Статистические распределения выборок и их числовые характеристики с примерами решения и образцами выполнения

7.4.
Числовые характеристики статистического
распределения

В
главе 5 мы ввели в рассмотрение различные
числовые характеристики случайных
величин: математическое ожидание,
дисперсию, начальные и центральные
моменты различных порядков. Эти число­вые
характеристики играют большую роль в
теории вероятностей. Аналогичные
числовые характеристики существуют и
для статисти­ческих распределений.
Каждой числовой характеристике случайной
величины Xсоответствует
ее статистическая аналогия. Для основной
характеристики положения — математического
ожидания случайной величины — такой
аналогией является среднее арифметическое
наблю­денных значений случайной
величины:

М*[Х]
=(7.4,1)

где
x_t
— значение
случайной величины, наблюденное в 1-й
опыте
п — число
опытов.

Эту
характеристику мы будем в дальнейшем
называть стати­стическим
средним случайной
величины.

Согласно
закону больших чисел, при неограниченном
увеличении числа опытов статистическое
среднее приближается, (сходится по
ве­роятности)
к математическому ожиданию. При достаточно
большом п
статистическое
среднее может быть принято приближенно
равным математическому
ожиданию. При ограниченном числе опытов
стати­стическое
среднее является случайной величиной,
которая, тем не менее, связана с
математическим ожиданием и может дать
о нем известное
представление.

Подобные
статистические аналогии существуют
для всех число­вых характеристик.
Условимся в дальнейшем эти статистические
аналогии
обозначать теми же буквами, что и
соответствующие чис­ловые
характеристики, но снабжать их значком
*.

Рассмотрим,
например, дисперсию случайной величины.
Она пред­ставляет
собой математическое ожидание случайной
величины

.Х²
= (Х — m_х)²:

D[X]
= M[X*]
= M[(X
— m_x)²}. (7.4.2)

Если
в этом выражении заменить математическое
ожидание его статистической аналогией
— средним арифметическим, мы получим
статистическую дисперсию случайной
величины X:

(7.4.3)

где
т*_х
— М*[Х] —
статистическое среднее.

Аналогично
определяются статистические начальные
и централь­ные моменты любых порядков:

(7.4.4)

(7.4.5)

Все
эти определения полностью аналогичны
данным в главе 5 определениям
числовых ‘характеристик случайной
величины, с той разницей,
что в них везде вместо математического
ожидания фигу­рирует
среднее арифметическое. При увеличении
числа наблюдений, очевидно,
все статистические характеристики
будут сходиться по вероятности
к соответствующим математическим
характеристикам и
при достаточном n
могут быть приняты приближенно равными
им.

Нетрудно
доказать, что для статистических
начальных и центральных
моментов справедливы те же свойства,
которые были выведены в
главе 5 для математических моментов. В
частности, статистический
первый .центральный момент всегда равен
нулю:

==–
m^*_x
= m^*_x
– m^*_x
= 0

Соотношения
между центральными и начальными моментами
также сохраняются:

==–
2m^*_x (m^*_x)²=α^*₂
– (m^*_x)²

и т.д.

При очень большом
количестве опытов вычисление характеристик
,10 формулам (7.4.1) — (7.4.5) становится
чрезмерно громоздким, и можно применить
следующий прием: воспользоваться теми
же ^разрядами, на которые был
расклассифицирован статистический
материал для построения статистического
ряда или гистограммы, и считать приближенно
значение случайной величины в каждом
разряде Постоянным и равным среднему
значению, которое выступает в роли
«представителя» разряда. Тогда
статистические числовые характе­ристики
будут выражаться приближенными формулами:

m^*_x
= M*[X]
=
,

(7.4.7)

D^*_x
= D^*

[X]
=,

(7.4.8)

=
(7.4.9)

(7.4.10)

где
x_t
— «представитель»
1-го
разряда,
р*
— частота
1-го
разряда,
k
— число
разрядов.

Как
видно, формулы (7.4.7) — (7.4.10) полностью
аналогичны формулам п°п° 5.6 и 5.7,
определяющим математическое ожидание,
дисперсию, начальные и центральные
моменты прерывной случайной

величины
X,
с
той только разницей, что вместо
вероятностей р_{
в
них стоят частоты р*,
вместо
математического ожидания т_х
— ста­тистическое
среднее
т_х*,
вместо числа возможных значений случайной
величины
— число разрядов.

В большинстве
руководств по теории вероятностей и
математической статистике
при рассмотрении вопроса о статистических
аналогиях для харак­теристик случайных
величин применяется терминология,
несколько отличная от
принятой в настоящей книге, а именно,
статистическое среднее именуется
«выборочным
средним», статистическая дисперсия—«выборочной
дисперсией» и
т. д. Происхождение этих терминов
следующее. В статистике, особенно
сельскохозяйственной
и биологической, часто приходится
исследовать распре­деление
того или иного признака для весьма
большой совокупности индиви­дуумов,
образующих статистический коллектив
(таким признаком может быть,
например, содержание белка в зерне
пшеницы, вес того же зерна, длина или
вес тела какого-либо из группы животных
и т. д.). Данный признак
является случайной величиной, значение
которой от индивидуума к
индивидууму меняется. Однако, для того,
чтобы составить представление о
распределении этой случайной величины
или о ее важнейших характери­стиках,
нет необходимости обследовать каждый
индивидуум данной обширной совокупности;
можно обследовать некоторую выборку
достаточно
боль­шого
объема для того, чтобы в ней были выявлены
существенные черты изучаемого
распределения. Та обширная совокупность,
из которой произво­дится
выборка, носит в статистике название
генеральной
совокупности. При
этом предполагается, что число членов
(индивидуумов) N
в
генеральной совокупности
весьма велико, а число членов п
в выборке
ограничено. При
достаточно большом N
оказывается,
что свойства выборочных/статисти­ческих)
распределений и характеристик практически
не зависят от N;
отсюда
естественно
вытекает математическая идеализация,
состоящая в том, что генеральная
совокупность, из которой осуществляется
выбор, имеет ‘беско­нечный
объем. При этом отличают точные
характеристики (закон распределе­ния,
математическое ожидание, дисперсию и
т. д.), относящиеся к генераль­ной
совокупности, от аналогичных им
«выборочных» характеристик. Выбо­рочные
характеристики отличаются от
соответствующих характеристик генеральной
совокупности за счет ограниченности
объема выборки n;
при неограниченном увеличении а,
естественно,
все выборочные характери­стики
приближаются (сходятся по вероятности)
к соответствующим характе­ристикам
генеральной совокупности. Часто возникает
вопрос о том, каков должен
быть объем выборки п
для
того, чтобы по выборочным характеристи­кам
можно было с достаточной точностью
судить о неизвестных характерис­тиках
генеральной совокупности или о том, с
какой степенью точности при заданном
объеме выборки можно судить о
характеристиках генеральной сово­купности.
Такой методический прием, состоящий в
параллельном рассмотрении бесконечной
генеральной совокупности, из которой
осуществляется выбор, и
ограниченной по объему выборки, является
совершенно естественным в
тех областях статистики, где фактически
приходится осуществлять выбор из
весьма многочисленных совокупностей
индивидуумов. Для практических задач,
связанных с вопросами стрельбы и
вооружения, гораздо более характерно
другое положение, когда над исследуемой
случайной величиной (или системой
случайных величин) производится
ограниченное число опалов
с целью определить те или иные
характеристики этой величины, например,
когда с целью исследования закона
рассеивания при стрельбе производится
некоторое количество выстрелов, или с
целью исследования ошибки
наводки производится серия опытов, в
каждом из которых ошибка наводки
регистрируется с помощью фотопулемета,
и т. д. При этом ограниченное число опытов
связано не с трудностью регистрации и
обработки, а со сложностью и дороговизной
каждого отдельного опыта. В этом случае
с
известной натяжкой можно также
произведённые nопытов
мысленно рас­сматривать как «выборку»
из некоторой чисто условной «генеральной
сово­купности»,
состоящей из бесконечного числа возможных
или мыслимых опытов,
которые можно было бы произвести в
данных условиях. Однако искусственное
введение такой гипотетической «генеральной
совокупности»! при
данной постановке вопроса не вызвано
необходимостью и вносит в рас­смотрение
вопроса, по существу, излишний элемент
идеализации, не выте­кающий из
непосредственной реальности задачи.

Поэтому
мы в данном курсе не пользуемся терминами
«выборочное среднее», «выборочная
дисперсия», «выборочные характеристики»
и т. д., заменяя
их терминами «статистическое среднее»,
«статистическая дисперсия», «статистические
характеристики».

2.5. Выравнивание
статистических рядов

Во
всяком статистическом распределении
неизбежно присутствуют элементы
случайности, связанные с тем, что число
наблюдений ограничено,
что произведены именно те, а не другие
опыты, давшие именно те, а не другие
результаты. Только при очень большом
числе наблюдений
эти элементы случайности сглаживаются,
и случайное явление
обнаруживает в полной мере присущую
ему закономерность. На
практике мы почти никогда не имеем дела
с таким большим числом
наблюдений и вынуждены считаться с тем,
что любому ста­тистическому
распределению свойственны в большей
или меньшей, мере черты случайности.
Поэтому при обработке статистического
материала
часто приходится решать вопрос о том,
как подобрать для данного
статистического ряда теоретическую
кривую распределения, выражающую
лишь существенные черты статистического
материала, но
не случайности, связанные с недостаточным
объемом эксперимен­тальных
данных. Такая задача называется задачей
выравнивания
(сглаживания)
статистических
рядов.

Задача
выравнивания заключается в том, чтобы
подобрать теоре­тическую плавную
кривую распределения, с той или иной
точки зрения
наилучшим образом описывающую данное
статистическое рас­пределение
(рис. 7.5.1).

Задача
о наилучшем выравнивании статистических
рядов, как и вообще
задача о наилучшем аналитическом
представлении эмпири­ческих
функций, есть задача в значительной
мере неопределенная, _tи
решение ее зависит от того, что условиться
считать «наилучшим». Например, при
сглаживании эмпирических зависимостей
очень часто исходят
из так называемого принципа или
метода наименьших квадратов
(см. п° 14.5), считая, что наилучшим
приближением к эмпирической зависимости
в данном классе функций является такое,
при котором
сумма квадратов отклонений обращается
в минимум. При этом вопрос
о том, в каком именно классе функций
следует искать наилучшее приближение,
решается уже не из математических
соображений, а из соображений, связанных
с физикой решаемой задач»} с учетом
характера полученной эмпирической
кривой и степени точ­ности
произведенных наблюдений. Часто
принципиальный характер функции,
выражающей исследуемую зависимость,
известен заранее из теоретических
соображений, из опыта же требуется
получить лишь некоторые
численные параметры, входящие в выражение
функции; именно
эти параметры подбираются с помощью
метода наименьших квадратов.

Аналогично
обстоит дело и с задачей выравнивания
статистиче­ских рядов. Как правило,
принципиальный вид теоретической кривой
выбирается заранее из соображений,
связанных с существом задачи,

Рис.
7.5.1,

• .

¹

а
в некоторых случаях просто с внешним
видом статистического распределения.
Аналитическое выражение выбранной
кривой распре­деления
зависит от некоторых параметров; задача
выравнивания ста­тистического ряда
переходит в задачу рационального выбора
тех значений
параметров, при которых соответствие
между статистиче­ским
и теоретическим распределениями
оказывается наилучшим.

Предположим,
например, что исследуемая величина Xесть
ошибка измерения,
возникающая в результате суммирования
воздействий множества независимых
элементарных ошибок; тогда из теоретических
соображений
можно считать, что величина Xподчиняется
нормаль­ному
закону:

(7.5,1)

и
задача выравнивания переходит в задачу
о рациональном выборе параметров
т
и
о в выражении (7.5.1).

Бывают
случаи, когда заранее известно, что
величина Xраспре­деляется
статистически приблизительно
равномерно на некотором

^Интервале;
тогда можно поставить задачу о
рациональном выборе ^Параметров того
закона равномерной плотности

которым
можно наилучшим образом заменить
(выровнять) заданное

статистическое
распределение.

?
Следует при этом иметь в виду, что любая
аналитическая функ-5 ция / (х),
с
помощью которой выравнивается
статистическое распределение,
должна обладать основными свойствами
плотности распределения:

Предположим,
что, исходя из тех или иных соображений,
нами

;
выбрана функция f(x),
удовлетворяющая
условиям (7.5.2), с помощью

которой
мы хотим выровнять данное статистическое
распределение;

”
в выражение этой функции входит несколько
параметров а,
Ь, ..,;

требуется
подобрать эти параметры так, чтобы
функция f(x)
наилучшим
образом описывала данный статистический
материал.
Один
с
из методов, применяемых для решения
этой задачи, — это так называёмый
метод
моментов.

Согласно
методу моментов, параметры а,
Ь, …
выбираются с таким расчетом, чтобы
несколько важнейших числовых характеристик
(моментов)
теоретического распределения были
равны соответствующим .статистическим
характеристикам. Например, если
теоретическая кри­вая
f(x)
зависит
только от двух параметров а
и
Ь,
эти
параметры выбираются
так, чтобы математическое ожидание т_хи
дисперсия D^
теоретического
распределения совпадали с соответствующими
стати­стическими
характеристиками т_хи
D_x–
Если
кривая (X)
зависит от трех
параметров, можно подобрать их так,
чтобы совпали Первые три
момента, и т. д. При выравнивании
статистических рядов может оказаться
полезной специально разработанная
система кривых
Пир­сона,
каждая
из которых зависит в общем случае от
четырех пара­метров.
При выравнивании эти параметры выбираются
с тем расче­том, чтобы сохранить первые
четыре момента статистического
рас­пределения
(математическое ожидание, дисперсию,
третий и четвертый моменты)’).
Оригинальный набор кривых распределения,
построенных
по
иному принципу, дал Н. А. Бородачев*).
Принцип, на котором строится система
кривых Н. А. Бородачева, заключается в
том, что выбор
типа теоретической кривой основывается
не на внешних формальных признаках, а
на анализе физической сущности случай­ного
явления или процесса, приводящего к
тому или иному закону распределения.

Следует
заметить, что при выравнивании
статистических рядов Нерационально
пользоваться моментами порядка выше
четвертого, так
как точность вычисления моментов резко
падает с увеличением их
порядка.

Пример.
1. В п° 7.3 (стр. 137) приведено статистическое
распределе­ние боковой ошибки наводки
Xпри
стрельбе с самолета по наземной цели.
Требуется выровнять это распределение
с помощью нормального закона:

Решение.
Нормальный закон зависит от двух
параметров: т
и
в.. Подберем эти параметры так, чтобы
сохранить первые два момента —
мате­матическое
ожидание и дисперсию — статистического
распределения.

Вычислим
приближенно статистическое среднее
ошибки наводки по фор­муле
(7.4.7), причем за представителя каждого
разряда примем его середину:

m^*_x
=— 3,5 • 0,012 — 2,5 • 0,050 —1,5 • 0,144 — 0,5 •
0,266 0,5 – 0,240

1,5
• 0,176 2,5 • 0,092 3,5 • 0,020 = 0,168.

Для
определения дисперсии вычислим сначала
второй начальный момент по формуле
(7.4.9), полагая s
= 2, k
= 8

=

Пользуясь
выражением дисперсии через второй
начальный момент (фор­мула (7.4.6)),
получим:

D*_x=α*₂
– (m*₂)²
= 2,126 — 0,028 = 2,098.

Выберем
параметры т
к ч нормального
закона так, чтобы выполнялись условия:

m=
m*_x,
σ²
= D*_x

то есть примем:

m=0,168; σ = 1,448.

Напишем выражение
нормального закона:

Пользуясь
в табл. 3 приложения, вычислим значения
f(x)
на
границах разрядов

X	-4	-3	– 2	-1	0	1	2	3	4
(X)	0,004	0,025	0,090	0,199	0,274	0,234	0,124	0,041	0,008

Построим
на одном графике (рис. 7.5.2) гистограмму
и выравнивающую ее кривую распределения.

Из
графика видно, что теоретическая кривая
распределения / (х),
сохра­няя,
в основном существенные особенности
статистического распределения, ¹
свободна от случайных неправильностей
хода гистограммы, которые, по-види­мому,
могут быть отнесены за счет случайных
причин; более серьезное обоснование
последнему суждению будет дано в
следующем параграфе

Примечание.
В данном примере при определении D*_xмы вос­пользовались выражением
(7.4.6) статистической дисперсии через
второй начальный момент. Этот прием
можно рекомендовать только в случае,
когда математическое ожидание т_x*
исследуемой случайной величины Xсравнительно невелико; в противном
случае фор­мула (7.4.6) выражает дисперсию
D*_xкак разность близких чисел и дает
весьма малую точность. В случае, когда
это имеет место, ре­комендуется либо
вычислять D*_xнепосредственно по формуле (7.4.3), либо
перенести начало координат в какую-либо
точку, близкую к т_х, и
затем применить формулу (7.4.6). Пользование
формулой (7.4.3) равносильно перенесению
начала координат в точку т_x*
это может оказаться неудобным, так
как выражение т_x*
может быть дробным, и вычитание от*
из каждого x_tпри этом излишне осложняет вычис­ления;
поэтому рекомендуется переносить начало
координат в ка­кое-либо круглое
значение х, близкое к т_x*

Пример
2.
С целью исследования закона распределения
ошибки из­мерения
дальности с помощью радиодальномера
произведено 400 измерений Дальности.
Результаты опытов представлены в виде
статистического ряда:

Ii(M)	20; 30	30; 40	40; 50	50; 60	60; 70	70; 80	80; 90	90; 100
mi	21	72	66	38	51	56	64	32
P* i	0,052	0,180	0,165	0,095	0,128	0,140	0,160	0,080

О
при х
< а или
х
>

Выровнять
статистический ряд с помощью закона
равномерной плотности. Решение.
Закон равномерной плотности выражается
формулой

и
зависит от двух параметров α и β. Эти
параметры следует выбрать так, чтобы
сохранить первые два момента статистического
распределения — мате­матическое
ожидание m_хи
дисперсию D*_xИз
“примера п° 5.8 имеем выражения
математического ожидания и дисперсии
для закона равномерной плотности:

m_x=

D_x=

Для
того чтобы упростить вычисления,
связанные с определением статисти­ческих
моментов, перенесем начало отсчета в
точку х₀=
60 и примем за представителя каждого
разряда его середину. Ряд распределения
примет вид:

х’i	-35	—25	—15	—5	5	15	25	35
* Pi	0,052	0,180	0,165	0,095	0,128	0,140	0,160	0,080

где
х’_i
— среднее
для разряда значение ошибки радиодальномера
X‘
при
но­вом
начале отсчета.

и
Приближенное значение статистического
среднего ошибки X‘
равно:

m*_x’
==0,26

Второй статистический
момент величины X‘
равен:

a₂*=
= 447,8
откуда
статистическая дисперсия:

D*_x’=α*₂
– (m*_x’)²
= 447,7

Переходя к прежнему началу
отсчета, получим новое статистическое
среднее:

m_x*
= m_x’*,
60 = 60,26

и ту же статистическую дисперсию:

d*_x=d*_x’=447,7.

Параметры закона
равномерной плот­ности определяются
уравнениями:

=
60,26;
₌
447,7.

Решая эти уравнения
относительно 
и ,
имеем:

а23,6; 
96,9,
откуда

На рис.
7.5.3. показаны гистограмма и выравнивающий
ее закон равномерной плотности /(х).