: .

Выборочная средняя приближается к М(х), является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия: . S² является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используют несмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию:

3. Начальные и центральные моменты k– го порядка. Начальный момент k-го порядка: . Центральный момент k-го порядка:

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому широко используют интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Доверительной вероятностью (надежностью) называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство , т.е. , где Q* – найденная характеристика параметра Q. Надежность g обычно выбирается 0,95; 0,99; 0,999 и т.д.

Интервальные оценки для генеральной средней с известным s

Пусть известно среднее квадратическое отклонение s генеральной совокупности с нормальным законом распределения. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину , для которой ( – случайная величина, т.к. меняется от выборки к выборке).

Тогда по следствию интегральной теоремы Лапласа имеем: , где , – точность оценки.

Число определяем по таблице значений функции Лапласа: . Получаем: , – интервальная оценка для математического ожидания а.

Пример. Случайная величина имеет нормальное распределение с s =3. Найти доверительный интервал для оценки генеральной средней а, если , надежность g = 0,95.

Найдем t: функция Лапласа , , точность: ,

Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s

Пусть признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Для построения интервальной оценки используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Получаем: где n – объем выборки, –исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочная средняя, – уровень значимости, находим по распределению Стьюдента (t – распределение) (для двухсторонней критической области). Точность оценки: . Можно по таблице приложения 3 Гмурмана.

Пример. Средняя урожайность пшеницы на 16 опытных участках =25 ц/га, а ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

Число степеней свободы , , по таблице распределения Стьюдента находим: . Точность оценки: ; тогда (ц/га).

Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли

Пусть из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону , взята выборка объема n и вычислена исправленная выборочная дисперсия . Требуется определить с надежностью g интервальные оценки для s ² и s.

Случайная величина имеет распределение Пирсона ()с степенями свободы. Имеем: .

По таблице – распределения нужно выбрать такие и , чтобы площадь, заключенная под графиком плотности распределения между и , была равна . Обычно: .

Тогда: Поскольку таблица содержит лишь , то тогда из

: , т.е. Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии. и находим из равенств: Запишем неравенство из : и преобразуем его: .

Если , то доверительный интервал для s: . Если , то , где определяется по таблице функции Лапласа:

Можно по упрощенной формуле (Гмурман): , где параметр находят по таблице приложения 4 (Гмурман) по заданным n и g.

Пример. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено мм. В предположении, что ошибка распределена нормально, определить при g = 0,95 доверительный интервал для s.

; .

По таблице для , , (мм).

Интервальная оценка для генеральной доли

Пусть в n независимых испытаниях событие А, вероятность появления которого равна р, имело место m раз (), тогда границы доверительного интервала для генеральной доли: , где определяется по таблице Лапласа:

Пример. При испытании зерна на всхожесть из 400 зерен проросло 384. С надежностью g = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли р.

, (Лаплас), , точность оценки: ; .

Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, т.е. ее необходимо проверять. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение:

– ошибка 1 рода – будет отвергнута правильная гипотеза;

– ошибка 2 рода – будет принята неправильная гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используют статистический критерий, т.е. правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо принять, либо отвергнуть. Основу критерия составляет специальная случайная величина (статистика) K с известным законом распределения. Задаваясь уровнем значимости , т.е. вероятностью совершить ошибку 1 рода, критерий позволяет разбить все множество значений статистики на 2 непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы и критическую область (область отклонения гипотезы).

Основной принцип проверки гипотезы: если значение статистики, рассчитанное для выборки, попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, в противном случае – гипотезу принимают. В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н₁выбирают:

1. правостороннюю критическую область . Критическое значение статистики вычисляем из условия .

2. левостороннюю критическую область: , .

3. двухсторонняя критическая область: Обычно считают, что , и если критические точки симметричны относительно нуля, то .

Схема проверки гипотез

1. По условию задачи формулируют основную и конкурирующую гипотезы.

2. Задают величину уровня значимости a: 0,05; 0,01; 0,001.

3. Выбирают статистику, определяющую критерии проверки и выясняют ее закон распределения.

4. С помощью закона распределения статистики определяют при уровне значимости a (т.е. границы критической области).

5. По результатам выборки вычисляют значение статистики . Если попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, если нет – принимают.

24.2. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Этот вопрос возникает, если требуется сравнить точности приборов, методов измерений и т.д.

Пусть Х и Y – нормально распределенные генеральные совокупности. По двум выборкам объемами n₁ и n₂ найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости a проверяем нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Исправленные выборочные дисперсии обычно различные. Требуется установить: различие значимо (существенно) или незначимо, т.е. объясняется случайными причинами. Выбираем F – статистику, распределенную по закону Фишера–Снедекора. Наблюдаемое значение: (отношение большой исправленной дисперсии к меньшей), число степеней свободы: (где – объем выборки с большей исправленной дисперсией), (где – объем выборки с меньшей исправленной дисперсией). По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора для уровня значимости a, числа степеней свободы определяем . Если , то гипотеза принимается, если , то гипотеза отвергается.

Если Н₁ : , то значение определяется для уровня значимости , поскольку необходимо построить двухстороннюю критическую область и .

Иногда требуется проверить нулевую гипотезу – определенное заданное значение генеральной дисперсии. Для проверки используют статистику – исправленная выборочная дисперсия. Определяют .

а) Если конкурирующая гипотеза имеет вид то для определения выбираем правостороннюю критическую область и по таблице распределения Пирсона ( ) определяем (на уровне значимости для числа степеней свободы ). Если , то гипотезу принимаем, если – отвергаем гипотезу .

б) если то строим двухстороннюю область, определяем левую и правую критические точки. Если то гипотеза принимается, если или , то гипотеза отвергается.

в) Если то строим левостороннюю критическую область, находим . Если , то принимаем гипотезу , если , то отвергается.

Пример. По 2 выборкам объемами n₁ = 10 и n₂ = 18 найдены исправленные выборочные дисперсии . При уровне значимости проверить гипотезу: .

Находим . Критическая область – двухсторонняя. , поскольку 3 > 2,5, то гипотеза отвергается (дисперсии различаются значимо).