Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание. Реферат

Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть проведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла Случайные величины. Математическое ожидание.раз значение Случайные величины. Математическое ожидание., Случайные величины. Математическое ожидание.раз значение Случайные величины. Математическое ожидание., … , Случайные величины. Математическое ожидание.раз – Случайные величины. Математическое ожидание., Случайные величины. Математическое ожидание. Тогда сумма всех значений, принятых Х равна Случайные величины. Математическое ожидание.. Найдем среднее арифметическое Случайные величины. Математическое ожидание. всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний n:

Случайные величины. Математическое ожидание. где Случайные величины. Математическое ожидание.— относительная частота (частость).

Допустим, что число испытаний достаточно велико, тогда Случайные величины. Математическое ожидание.и Случайные величины. Математическое ожидание.

Таким образом, математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства М(Х)

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М(С) = С, С = const.

С имеет одно значение, равное С,с вероятностью p = 1, М(С). 1 = С.

Определим произведение постоянной С на Х как дискретную случайную величину Случайные величины. Математическое ожидание. , возможные значения которой равны произведениям С на возможные значения Х. Вероятность Случайные величины. Математическое ожидание. равна вероятностям Х. Например, если Случайные величины. Математическое ожидание. имеет вероятность Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание. имеет также вероятность Случайные величины. Математическое ожидание. .

2. М(СХ) = С . М(Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величина X задана законом распределения:

Тогда Случайные величины. Математическое ожидание. имеет закон распределения:

Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Произведение Случайные величины. Математическое ожидание. – случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y. Вероятности XY равны произведению соответствующих вероятностей X и Y.

3. Случайные величины. Математическое ожидание. , где X, Y – независимые дискретные случайные величины.

Пусть законы распределения вероятностей этих величин:

Составим значения, которые могут принимать Случайные величины. Математическое ожидание. Закон распределения:

Случайные величины. Математическое ожидание.

4. M(X Y) = M(X) M(Y).

Возможные значения случайной величины X Y равна сумме возможных значений X и Y , а вероятность X Y равна произведению вероятностей слагаемых.

Теорема. М(Х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании p.

Иначе, М(Х) биноминального распределения равно Случайные величины. Математическое ожидание. .

Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства

Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:

Случайные величины. Математическое ожидание.

Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от М(Y), таким образом, М(Х) полностью не характеризует Х. Надо охарактеризовать отклонение случайной величины от M(X): отклонение – это величина X – M(X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю.

Действительно, Случайные величины. Математическое ожидание. , поэтому для оценки отклонения берут квадрат отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретных случайных величин называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Получаем: Случайные величины. Математическое ожидание.

Пример. Найти Случайные величины. Математическое ожидание. случайной величины:

M(X) = 1 . 0,3 2 . 0,5 5 . 0,2 = 2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения: Случайные величины. Математическое ожидание. = (1 – 2,3)2 = 1,69; Случайные величины. Математическое ожидание. = (2 – 2,3)2 = 0,09; Случайные величины. Математическое ожидание.

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

Тогда (по определению): Случайные величины. Математическое ожидание. = 1,69 . 0,3 0,09 . 0,5 7,29 . 0,2 = 2,01.

Удобнее: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Доказательство:

Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание. .

Вычислим дисперсию в предыдущем примере по доказанной формуле. Составим закон распределения Случайные величины. Математическое ожидание. :

Тогда Случайные величины. Математическое ожидание. = 1 . 0,3 4 . 0,5 25 . 0,2 = 7,3. Найдем Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. D(C) = 0.

Случайные величины. Математическое ожидание. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Случайные величины. Математическое ожидание. .

Если |C| > 1, то величина СХ имеет большие (по модулю) значения, поэтому D(CX)>D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X Y) = D(X) D(Y). Докажем: Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание.

Следствие: D(X C) = D(X) D(C) = D(X), С = const.

4. D(X – Y) = D(X) D(Y). Докажем: D(X–Y) = D(X) D(–Y) = D(X) (–1)2D(X) = =D(X) D(Y).

Теорема. Дисперсия числа появлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А p = const, равна npq = D(X),гдеСлучайные величины. Математическое ожидание. .

Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна D(X)= npq.

§

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – это корень квадратный из дисперсии: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Размерность дисперсии равна квадрату размерности Х, тогда как размерность s(Х) равна размерности Х. Во многих случаях это оказывается удобнее.

Пусть Случайные величины. Математическое ожидание. – независимые случайные величины, тогда Случайные величины. Математическое ожидание. . По свойству дисперсии: Случайные величины. Математическое ожидание. , тогда Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание. .

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание. Например, Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. ,…

Случайные величины. Математическое ожидание. .

Центральным моментом порядка k называется математическое ожидание величины Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание. , например, Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. и т.д.

Мода и медиана. МодойСлучайные величины. Математическое ожидание. случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для дискретных величин) или то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Если имеется более одного максимума, то распределение называют полимодальным.

МедианойСлучайные величины. Математическое ожидание. называют такое значение случайной величины (обычно – непрерывной), для которого Случайные величины. Математическое ожидание. Геометрически – абсцисса точки, в которой площадь делится пополам.

Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин — это функция распределения вероятностей случайных величин.

Пусть x – действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше x, т.е. Р(X<x) обозначим через F(x). Если x изменяется, то изменяется и F(x), т.е. F(x) – функция х.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. F(x)=P(X<x). Геометрически F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точки х.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства F(x)

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 £ F(x)£ 1 – F(x) вероятность, 0 £ P(A) £ 1 .

2. F(x) неубывающая функция, т.е. F( Случайные величины. Математическое ожидание. ) ³ F( Случайные величины. Математическое ожидание. ), если Случайные величины. Математическое ожидание.> Случайные величины. Математическое ожидание. .

Доказательство:

Пусть Случайные величины. Математическое ожидание.> Случайные величины. Математическое ожидание. . Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньше Случайные величины. Математическое ожидание. , можно разделить на 2 несовместных события:

1. Х примет значение, меньше Случайные величины. Математическое ожидание. , с вероятностью Р( Случайные величины. Математическое ожидание.<Случайные величины. Математическое ожидание. );

2. Х примет значение Случайные величины. Математическое ожидание. £ Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.с вероятностью P(Случайные величины. Математическое ожидание. £ Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.).

По теореме сложения: Р(Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.) = Р(Случайные величины. Математическое ожидание. < x1) P(Случайные величины. Математическое ожидание. £ Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.),

отсюда Р(Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.) – Р(Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.) = P(Случайные величины. Математическое ожидание. £ Случайные величины. Математическое ожидание. < x2) или F(Случайные величины. Математическое ожидание.) – F(Случайные величины. Математическое ожидание.) = P(Случайные величины. Математическое ожидание. £ Случайные величины. Математическое ожидание. < Случайные величины. Математическое ожидание.), но Случайные величины. Математическое ожидание. .

Следствие 1. Вероятность того, что Случайные величины. Математическое ожидание. равна приращению F(x) на этом интервале: Р( Случайные величины. Математическое ожидание. ) = F(b) – F(a) (Случайные величины. Математическое ожидание. =b, x1=a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение равна 0.

Р(a £ Х < b) = Р(a < Х < b) = Р(a < x £ b) = Р(a £ x £ b).

3. Если возможные значения случайной величины Î (a,b), то: 1) F(x)= 0 при x £ a;

2) F(x) = 1 при x >b.

Докажем. Если Случайные величины. Математическое ожидание. £ a, то события X<x невозможны. Пусть Случайные величины. Математическое ожидание. ³ b, тогда X< Случайные величины. Математическое ожидание.– достоверное событие.

Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то Случайные величины. Математическое ожидание..

Плотность распределения вероятностей непрерывной

Случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения:Случайные величины. Математическое ожидание.

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равно Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Р(a < Х < b) = Случайные величины. Математическое ожидание. .

