Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи Реферат

Исходный полный конус

Прежде чем говорить об усеченном объекте и его характеристиках, следует рассмотреть исходную фигуру, из которой он получается.

Пусть имеется некоторая замкнутая кривая, лежащая в произвольной плоскости. Это может быть окружность, эллипс или любая другая линия с плавными перегибами. Пусть также существует отрезок, который не лежит в плоскости указанной замкнутой кривой. Если в пространстве зафиксировать некоторую точку, а затем соединить ее с любой точкой на кривой, то получится образующая будущего конуса.

Это геометрическое построение позволяет получить объемную фигуру конус, которая состоит из следующих элементов:

  1. Вершина — зафиксированная точка в пространстве, которая не лежит в плоскости замкнутой кривой.
  2. Коническая поверхность, образованная в результате перемещения отрезка — образующей, или генератрисы.
  3. Основание — часть плоскости, ограниченная исходной замкнутой кривой. Последняя является направляющей, или директрисой, для образующей.

Конус. площади поверхностей. объём

В данном видеоуроке мы напомним, какое геометрическое тело называют конусом. Вспомним о сечениях конуса. Повторим формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и его объёма. Поговорим об усечённом конусе.

Напомним,
что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.

Назовём
элементы конуса.

Осью
конуса называется прямая вращения.

Основание конуса
– круг радиуса Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
который равен катету треугольника вращения.

Радиус
конуса Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
это радиус его основания.

Вершина
конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.

Образующая
конуса Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все
образующие конуса равны между собой.

Высота конуса
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота
конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

В
конусе радиус основания Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
высота Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи и
образующая Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи связаны
следующим соотношением:

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Сечение
конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими
конуса.

Осевым
сечением
конуса называется сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось.

Осевое
сечение
конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Боковую
поверхность конуса
, как и боковую поверхность цилиндра,
можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой
боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Обратите
внимание, радиус сектора равен образующей Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи конуса,
а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Площадь
боковой поверхности
конуса можно вычислить по следующим
формулам:

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,

где
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
длина окружности основания, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
радиус основания, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
образующая.

Площадь
полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и
площади его основания.

Рефераты:  Система смазки двигателя ВАЗ 2106, Конструкция автомобилей ВАЗ 2106, ремонт, эксплуатация, обслуживание, характеристики, ремонт своими руками, вазовская шестерочка, купить шестерку, купить шоху, тюнин

Тогда
площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^

 Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,

где
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
радиус основания конуса, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
его образующая.

Объём конуса
равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Тогда
его можно вычислить по формуле:

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,

где
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
радиус основания конуса, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
его высота.

Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую
поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает
конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая
(нижняя) называется усечённым конусом.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усечённым
конусом
называется часть конуса, ограниченная его основанием
и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось,
высотуУсеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
радиусы оснований Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи и
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
образующуюУсеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи.
Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности
площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса
можно найти по следующим
формулам:

 Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи ,
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи 

Объём
усечённого конуса
можно вычислить по следующим формулам:

 Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,

где
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи и
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
площади оснований, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
высота усечённого конуса;

или
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи,

где
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
высота усечённого конуса, Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи и
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи –
радиусы верхнего и нижнего оснований.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая
. Радиус основания конуса равен Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см,
высота конуса равна Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см.
Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.

Решение.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Задача
вторая
. В конус вписана правильная треугольная пирамида с
площадью основания Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см2
и углом наклона бокового ребра к основанию, равным Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи.
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Задача
третья
. В равносторонний конус с радиусом основания, равным Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачисм,
вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с
высотой Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см
так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого
основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём
параллелепипеда. В ответе запишите значение Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи.

Решение.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Задача
четвёртая
. Длины радиусов оснований и образующей усечённого
конуса равны соответственно Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см,
Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см
и Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи см.
Вычислите его высоту.

Решение.

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Усеченный конус ℹ️ определение, способы построения геометрической фигуры, вывод формул для площади поверхности и объема, пример решения задачи

Круглая прямая фигура

Получить этот конус несложно. Необходимо взять прямоугольный треугольник, поставить его на один из катетов и вращать вокруг второго катета, который будет являться осью, а его длина — высотой для объемной фигуры. Катет, на котором стоит треугольник, является радиусом круглого основания конуса.

С полученной фигурой легко работать при решении геометрических задач, поскольку для нее существуют довольно простые формулы для площади поверхности и объема.

Площадь S фигуры состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что сумма этих частей выражается в виде такой формулы: S = pi*r2 pi*g*r, где число pi=3,14, r — радиус окружности в основании, g — длина генератрисы. В разрезе на плоскости коническая поверхность представляет собой сектор круга радиусом g.

Рефераты:  Реферат: Платон и Аристотель -

Объем рассматриваемого конуса выражается следующей формулой: V = 1/3*pi*r2*h. Здесь h — высота фигуры. Можно заметить, что величина V ровно в три раза меньше аналогичной для цилиндра, имеющего то же основание, что и конус. Записанную формулу может вывести любой школьник, который знаком с интегральными вычислениями.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

  1. Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
  2. Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
  3. Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
  4. Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую. В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 S2 Sb = pi*r12 pi*r22 pi*g*(r1 r2).


Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Пример решения задачи

Известно, что сумма площадей двух оснований усеченного прямого круглого конуса составляет 100 см2. При этом радиус большего основания в 2 раза превышает радиус меньшего. Необходимо найти площадь боковой поверхности фигуры, высота которой составляет 15 см.

Из данных задачи можно определить значение каждого радиуса. Для этого необходимо ввести следующее равенство: r1 = 2*r2. Тогда для суммы площадей оснований можно записать выражение:

S = S1 S2 = pi*r12 pi*r22 = 4*pi*r22 pi*r22 = 5*pi*r22.

Откуда получается:

r2 = (S/(5*pi))^0,5 = (100/(5*3,14))^0,5 = 2,52 см.

Тогда радиус большего основания будет равен r1 = 2*r2 = 5,04 см.

Чтобы найти генератрису g усеченного конуса, следует рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован двумя катетами: высотой h и отрезком r1-r2. Его гипотенуза является генератрисой, она равна:

g = ((r1-r2)^2 h2)^0,5 = (2,522 152 )^0,5 = 15,21 см.


Поскольку известны все необходимые линейные параметры усеченной фигуры, можно воспользоваться известной формулой для площади ее боковой поверхности:

Sb = pi*g*(r1 r2) = 3,14*15,21*(2,52 5,04) = 361,1 см2.

Таким образом, усеченный конус является фигурой вращения, поверхность которой состоит из оснований и боковой части. Чтобы воспользоваться формулами для определения его площади и объема, необходимо знать любые три его линейных параметра.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

  • из круглого прямого конуса;
  • с помощью трапеции.
Рефераты:  Управляемые и неуправляемые процессы антикризисного развития - Менеджмент - KazEdu.kz

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной. Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена.

Второй способ получения усеченного конического объекта связан с использованием фигуры трапеции прямоугольного типа. Такая трапеция представляет собой два параллельных отрезка, которые имеют длины a и b. Они соединены одним перпендикуляром h и косым отрезком g.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей.

Существующие виды

В геометрии известны несколько видов конуса. Каждый из них определяется характером директрисы и расположением относительно нее генератрисы. Выделяют следующие виды фигуры:

  1. Круглый прямой. В его основании лежит круг, а высота (длина перпендикуляра, опущенного из вершины) соединяет центр окружности и вершину.
  2. Эллиптический прямой. В его основании находится эллипс, а проекция вершины попадает точно в центр основания.
  3. Наклонный произвольного вида. Высота в этом конусе всегда меньше, чем длина отрезка, соединяющего вершину и геометрический центр основания.

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:


V = 1/3*pi*h*(r12 r22 r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 S2 (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков.

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий