Уравнение с частными производными

П.4. площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Например:Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=2 end{array} right. $$ Строим графики.

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin{gather*} S=int_{0}^{2}left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac{x^2}{2}-2cdotfrac{x^3}{3}right)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac{16}{3}=frac83=2frac23 end{gather*} Ответ: (2frac23)

П.5. примеры

Пример 1. Найдите определенный интеграл:a) (int_{-2}^{3}x^2dx) $$ int_{-2}^{3}x^2dx=frac{x^3}{3}|_{-2}^{3}=frac{3^3}{3}-frac{(-2)^3}{3}=9-frac83=frac{19}{3}=6frac13 $$ б) (int_{0}^{fracpi 3}sinxdx)

$$ int_{0}^{fracpi 3}sinxdx=(-cosx)|_{0}^{fracpi 3}=-cosfracpi 3 cos0=-frac12 1=frac12 $$ в) (int_{1}^{2}left(e^x frac 1xright)dx) $$ int_{1}^{2}left(e^x frac 1xright)dx=(e^x ln|x|)|_{1}^{2}=e^2 ln 2-e^1-underbrace{ln 1}_{=0}=e(e-1)

ln 2 $$ г) (int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx) begin{gather*} int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx=frac12cdotfrac{(2x-3)^3}{3}|_{2}^{3}=frac16((2cdot 3-1)^3)-(2cdot 2-1)^3)=frac{5^3-3^3}{6}=\ =frac{125-27}{6}=frac{98}{6}=frac{49}{3}=16frac13 end{gather*} д)

(int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}) begin{gather*} int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}=frac13cdot ln|3x-2| |_{1}^{3}=frac13left(ln 7-underbrace{ln 1}_{=0}right)=frac{ln 7}{3} end{gather*} e) (int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x 4}}) begin{gather*} int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x 4}}=frac13cdotfrac{(3x 4)

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3 3, xinleft[-1;1right])

б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])

в) (f(x)=frac4x 3, xinleft[2;6right])

(f(x)=frac4x 3) – гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin{gather*} S=int_{2}^{6}left(frac4x 3right)dx=(4cdot ln|x| 3x)|_{2}^{6}=(4ln 6 18)-(4ln 2 6)=\ =4(ln 6-ln 2) 12=4lnfrac62 12=4ln 3 12=4(ln 3 3) end{gather*}
г) (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}, xinleft[1;4right])
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x 2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x 2Rightarrow x^2-5x 4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1,\ x=4 end{array} right. $$
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x 2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin{gather*} S=int_{1}^{4}left((x-2)-(x^2-4x 2)right)dx=int_{1}^{4}(-x^2 5x-4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3} frac{5x^2}{2}-4xright)|_{1}^{4}=left(-frac{64}{3} 5cdotfrac{16}{2}-4cdot 4right)-left(-frac13 frac52-4right)=\ =-frac{63}{3} 24 1,5=4,5 end{gather*} Ответ: 4,5
б) (y=e^{frac x2}, y=frac1x, x=2, x=3)

Функция сверху: (f(x)=e^{x/2})
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin{gather*} S=int_{2}^{3}left(e^{x/2}-frac1xright)dx=(2e^{x/2}-ln|x|)|_{2}^{3}=left(2e^{frac32}-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^{frac32}-2e-ln 3 ln 2=2e(sqrt{e}-1) lnfrac23 end{gather*} Ответ: (2e(sqrt{e}-1) lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1 |x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin{gather*} 3-x^2=1 |x|Rightarrow x^2 |x|-2=0Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ x^2 x-2=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x^2-x-2=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ (x 2)(x-1)=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ (x-2)(x 1)=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow \ left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ left[ begin{array}{l} x=-2\ x=1 end{array} right. end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ left[ begin{array}{l} x=2\ x=-1 end{array} right. end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1\ x=-1 end{array} right. end{gather*}
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1 |x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin{gather*} S=2int_{0}^{1}left((3-x^2)-(1 x)right)dx=2int_{0}^{1}(-x^2-x 2)dx=2left(-frac{x^3}{3}-frac{x^2}{2} 2xright)|_{0}^{1}=\ =2left(-frac13-frac12 2right)-0=frac73=2frac13 end{gather*} Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac{5pi}{4}, x=fracpi 4)

На отрезке (left[-frac{5pi}{4};-frac{3pi}{4}right]) синус над косинусом, далее на (left[-frac{3pi}{4};frac{pi}{4}right]) – косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin{gather*} S=3int_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3(cosx sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}} end{gather*} Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac{3pi}{4} 2pi=frac{5pi}{4}; -frac{5pi}{4} 2pi=frac{3pi}{4}) begin{gather*} -3(cosx sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3left(cosleft(frac{5pi}{4}right) sinleft(frac{5pi}{4}right)-cosleft(frac{3pi}{4}right)-sinleft(frac{3pi}{4}right)right)=\ =-3left(-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}right)=3sqrt{2} end{gather*} Ответ: (3sqrt{2})

Пример 4*. Пусть (S(k)) – это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2 2x-3) и прямой (y=kx 1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

1) Найдем (S(-1)).(k=-1, y=-x 1 )

begin{gather*} S(-1)=int_{-4}^{1}left((-x 1)-(x^2 2x-3)right)dx=int_{-4}^{1}(-x-3x 4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2} 4xright)|_{-4}^{1}=left(-frac13-frac32 4right)-left(frac{64}{3}-24-16right)=-21frac23 42frac12=20frac56 end{gather*} 2)

Решаем в общем виде.Все прямые (y=kx 1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой. Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} kx 1=x^2 2x-3Rightarrow x^2 (2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)

^2 16gt 0 end{gather*} Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_{1,2}=frac{-(2-k)pmsqrt{D}}{2}=frac{k-2pmsqrt{D}}{2} $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt{D}=sqrt{(k-2)^2 16} $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).Площадь: begin{gather*} S(k)

Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_{min}=S(2)=10frac23)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x 3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Находим углы соответствующих прямых.Для (x_1: tgalpha=frac{9}{|x_1|}=frac{9}{4/3}=frac{27}{4}, alpha=arctgfrac{27}{4})Для (x_x: tgbeta=frac{9}{|x_2|}=frac{9}{2/3}=frac{27}{2}, beta=arctgfrac{27}{2})

Ответ: (arctgfrac{27}{4}) и (arctgfrac{27}{2})

Площадь криволинейной трапеции

Пример 1.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми , и

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Пример 2.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой .

Решение:

График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда

Определение. Пусть — первообразная функции на промежутке , числа и , где , принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке .

Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от до эф от икс де икс»). Следовательно,где — произвольная первообразная функции на промежутке .Например, функция является первообразной функции на промежутке . Тогда для произвольных чисел и , где , можно записать:Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали. Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где — некоторая постоянная. ТогдаРавенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница. Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:

1. найти любую первообразную функции на отрезке ;
2. вычислить значение первообразной в точках и ;
3. найти разность .

При вычислении определенных интегралов разность обозначают Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:

Пример 3.

Вычислите

Решение:

Имеем:

Если функция имеет первообразную на отрезке и , то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Действительно,

Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке , то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

1.   где — некоторое число.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и ().

Используя теорему 26.1, можно записать:

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство

Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).

Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми , .Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 26.9, а); — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 26.9, б).

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и , можно вычислить по формуле

Пример 4.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Решив уравнение , устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и .

Тогда искомая площадь

Уравнение с частными производными