Доказательство:

Если известна функция распределения, то Р(a £ X £ b) = F(b) – F(a). По формуле Ньютона-Лейбница: F(b) – F(a) = Случайные величины. Математическое ожидание. = Случайные величины. Математическое ожидание. , а Р(a £ X £ b) = Р(a < X < b).

Пример. Дана плотность вероятности:

Случайные величины. Математическое ожидание. .

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение Î (0,5; 1).

Р(0,5 < X < 1) = Случайные величины. Математическое ожидание. = 0,75.

Функцию распределения можно найти по плотности распределения: F(x) = Случайные величины. Математическое ожидание. . Действительно, F(x) = P(X<x) или F(x) = P(–¥ < X < x), тогда Случайные величины. Математическое ожидание..

По известной функции распределения можно найти плотность: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Пример. Найти F(x), если Случайные величины. Математическое ожидание. .

Если x £ a, f(x) = 0, то Случайные величины. Математическое ожидание. , если Случайные величины. Математическое ожидание. :Случайные величины. Математическое ожидание. . Если Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. .

Рефераты:  Первая помощь при утоплении - Памятки по безопасному поведению на воде - Главное управление МЧС России по Рязанской области

Свойства f(x)

1 . f(x) ³ 0, т.к. F(x) – неубывающая функция, поэтому, Случайные величины. Математическое ожидание. ³ 0.

2. Случайные величины. Математическое ожидание. =1. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение Случайные величины. Математическое ожидание.(–µ;µ) – достоверное событие, поэтому р = 1.

Вероятностный смысл Случайные величины. Математическое ожидание. , тогда:

Случайные величины. Математическое ожидание. – вероятность того, что случайная величина примет значение Случайные величины. Математическое ожидание. .

§

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше числа Случайные величины. Математическое ожидание. , не меньше, чем Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. .

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую закон распределения:

Закон распределения случайной величины Случайные величины. Математическое ожидание. :

Предположим, что первые k значений случайной величины Случайные величины. Математическое ожидание. меньше данного Случайные величины. Математическое ожидание. , а остальные – не меньше Случайные величины. Математическое ожидание. . Тогда Случайные величины. Математическое ожидание. . Запишем формулу для дисперсии в виде: Случайные величины. Математическое ожидание. Отбросим первое слагаемое и во втором слагаемом заменим Случайные величины. Математическое ожидание. меньшей величиной Случайные величины. Математическое ожидание. , получим Случайные величины. Математическое ожидание. Отсюда: Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. . Иначе: Случайные величины. Математическое ожидание. . Для частости: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Теорема Чебышева. Если Случайные величины. Математическое ожидание. — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было Случайные величины. Математическое ожидание. , вероятность неравенства Случайные величины. Математическое ожидание. будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико, т.е. Случайные величины. Математическое ожидание.

Рассмотрим случайную величину Случайные величины. Математическое ожидание. Имеем: Случайные величины. Математическое ожидание. ; Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание. По условию теоремы дисперсия ограничена, т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. , поэтому Случайные величины. Математическое ожидание. . Воспользуемся неравенством Чебышева: Случайные величины. Математическое ожидание. Перейдя к пределу и учитывая, что Случайные величины. Математическое ожидание. , получим доказываемое.

Теорема Бернулли

Пусть в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна. Тогда как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Или Случайные величины. Математическое ожидание., где Случайные величины. Математическое ожидание. – частота появления события A.

Пусть Случайные величины. Математическое ожидание. – число появлений события A в первом испытании, Случайные величины. Математическое ожидание. – во втором, Случайные величины. Математическое ожидание. – в n-ом испытании, Случайные величины. Математическое ожидание. может принимать значения : 1 (событие А наступило) с вероятность р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью Случайные величины. Математическое ожидание. . Испытания независимые, Случайные величины. Математическое ожидание., так как Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание., тогда по неравенству Чебышева: Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Каждая величина Случайные величины. Математическое ожидание.тогда Случайные величины. Математическое ожидание.– числу появления события А в n испытаниях, тогда Случайные величины. Математическое ожидание.следовательно, Случайные величины. Математическое ожидание. .

Теорема Пуассона. Если в последовательности n независимых испытаний вероятность появления события А в каждом испытании равна Случайные величины. Математическое ожидание. , то при увеличении n частость события A сходится (по вероятности) к среднему арифметическому вероятностей Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Случайные величины. Математическое ожидание.

Пусть случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание. – число появлений события А в каждом испытании, тогда Случайные величины. Математическое ожидание. – число появлений события А в n испытаниях. Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. – независимые величины. Для случайной величины Случайные величины. Математическое ожидание. имеем: Случайные величины. Математическое ожидание. среднее арифметическое вероятностей; Случайные величины. Математическое ожидание. Тогда по неравенству Чебышева: Случайные величины. Математическое ожидание.Переходя к пределу, получим доказываемое.

Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Если каждому возможному значения случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y – функция от X: Y=j(X).

Найдем закон распределения вероятностей функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1) Если X – дискретная величина. Найти распределение Y=X2. Вероятности соответствующих значений X и Y равны:

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

2) Пусть X – непрерывная случайная величина.

Пусть Y=j(X) и плотность распределения f(x) известна, тогда Случайные величины. Математическое ожидание. , где Случайные величины. Математическое ожидание. – обратная функция для функции у=j(х), которая должна быть дифференцируемой и строго возрастающей или убывающей функцией.

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Пусть Y=j(X) – функция случайного аргумента Х. Найдем M(Y).

Пусть Х дискретная случайная величина: Случайные величины. Математическое ожидание. с вероятностью Случайные величины. Математическое ожидание. , Y – тоже дискретная случайная величина со значениями: Случайные величины. Математическое ожидание. с вероятностью Случайные величины. Математическое ожидание. . Тогда Случайные величины. Математическое ожидание.

Пусть X – непрерывная случайная величина, заданная плотностью f(x).

а) можно найти g(y) – плотность распределения величины Y и Случайные величины. Математическое ожидание., однако проще: Случайные величины. Математическое ожидание..

Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом – одномерные. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются 2, 3,…, n числами. Такие величины называются двумерными, трехмерными, …, n-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X, Y называют компонентами (составляющими); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Пример: станок штампует плитки. Если контролировать длину X и ширину Y – то имеем двухмерную случайную величину (X, Y).

§

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины – перечень возможных значений этой величины, т.е. пары чисел Случайные величины. Математическое ожидание.и их вероятностей Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание..

События (Х= Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. = Случайные величины. Математическое ожидание.) Случайные величины. Математическое ожидание.образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей, помещенных в таблице, равна 1. Можно найти законы распределения каждой составляющей. События (Х= Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. =Случайные величины. Математическое ожидание. ), (Х= Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. =Случайные величины. Математическое ожидание. ),…,(Х= Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. =Случайные величины. Математическое ожидание.) несовместны, поэтому Случайные величины. Математическое ожидание. — вероятность того, что Х примет значение Случайные величины. Математическое ожидание.равно сумме вероятностей «столбца Случайные величины. Математическое ожидание.». Случайные величины. Математическое ожидание. – просуммировать вероятности «столбца Случайные величины. Математическое ожидание.». Аналогично, Случайные величины. Математическое ожидание. равно сумме вероятности строки Случайные величины. Математическое ожидание. .

Функции распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют Случайные величины. Математическое ожидание. , определяющую вероятность того, что X<x, Y<y: F(x,y)=P(X<x, Y<y).

Свойства:

1. Случайные величины. Математическое ожидание. – вероятность.

2. Случайные величины. Математическое ожидание. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. , если Случайные величины. Математическое ожидание. ; Случайные величины. Математическое ожидание. если Случайные величины. Математическое ожидание. .

3. Предельные соотношения: Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. .

4. Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. .

При Случайные величины. Математическое ожидание. функция распределения системы Случайные величины. Математическое ожидание. становится функцией распределения составляющей Х; при Случайные величины. Математическое ожидание. функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y.

Вероятность попадания случайной величины в полуполосу

И прямоугольник

Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: Случайные величины. Математическое ожидание. или в полуполосу Случайные величины. Математическое ожидание.

Функция распределения Случайные величины. Математическое ожидание. считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной Случайные величины. Математическое ожидание. . Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна: Случайные величины. Математическое ожидание. — это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершиной Случайные величины. Математическое ожидание. и вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной Случайные величины. Математическое ожидание. . Аналогично, Случайные величины. Математическое ожидание. . Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон: Случайные величины. Математическое ожидание. . Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ и вероятность попадания случайной точки в полуполосу CD: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Случайные величины. Математическое ожидание. Y

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. X

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения Случайные величины. Математическое ожидание. всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Двумерная плотность распределения вероятностей – вторая смешанная частная производная от функции Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание. .

Геометрически – это поверхность (поверхность распределения). Зная плотность распределения Случайные величины. Математическое ожидание. , можно найти функцию распределения Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание.

Вероятностный смысл f(x, y)

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD: Случайные величины. Математическое ожидание.. Применим теорему Лагранжа: Случайные величины. Математическое ожидание. , где Случайные величины. Математическое ожидание. . Отсюда Случайные величины. Математическое ожидание. – это отношение вероятности попадания в квадрат к его площади.

Перейдем к пределу Случайные величины. Математическое ожидание. .

Свойства Случайные величины. Математическое ожидание. :

1) f(x,y)³0 (F(x,y), поскольку Случайные величины. Математическое ожидание. – неубывающая функция своих аргументов.

2) Случайные величины. Математическое ожидание. .

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Случайные величины. Математическое ожидание. – это вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. . Разобьем область D на n элементарных областей прямыми, параллельными Оу и Ох на расстоянии и . Вероятность попадания случайной точки в область D равна сумме вероятностей попадания точки в элементарные области: Случайные величины. Математическое ожидание. . Переходя к пределу, получим Случайные величины. Математическое ожидание. .

Раздел IX. Элементы математической статистики

Глава 23. Статическая оценка параметров распределения

Задачи математической статистики. Вариационный ряд

Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.

Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

В общем виде:

Случайные величины. Математическое ожидание. – объем выборки.

Рефераты:  Понятие деятельности. Структура деятельности

Графическое изображение вариационного ряда – полигон.

Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны Случайные величины. Математическое ожидание. , где Случайные величины. Математическое ожидание. – относительная частота.

Точечные оценки

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М(х), D(х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами).

Точечной оценкой характеристики Q называется некоторая функция Q* результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики: Случайные величины. Математическое ожидание. . Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру: Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность: точечная оценка называется состоятельной, если она при Случайные величины. Математическое ожидание. стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию.

Основные точечные оценки

  1. Выборочная средняя: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Выборочная средняя Случайные величины. Математическое ожидание. приближается к М(х), является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия: Случайные величины. Математическое ожидание. . S2 является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используют несмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию: Случайные величины. Математическое ожидание.

3. Начальные и центральные моменты k— го порядка. Начальный момент k-го порядка: Случайные величины. Математическое ожидание. . Центральный момент k-го порядка: Случайные величины. Математическое ожидание.

§

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому широко используют интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Доверительной вероятностью (надежностью) называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. , где Q* – найденная характеристика параметра Q. Надежность g обычно выбирается 0,95; 0,99; 0,999 и т.д.

Интервальные оценки для генеральной средней с известным s

Пусть известно среднее квадратическое отклонение s генеральной совокупности с нормальным законом распределения. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней Случайные величины. Математическое ожидание. . Будем рассматривать выборочную среднюю Случайные величины. Математическое ожидание. как случайную величину Случайные величины. Математическое ожидание. , для которой Случайные величины. Математическое ожидание.( Случайные величины. Математическое ожидание. – случайная величина, т.к. Случайные величины. Математическое ожидание. меняется от выборки к выборке).

Тогда по следствию интегральной теоремы Лапласа имеем: Случайные величины. Математическое ожидание., где Случайные величины. Математическое ожидание., Случайные величины. Математическое ожидание. – точность оценки.

Число Случайные величины. Математическое ожидание. определяем по таблице значений функции Лапласа: Случайные величины. Математическое ожидание. . Получаем: Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. – интервальная оценка для математического ожидания а.

Пример. Случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание. имеет нормальное распределение с s =3. Найти доверительный интервал для оценки генеральной средней а, если Случайные величины. Математическое ожидание. , надежность g = 0,95.

Найдем t: функция Лапласа Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. , точность: Случайные величины. Математическое ожидание., Случайные величины. Математическое ожидание.

Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s

Пусть признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней Случайные величины. Математическое ожидание. . Для построения интервальной оценки используется статистика Случайные величины. Математическое ожидание. , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы Случайные величины. Математическое ожидание. . Получаем: Случайные величины. Математическое ожидание.где n – объем выборки, Случайные величины. Математическое ожидание. –исправленное среднее квадратическое отклонение, Случайные величины. Математическое ожидание.– выборочная средняя, Случайные величины. Математическое ожидание. – уровень значимости, Случайные величины. Математическое ожидание. находим по распределению Стьюдента (t – распределение) (для двухсторонней критической области). Точность оценки: Случайные величины. Математическое ожидание.. Можно по таблице приложения 3 Гмурмана.

Пример. Средняя урожайность пшеницы на 16 опытных участках Случайные величины. Математическое ожидание.=25 ц/га, а Случайные величины. Математическое ожидание. ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

Число степеней свободы Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. , по таблице распределения Стьюдента находим: Случайные величины. Математическое ожидание. . Точность оценки: Случайные величины. Математическое ожидание. ; тогда Случайные величины. Математическое ожидание. (ц/га).

Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли

Пусть из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону Случайные величины. Математическое ожидание. , взята выборка объема n и вычислена исправленная выборочная дисперсия Случайные величины. Математическое ожидание. . Требуется определить с надежностью g интервальные оценки для s 2 и s.

Случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание. имеет распределение Пирсона (Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. степенями свободы. Имеем: Случайные величины. Математическое ожидание. .

По таблице Случайные величины. Математическое ожидание.— распределения нужно выбрать такие Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. , чтобы площадь, заключенная под графиком плотности распределения Случайные величины. Математическое ожидание. между Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. , была равна Случайные величины. Математическое ожидание. . Обычно: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Случайные величины. Математическое ожидание.

Тогда: Случайные величины. Математическое ожидание. Поскольку таблица содержит лишь Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание. тогда из Случайные величины. Математическое ожидание.

Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. Случайные величины. Математическое ожидание. Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии. Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. находим из равенств: Случайные величины. Математическое ожидание. Запишем неравенство из Случайные величины. Математическое ожидание. : Случайные величины. Математическое ожидание. и преобразуем его: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Если Случайные величины. Математическое ожидание. , то доверительный интервал для s:Случайные величины. Математическое ожидание. . Если Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание. , где Случайные величины. Математическое ожидание. определяется по таблице функции Лапласа: Случайные величины. Математическое ожидание.

Можно по упрощенной формуле (Гмурман): Случайные величины. Математическое ожидание. , где параметр Случайные величины. Математическое ожидание. находят по таблице приложения 4 (Гмурман) по заданным n и g.

Пример. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено Случайные величины. Математическое ожидание. мм. В предположении, что ошибка распределена нормально, определить при g = 0,95 доверительный интервал для s.

Случайные величины. Математическое ожидание. ; Случайные величины. Математическое ожидание. .

По таблице Случайные величины. Математическое ожидание.для Случайные величины. Математическое ожидание., Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание.(мм).

Интервальная оценка для генеральной доли

Пусть в n независимых испытаниях событие А, вероятность появления которого равна р, имело место m раз (Случайные величины. Математическое ожидание.), тогда границы доверительного интервала для генеральной доли: Случайные величины. Математическое ожидание. , где Случайные величины. Математическое ожидание. определяется по таблице Лапласа: Случайные величины. Математическое ожидание.

Пример. При испытании зерна на всхожесть из 400 зерен проросло 384. С надежностью g = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли р.

Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. (Лаплас), Случайные величины. Математическое ожидание. , точность оценки: Случайные величины. Математическое ожидание. ; Случайные величины. Математическое ожидание. .

Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез

§

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание..

Конкурирующей называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, т.е. ее необходимо проверять. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение:

— ошибка 1 рода – будет отвергнута правильная гипотеза;

— ошибка 2 рода – будет принята неправильная гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используют статистический критерий, т.е. правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо принять, либо отвергнуть. Основу критерия составляет специальная случайная величина (статистика) K с известным законом распределения. Задаваясь уровнем значимости Случайные величины. Математическое ожидание. , т.е. вероятностью совершить ошибку 1 рода, критерий позволяет разбить все множество значений статистики на 2 непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы и критическую область (область отклонения гипотезы).

Основной принцип проверки гипотезы: если значение статистики, рассчитанное для выборки, попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, в противном случае – гипотезу принимают. В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н1выбирают:

1. правостороннюю критическую область Случайные величины. Математическое ожидание. . Критическое значение статистики Случайные величины. Математическое ожидание. вычисляем из условия Случайные величины. Математическое ожидание. .

2. левостороннюю критическую область: Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. .

3. двухсторонняя критическая область: Случайные величины. Математическое ожидание. Обычно считают, что Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. и если критические точки симметричны относительно нуля, то Случайные величины. Математическое ожидание. .

Схема проверки гипотез

1. По условию задачи формулируют основную Случайные величины. Математическое ожидание. и конкурирующую гипотезы.

2. Задают величину уровня значимости a: 0,05; 0,01; 0,001.

3. Выбирают статистику, определяющую критерии проверки и выясняют ее закон распределения.

4. С помощью закона распределения статистики определяют Случайные величины. Математическое ожидание. при уровне значимости a (т.е. границы критической области).

5. По результатам выборки вычисляют значение статистики Случайные величины. Математическое ожидание. . Если Случайные величины. Математическое ожидание. попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, если нет – принимают.

24.2. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Этот вопрос возникает, если требуется сравнить точности приборов, методов измерений и т.д.

Пусть Х и Y – нормально распределенные генеральные совокупности. По двум выборкам объемами n1 и n2 найдены исправленные выборочные дисперсии Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. . При уровне значимости a проверяем нулевую гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. при конкурирующей гипотезе Случайные величины. Математическое ожидание. .

Исправленные выборочные дисперсии обычно различные. Требуется установить: различие значимо (существенно) или незначимо, т.е. объясняется случайными причинами. Выбираем F – статистику, распределенную по закону Фишера–Снедекора. Наблюдаемое значение: Случайные величины. Математическое ожидание. (отношение большой исправленной дисперсии к меньшей), число степеней свободы: Случайные величины. Математическое ожидание. (где Случайные величины. Математическое ожидание. — объем выборки с большей исправленной дисперсией), Случайные величины. Математическое ожидание. (где Случайные величины. Математическое ожидание. — объем выборки с меньшей исправленной дисперсией). По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора для уровня значимости a, числа степеней свободы Случайные величины. Математическое ожидание. определяем Случайные величины. Математическое ожидание.. Если Случайные величины. Математическое ожидание., то гипотеза принимается, если Случайные величины. Математическое ожидание., то гипотеза отвергается.

Если Н1 : Случайные величины. Математическое ожидание. , то значение Случайные величины. Математическое ожидание. определяется для уровня значимости Случайные величины. Математическое ожидание., поскольку необходимо построить двухстороннюю критическую область Случайные величины. Математическое ожидание. и Случайные величины. Математическое ожидание. .

Иногда требуется проверить нулевую гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание. – определенное заданное значение генеральной дисперсии. Для проверки используют статистику Случайные величины. Математическое ожидание. – исправленная выборочная дисперсия. Определяют Случайные величины. Математическое ожидание. .

Рефераты:  реферат найти Проблемы использования и воспроизводства природных ресурсов

а) Если конкурирующая гипотеза имеет вид Случайные величины. Математическое ожидание. то для определения Случайные величины. Математическое ожидание. выбираем правостороннюю критическую область и по таблице распределения Пирсона ( Случайные величины. Математическое ожидание. ) определяем Случайные величины. Математическое ожидание. (на уровне значимости Случайные величины. Математическое ожидание. для числа степеней свободы Случайные величины. Математическое ожидание. ). Если Случайные величины. Математическое ожидание. , то гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание. принимаем, если Случайные величины. Математическое ожидание.– отвергаем гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание. .

б) если Случайные величины. Математическое ожидание. то строим двухстороннюю область, определяем левую Случайные величины. Математическое ожидание. и правую Случайные величины. Математическое ожидание. критические точки. Если Случайные величины. Математическое ожидание. то гипотеза Случайные величины. Математическое ожидание. принимается, если Случайные величины. Математическое ожидание. или Случайные величины. Математическое ожидание. , то гипотеза Случайные величины. Математическое ожидание. отвергается.

в) Если Случайные величины. Математическое ожидание. то строим левостороннюю критическую область, находим Случайные величины. Математическое ожидание. . Если Случайные величины. Математическое ожидание. , то принимаем гипотезу Случайные величины. Математическое ожидание. , если Случайные величины. Математическое ожидание. , то Случайные величины. Математическое ожидание. отвергается.

Пример. По 2 выборкам объемами n1 = 10 и n2 = 18 найдены исправленные выборочные дисперсии Случайные величины. Математическое ожидание. . При уровне значимости Случайные величины. Математическое ожидание.проверить гипотезу: Случайные величины. Математическое ожидание. .

Находим Случайные величины. Математическое ожидание. . Критическая область – двухсторонняя. Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. , Случайные величины. Математическое ожидание. поскольку 3 > 2,5, то гипотеза отвергается (дисперсии различаются значимо).

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание.обязательно примет одно из значенийСлучайные величины. Математическое ожидание.полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание.полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Ответ: Случайные величины. Математическое ожидание.

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины Случайные величины. Математическое ожидание.Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно Случайные величины. Математическое ожидание.классическому определению:
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Ответ: искомый закон распределения выигрыша:
Случайные величины. Математическое ожидание.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:или в свёрнутом виде:
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Случайные величины. Математическое ожидание.

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Случайные величины. Математическое ожидание.проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины Случайные величины. Математическое ожидание.в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Пример 5

Случайная величина Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание.

Есть?

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию Случайные величины. Математическое ожидание. – вероятность попадания в мишень. Тогда:
Случайные величины. Математическое ожидание. – вероятность промаха.Составим Случайные величины. Математическое ожидание. – закон распределения попаданий при двух выстрелах:Случайные величины. Математическое ожидание. – ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. – одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:
Случайные величины. Математическое ожидание.Случайные величины. Математическое ожидание. – два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Случайные величины. Математическое ожидание.

Проверка: 0,09 0,42 0,49 = 1

Ответ: Случайные величины. Математическое ожидание.Примечание: можно было использовать обозначения Случайные величины. Математическое ожидание. – это не принципиально.Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Вычислим математическое ожидание:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:
Случайные величины. Математическое ожидание.
поменяем части местами и проведём упрощения:
Случайные величины. Математическое ожидание.
таким образом:
Случайные величины. Математическое ожидание.Выполним проверку:
Случайные величины. Математическое ожидание.
Случайные величины. Математическое ожидание., что и требовалось проверить.Ответ: Случайные величины. Математическое ожидание.

Пример 1

Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0,4; p2=0,3 и p3=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт вступайте в группу ВКсохраните контакт WhatsApp ( 79688494598) сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина

, которая может принимать
только два значения:1 –
попадание с вероятностью

0 –
промах с вероятностью

Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

Пример 4

Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.

Решение

Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через

, и на второй – через

.

Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание
константы равно этой константе:

Свойство 2.

Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3.

Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойство 4.

Математическое ожидания
произведения случайных величин:

где 

 –
ковариация  случайных величин

 и

В частности, если

 и

 независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий