Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Реферат

1 Местные системы координат Республики Беларусь

Согласно хранящемуся в Госкартгеоцентре Каталогу МСК, содержащему
первоначально установленные ключи, местные системы координат созданы в 256
населенных пунктах: данные об их числе и образующих системах представлены в
таблице 2.1, где цифры в скобках после наименования системы обозначают
«3-градусная» или «6-градусная».

Таблица 2.1

Местные системы координат на территории Республики Беларусь

Область

Всего МСК

Образующая система

СК-42(6)

СК-42(3)

СК-63

Спецзона*

ОРП**

1

Брестская

39

12

11

12

4

2

Витебская

60

9

20

19

11

3

35

5

16

6

1

8

4

Гродненская

35

10

12

10

3

5

Минская

55

28

2

10

8

6

Могилевская

41

8

13

12

7

8

Итого по РБ

265

72

94

69

8

42

*    Создана специальная координатная зона

**  Ориентирование МСК выполнено по ориентирному пункту

Анализ приведенных данных показывает, что:

·    подавляющее большинство местных координатных систем (63,5%) создано в
3-градусной координатной зоне или со специально установленным осевым
меридианом, и, следовательно, характеризуется весьма незначительными
погрешностями, вызванными способом проецирования;

·    значительное число систем (42 населенных пункта или 15% всех МСК)
установлено с использованием ориентирного пункта, т.е. без явного указания
координатной зоны образующей системы – ее осевого меридиана и протяженности по долготе
(3˚,6˚).

Следствием преимущественного использования при установлении МСК
ортогональных преобразований является сохранение в ней искажений, обусловленных
влиянием метода построения образующей координатной системы. Правда, эти
искажения минимальны, так как выбиралась та образующая система, осевой меридиан
которой ближе к центру территории.

Нужно отметить, что на территории республики активно, особенно с
созданием в 1947 году топографо-геодезического предприятия, продолжались работы
по сгущению государственной геодезической сети, восстановлению отдельных
пунктов взамен уничтоженных, переносу их с одного счета на другое и пр., что
приводило к изменению геометрии сети и нарушению ее целостности.

Поэтому
указанные работы в необходимых случаях сопровождались уточнением ключей связи
местных систем координат и государственной системой. Однако уточненные значения
параметров преобразования, из-за отсутствия четкой системы мониторинга МСК, не
доводились до потребителей, которые в этих условиях либо использовали первоначально
установленные и не соответствующие действительности ключи Каталога МСК, либо
определяли их самостоятельно.

В настоящее время РУП «Белаэрокосмогеодезия» полностью
подготовила Государственную систему геодезических координат 1995 года (СК-95) к
использованию.

ГЛАВА3.СИСТЕМЫВЫСОТ

Превышения между точками земной поверхности, полученные геометрическим
нивелированием, строго говоря, зависят от пути нивелирования. Причиной этого
является непараллельность уровенных поверхностей между собой, что обусловлено
распределением плотности внутри Земли, ее формой и др.

Рисунок 6 – Геодезические, ортометрические и нормальные высоты

Ортометрическая высота точки земной поверхности отсчитывается
относительно поверхности геоида (отрезок M’ M (рис. 6)), а для ее определения
требуется наличие значения силы тяжести на отрезке M’ M, что практически
недостижимо. Ортометрическая система высот используется в США, Канаде,
Австралии, Бельгии, Дании, Финляндии, Ирландии, Италии, Нидерландах,
Португалии, Испании, Швейцарии, Турции, Японии и некоторых других странах.

Нормальная высота точки земной поверхности отсчитывается относительно
поверхности квазигеоида (отрезок M”M, рис.6), поверхность которого с
помощью соответствующего математического аппарата определяется вполне
однозначно относительно эллипсоида и геоида.

Такая система принята в России,
странах СНГ и некоторых европейских странах (Швеции, Германии, Франции и др.).
Поверхность квазигеоида, строго говоря, не является уровенной поверхностью
гравитационного потенциала, однако ее можно определить по результатам измерений
на физической поверхности Земли.

Геодезическая высота (H)
связана с нормальной (Hγ) и ортометрической (Hg) высотами следующей зависимостью
(3.1):

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве
где
Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

По
современным данным, высоты геоида над общим земным эллипсоидомменяются в
пределах от -107 до 87 м., среднее квадратическое значение высоты геоида в
целом по земному шару составляет примерно 30 м.

Поверхности геоида и квазигеоида на территории Мирового океана между
собой совпадают; в равнинных районах расстояние между ними составляет несколько
сантиметров, в а высокогорных районах могут достигать 2,0-2,5 м.

Отсчет высот во всем мире выполняется относительно уровнемерных постов, в
которых средний многолетний уровень моря отождествляется с поверхностью геоида.
Несовпадение средних уровней морей вызывает различия в разных странах систем
отсчета высот, что должно учитываться при уравнивании планетарных геодезических
построений.

Современные технологии и состояние технических средств снимают остроту
вопроса относительно эффективности использования ортометрических и нормальных
высот, поскольку в настоящее время находят применение цифровые модели
планетарного геоида (квазигеоида), создаваемые по результатам анализа
возмущений (уклонений от расчетных) орбит искусственных спутников Земли и
данных наземных гравиметрических измерений.

Так, в настоящее время на основе
спутниковых наблюдений разработано несколько моделей геопотенциала, например, GRIM5 (Gravity Field Model), П32002/360 (2002 г., Россия), EGM96 (Earth Gravitational Model, 1996 г.) и другие, причем модель геопотенциала EGM96 рекомендована Международной
службой вращения Земли для обработки астрометрических и геодезических
наблюдений.

Точность определения с помощью превышений геоида (квазигеоида) над
эллипсоидом характеризуется средней квадратической погрешностью порядка 0,3 м.
Такие модели широко используются программным обеспечением спутниковых
приемников, обрабатывающими комплексами и цифровыми фотограмметрическими
системами (например, PHOTOMOD).

Имеются проекты, реализация которых позволит определить гравитационные
аномалии с пространственным разрешением 100 км. и относительной ошибки порядка
10-8, при этом высоты геоида (квазигеоида), как ожидается, могут быть найдены с
ошибкой не более 1 см [5].

Декартовы координаты. курсовая работа (т). математика. 2021-08-26

Введение

координата декартовый
плоскость геометрия

Аналитическая геометрия изучает свойства
геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого
лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный
Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).

Метод координат представляет собой глубокий и
мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов
методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки,
прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся
декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из
школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые
сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина
характеризуется не только своим численным значением, но и направлением.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной
точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие
от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых
характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства
векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и
изучить их взаимное положение.

Целью настоящей работы является исследование
кривых второго порядка. Задачи работы:

) изучение декартовых координат на прямой, на
плоскости, в пространстве;

) характеристика основных понятий векторов и
действий над ними;

) решение простейших задач методом координат;

) выявление геометрического смысла линейных
неравенств с двумя переменными;

) анализ видов кривых второго порядка.

Декартовы координаты на прямой, на
плоскости и в
пространстве

Прямую линию с указанным на ней направлением,
началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому
действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число,
которое называется координатой данной точки.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Здесь числа х21>0,
х3<0.

х3, х1, х2, х –
координаты точек Q, F,
N, M
соответственно. Записывают:

Q (х3), F
(x1),
N(x2),
M (x).

Точки F
и N ограничивают
отрезок FN. Очевидно,
его длина | FN
| = х2– х1. Две взаимно
перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей
масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна
из осей – ось абсцисс Ох, другая – ось ординат Оу.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Каждой точке плоскости соответствует
единственная пара чисел х, у.

x, у называют
координатами точки М и записывают М (х, у).

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

В пространстве декартова прямоугольная система
координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с
общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат
Оу и ось аппликат Оz. Каждая
точка пространства М имеет координаты х, у, z.
Записывают:

М (х, у, z).

Вектор. Основные понятия. Действия над
векторами

Вектором называется направленный отрезок

Будем обозначать вектор либо
символом Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, где точки
А и В – начало и конец направленного отрезка, либо символом Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (малая
латинская буква с чертой).

Для обозначения длины вектора будем
использовать символ модуля:

|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве| – длина вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Рефераты:  Перегонка при атмосферном давлении

|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве| – длина вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Вектор называется нулевым (или
нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет
определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|
= 0.

Векторы называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве коллинеарны,
то записывают: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве||Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Два вектора называются равными, если
они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Понятно, что вектор можно переносить
параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии
векторы являются свободными.

Векторы называются компланарными,
если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Рассмотрим векторы, совпадающие с
ребрами куба.

Векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеи Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве коллинеарны, но не равны.

Векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,
компланарны, так как лежат в параллельных гранях.

Векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве равны: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

В квадрате MNKZ векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, имеют
одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то
можно утверждать, что Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Рассмотрим векторы, совпадающие со
сторонами ромба ABCD.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Здесь Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, но Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве¹Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве¹Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, хотя длины
векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:

|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве| = |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|
= |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве| = |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|.

Линейными операциями над векторами
называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве двух
векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве называется
вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, идущий из
начала вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве в конец
вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве при
условии, что начало вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве совпадает с концом вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.
Записывают:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 1.Рис. 2.

Это правило называется
“правилом треугольника” (рис. 1). Для сложения двух векторов можно
использовать “правило параллелограмма” (рис. 2): если векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеи Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве приложены к
общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве этих
векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из
общего начала векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Сумму трех, четырех и большего числа
векторов можно построить по “правилу многоугольника”: начало каждого
последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов
является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 3

На рис. 3 построена сумма четырех
векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Три вектора в пространстве можно
складывать по “правилу параллелепипеда”: если на трех векторах Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, как на
ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала
данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 4

Произведением Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве на число Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространственазывается
вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,
коллинеарный вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, имеющий
длину, равную |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|×|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|, одинаково с вектором Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве направленный
в случае Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве>0 и противоположно с ним
направленный в случае Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве<0. Записывают:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Когда Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=0, для любого вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве произведение
Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве равно
нуль-вектору:

×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Когда Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1, 1×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Когда Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= -1, (-1)×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=-Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – вектор, противоположный вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Итак, при умножении вектора на число
получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, где Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – число,
имеем два коллинеарных вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве иДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве. Иначе говоря, равенство Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве является
условием коллинеарности векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве иДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Для примера рассмотрим векторы,
совпадающие со сторонами треугольника АВС: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Рис.

Требуется выразить через векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, где О –
точка пересечения медиан треугольника.

Известно, что точка О пересечения
медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
Поэтому Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=2/3×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, где точка D – середина
стороны СВ.

Но вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1/2×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1/2×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=-1/2×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

В треугольнике САD вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= -1/2×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Искомый вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=-2/3(-1/2Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве)= 1/3×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве-2/3×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Итак, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1/3×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве-2/3×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве. Заметим, что разность векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве можно
рассматривать как сумму вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и вектора, противоположного вектору
Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (-1)×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве =Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (-Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве).

В нашем примере из треугольника САD можно
получить вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1/2×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Если вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве умножить на
число 1/|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|, получим так называемый
единичный вектор вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (или орт
вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве), который
обозначается Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве0. Итак, орт
вектора или единичный вектор вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве0=1/|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве/|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|; |Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве0|=1.

Принято единичные векторы на
координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве соответственно.

Линейные операции над векторами
обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем
некоторые из них:

) Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – перестановочный закон сложения;

) Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве)=(Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве) Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – сочетательный закон сложения;

) Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×(Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве) = (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – сочетательный закон умножения на
число;

) Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×(Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве)=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве;

) (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – распределительные законы.

Рассмотрим координаты вектора, для
чего перенесем вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве параллельно
самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец
вектора – точка М.

Координатами вектора назовем координаты его
конечной точки.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 5

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 6

Так как координатами точки на
плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве задается
двумя координатами.

Записывают: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х, у)
(рис. 5).

В пространстве вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве задается
тремя координатами х, у и z.

Записывают: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х, у, z) (рис. 6).

Нетрудно показать, что при сложении векторов
складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число
все его координаты умножаются на это число.

Если даны координаты векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х1,
у1, z1), Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х2,
у2, z2) и

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

то координаты векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве легко
находятся:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х1 х2; у1 у2;
z1 z2),

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(x1-x2; y1-y2; z1-z2),

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×х1; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×у1; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×z1).

На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина
вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|=|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

В плоском случае достаточно считать
третью координату z равной нулю.

Если вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве ограничен
двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2,
у2, z2), то легко
найти координаты самого вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис. 7

На рис. 7 видно, что вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве можно
получить как разность векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, где т. О – начало координат:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х1, у1, z1), Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=2,
у2, z2).

Тогда координаты вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве равны
разности соответствующих координат конца и начала вектора:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х21; у21;
z2-z1).

Расстояние между точками А и В
вычислим как длину вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве:

|АВ|=|Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве|=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Углом между векторами Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве назовем
наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с
другим.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Записывают (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве)=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Покажем угол между вектором Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и
координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве. Пусть Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Очевидно, что cosДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Обозначим через Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве углы между
вектором Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и
координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда

cosДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, cosДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, cosДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Эти формулы определяют направляющие
косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве.
Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:

cos2Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве cos2Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве cos2Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1.

Это равенство легко получить,
учитывая, что длина вектора

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

В школьном курсе рассматривается еще
одна операция над векторами – скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух
векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними.

Обозначают скалярное произведение
векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеи Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве символами

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве).

Таким образом, по определению

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×cosДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

где Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – угол между векторами Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Скалярное произведение обладает
следующими свойствами:

. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

. (Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

. Если векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве взаимно
перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=0.

Условие Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=0 поэтому и
называют условием перпендикулярности векторов.

. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве. Отсюда получают правило для
вычисления длины вектора:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Если известны координаты векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, то легко
показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных
координат векторов, т. е. если Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х1, у1, z1) и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х2,
у2, z2), то

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве1×х2 у1×у2 z1×z2

Условие перпендикулярности тогда
примет вид:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеx1×x2 y1×y2 z1×z2=0

Пусть, например, даны векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (2, -1,
2), Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (1, 0, 4),
Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (3, 4,
-1).

Найдем скалярные произведения

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= 2 × 1 (-1) × 0 2 × 4 = 10,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=2 × 3 (-1) × 4 2 × (-1) = 0,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве×Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= 1 × 3 0 × 4 4 × (-1) = -1.

Мы обнаружили, что векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве образуют
прямой угол.

Используя определение скалярного
произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Простейшие задачи метода координат

При решении чисто геометрических задач
используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или
вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку,
делящую данный отрезок.

Рассмотрим эти задачи.

. Расстояние между точками

А (х1, у1, z1)
и В(х2, y2,
z2):

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Эта же формула позволяет вычислить
длину вектора.

. Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве даны две точки
М1 и М2. Говорят, что точка М делит отрезокМ1М2.
в отношении Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, если Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Точка М делит отрезок М1М2
в отношении Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Точка N делит тот
же отрезок М1М2 в отношении Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Видимо, при Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствемы получим
середину отрезка.

Если известны координаты начала М1
и конца М2 отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М1М2
в отношении Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, находят по
формулам:

Рефераты:  Технология и оборудование процесса измельчения и классификации золотосодержащей руды - Автоматизация процесса измельчения и классификации золотосодержащих руд

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

где т. М11,
у1, z1), т. М22,
у2, z2), т. М(х,
у, z).

Координаты середины отрезка получают
при Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Например, если т. А(-2, 3, 4), т.
В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

z=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Итак, точка С(-1, 2, 1) является
серединой отрезка АВ.

. Угол между векторами вычисляется
по формуле

cos Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

. Условие перпендикулярности двух
векторов: х1×х2 у1×у2 z1×z2=0.

. Условие коллинеарности двух
векторов: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Если векторы коллинеарны, то их
соответствующие координаты пропорциональны.

Пример № 1.

Даны три вершины параллелограмма:
А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D,
противолежащую вершине В.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Для решения этой задачи
воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь,
делятся точкой пересечения пополам.

Пусть точка М – точка пересечения
диагоналей параллелограмма АВСD.

Тогда точка М – середина отрезка АС;
координаты точки М найдем из формул:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Итак, т. М(Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Но точка М является серединой и
отрезка ВD. Поэтому
верны равенства:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Из этих равенств находим координаты
вершины D(-4, -1).

Проверить правильность решения
можно, построив все вершины параллелограмма.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Пример № 2.

Найти центр тяжести треугольника,
зная координаты его вершин: А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1). Центр тяжести
треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой
медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка М делит отрезок СD в отношении
Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=2, а точка D – середина
стороны АВ. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Середина стороны АВ – точка D(-2;2).
Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке
М(-2,1).

Построим все точки и убедимся, что решение
верно.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Пример № 3.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого
находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D
(3; 1; 4), есть квадрат.

Квадратом является четырехугольник, у которого
стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.

Запишем координаты векторов, совпадающих со
сторонами:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)

Проверим, выполняется ли условие
перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=1×(-2) 2×(-1) (-2)×(-2)=-2-2 4=0,
что и доказывает, что Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(-2)×(-1) (-1)×(-2) (-2)×2=2 2-4=0,
т. е. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(-1)×2 (-2)×1 2×2=0, т. е. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=2×1 1×2 2×(-2)=0, т. е. Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Мы установили, что стороны четырехугольника
взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Итак, АВСD – квадрат.
Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на
плоскости, а в пространстве.

Уравнение линии. Прямая на плоскости

Одним из важнейших в аналитической
геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.

Всякая линия есть множество точек
плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это
условие записывается в виде уравнения.

Определение. Уравнение F(х, у)=0
называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и
у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки,
не лежащей на этой линии.

В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0
определяет эту линию.

Пример № 4.

Показать, что уравнение х2 у2=r2 определяет
окружность.

Окружностью называется множество
точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть
М(х, у) – любая точка плоскости. Расстояние этой точки от начала координат Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Тогда уравнению х2 у2=r2
удовлетворяют только те точки, для которых Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеr, т. е. точки, лежащие на окружности
радиуса r с центром в
начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеr.

Итак, уравнению х2 у2=r2
удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты
никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х2 у2=r2 определяет
окружность при любом r>0.

Очевидно, уравнение (х-х0)2 (у-у0)2=r2 определяет
окружность с центром в точке С(х0, у0) радиуса r>0.

Например, уравнение х2 (у 1)2=1
определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).

Простейшей линией является прямая на плоскости.
Рассмотрим различные виды уравнения прямой.

1. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку М000) перпендикулярно
данному вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (А; В).

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Чтобы вывести уравнение прямой,
возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.

В любом случае вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,
ограниченный данной точкой М000) и
произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен
данному вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве(А; В).
Найдем координаты вектора Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и запишем
условие перпендикулярности векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве^Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространствеÞА × (х – х0)
В × (у – у0)
= 0.

Полученному уравнению удовлетворяют координаты
любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на
прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).

А × (х – хо)
В ×
(у – у0) = 0 (1)

– уравнение прямой, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве(А; В)
называют нормальным вектором.

В уравнении (1) раскроем скобки:

А × х В ×
у (-А ×
х0 – В × уо) = 0

Обозначим число – А ×
х0 – В × у0 = С. Уравнение
прямой примет вид:

А × х В ×
у С = 0 (2)

Его называют общим уравнением
прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Заметим, что уравнение прямой –
уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии
прямую линию называют линией первого порядка.

. Уравнение прямой, проходящей через
данную точку М00, у0) параллельно данному
вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(m; n).

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Пусть М(х, у) – любая точка прямой.
Тогда векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве всегда
коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве; у-у0)
и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(m; n):

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (3)

уравнение прямой, параллельной
вектору Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(m; n).

3. Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки М11, у1) и М22,
у2)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Для любой точки М(х, у) прямой
векторы Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве=(х – х1;
у – у1) и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (х2
х1; у2 1) всегда коллинеарны, а потому

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (4)

искомое уравнение.

. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выведем уравнение прямой, проходящей
через точку М00, у0) под углом Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве к оси
абсцисс Ох.

Угол Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве между прямой и осью Ох называют
углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой
называют тангенс угла Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве наклона
этой прямой, т. е. k =tgДекартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Для любой точки М(х, у) прямой
отношение Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстверавно Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, поэтому Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или у-у0=k×(х-х0).

Получили уравнение прямой,
проходящей через данную точку М00, у0) в
заданном направлении

у-у0 = k × (х-х0)
(5)

Здесь Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве – угловой коэффициент прямой. Угол
наклона Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Если точка М0 – точка
пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х0= 0, у0=
b. Уравнение
принимает вид: у-b=k×x, или

уравнение прямой с угловым
коэффициентом, b – начальная ордината прямой.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

. Угол между прямыми

Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:

А1×х В1×у С1=0
и А2×х В2×у С2=0

Так как Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве= (А1;
В1) и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве –
нормальные векторы данных прямых, то угол Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве между прямыми равен углу между
нормальными векторами и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Если две прямые заданы уравнениями с
угловым коэффициентом: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве, то угол Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве между ними
удобнее вычислять по формуле:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

доказательство которой легко усматривается из
рисунка:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Если прямые перпендикулярны, то 1 k1 × k2 = 0 и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Если прямые параллельны, то

k1 = k2.

Пример № 5

Проверить, что четыре точки
А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и
составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.

В трапеции две стороны параллельны,
а две – нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).

Уравнение АВ: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или у 2=-3(х 2).

Уравнение ВС: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или у-1=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Уравнение CD: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или у-7=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Уравнение DА: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или у-1=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Сравним угловые коэффициенты
полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

ВС и DA – основания
трапеции, АВ и СD – боковые стороны ее.

Высота трапеции перпендикулярна
основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве. Составим
уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,-2) с угловым коэффициентом k=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве по формуле
(5):

у 2=Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве или 5х 3у 16=0.

Рефераты:  Мемория. Лев Щерба, 3 марта 2016 – аналитический портал ПОЛИТ.РУ

Построением убедимся в правильности
решения.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Обзор кривых второго порядка

Прямая на плоскости является линией первого
порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными.
Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых
координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего
четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

В п. 4 было получено уравнение окружности с
центром С(х0, у0) и радиусом r:

(х-х0)2 (у-у0)2
= r2
(7)

Из этого уравнения можно получить так называемое
общее уравнение окружности: x2 y2 m×x n×y p=0.
Заметим, что коэффициенты при х2 и у2 в уравнении
окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х2 и у2
будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять
эллипс.

Простейшее (каноническое) уравнение эллипса
имеет вид:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (8)

Чтобы построить такой эллипс,
отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А1(a, 0), А2(-а,
0), В1(0, b), В2(0, -b), называемые
вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А1А2|=2а и |В1В2|=2b называют
осями, а числа а и b – полуосями эллипса (а>0, b>0). Из уравнения (8) эллипса
видно, что эллипс – фигура, симметричная относительно обеих осей и начала
координат. Для точного построения эллипса используем определение:

Эллипсом называется множество точек
плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы F1(c, 0) и F2(-c, 0)
построим, учитывая,

что Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (при а>b).

По определению сумма Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве остается
постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Если центр симметрии эллипса
расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны
координатным осям, то уравнение эллипса:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (9)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

В школьном курсе гипербола
рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Рассмотрим более общий случай
гиперболы, начав с ее определения:

Гиперболой называется множество
точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек
есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет
вид:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве (10)

Как видно, коэффициенты при х2
и у2 имеют разные знаки.

Числа а и b (а>0 и b>0) называются полуосями
гиперболы.

Точки А1(а,0), А2(-а,0),
В1(0,b) и В2(0,-b) называют
вершинами гиперболы.

Построим прямоугольник со сторонами,
проходящими через вершины А1, А2, В1, В2
параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют
асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве и Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Через вершины А1(а, 0) и
А2(-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных
осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии – точки
О(0,0) – они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Если же центр симметрии гиперболы
расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны
координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве,

Укажем, что гипербола является и
графиком дробно-линейной функции Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве.

Параболу в школьном курсе
рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах2 bх с.

Выделяя из квадратного трехчлена
полный квадрат, это уравнение легко привести к виду

(х-х0)2=±2р×(у-у0)
(11)

Здесь точка С(х0, у0)
– вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0)
называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует
параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус – вниз.

Рис.

Можно рассмотреть параболу с осью
симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид

(у-у0)2 = ±2р × (х-х0).
(12)

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Рис.

Отметим, что уравнение параболы
содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 11), либо у (формула
12).

Дадим определение, которое часто
фигурирует как определение параболы. Параболой называется множество точек
плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.

Заключение

В основу метода координат положены две идеи:

–    введение переменной величины.

Переменная – величина, которая принимает
различные значения. Чаще всего обозначается буквами латинского алфавита: х, у, z
и т.д.

Аргумент функции – независимая переменная. Это
произвольный элемент из области определения. Обозначается обычно буквой х
латинского алфавита. Зависимость переменной у от переменной х называется
функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При
этом используют запись у = f
(х);

–    использование прямолинейных (декартовых)
координат.

Возьмем две взаимно перпендикулярные
координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения
координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох –
осью абсцисс, а Оу – осью ординат. Т.о., мы задали систему координат.
Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной
плоскостью.

Возьмем точку А координатной плоскости и
проведем через нее прямые l1
и l2,
параллельные координатным осям. Абсциссой точки А называется число, которое
соответствует точке пересечения прямой l1
и оси абсцисс. Ординатой точки А называется число, которое соответствует точке
пересечения прямой l2
и оси ординат. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки А в
прямоугольной декартовой системе координат.

В заключение обзора кривых второго порядка
отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания.
Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы
тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса,
гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности,
оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов,
антенн, телескопов. Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид
инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т.д.,
убеждают в широком применении кривых второго порядка.

Список использованной литературы

.Беклемишев
Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 2-е изд. – М., 2004.

.Беклемишева
Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А.
Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. – 2-е изд. – М., 2007.

.Бугров
Я.С. Высшая математика. Задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – 2-е изд. –
М., 2021.

.Бугров
Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М.
Никольский. – 2-е изд. – М., 2004.

.Высшая
математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М., 2008.

.Декарт
Р. Избранные произведения.  М., 1950.

.Ильин
В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 2-е изд. – М., 2021.

.Кривич
М., Ольгин О. Мастерские науки. – 2-е изд. – М., 2004.

.Кузнецов
Б.Т. От Галилея до Эйнштейна. – 2-е изд. – М., 2006.

.Лятоер
Д.А. Декарт.  М., 1975.

.Меркулов
И.П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. – 2-е изд. – М.,
2021.

Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)

Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные  оси OX, OY, OZOOOXOYOYOZx, y, zx, y, z“прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.

Расстояние между двумя точками находится по формуле:

Рис. 3

Вместо произвольных базисных векторов overrightarrow{l_1}overrightarrow{l_2}overrightarrow{l_2}overrightarrow{l_3}overrightarrow{o}overrightarrow{o}overrightarrow{b}overrightarrow{a}overrightarrow{a}OX, OY, OZортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор overrightarrow{a}ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор overrightarrow{a}overrightarrow{OA}A (x, y, z)A (x, y, z)

(3)

Очевидно, что произвольная точка A(x, y, z)overrightarrow{OA}overrightarrow{OA}(x, y, z)

Решение задач

Задача

Убедиться, что система векторов l_1, l_2, l_3 образует базис и найти координаты вектора overline{a} образует базис и найти координаты вектора overline{a} в этом базисе, если известны в прямоугольной системе координаты этих векторов: overline{l}_{1} = (-1, 4, -1), overline{l}_{2} = (4, -1, 1), overline{l}_{2} = (4, -1, 1), overline{l}_{3} = (8, 1, 0), overline{a} = (9, -9, 5), overline{a} = (9, -9, 5).

Решение

Векторы overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3} образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация lambda_{1}overline{l}_{1}   lambda_{2}overline{l}_{2}    lambda_{3}overline{l}_{3} = 0 образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация lambda_{1}overline{l}_{1}   lambda_{2}overline{l}_{2}    lambda_{3}overline{l}_{3} = 0, где overline{0} = (0, 0, 0),  только тогда, когда lambda_{1} = lambda_{2} = lambda_{3} = 0,  только тогда, когда lambda_{1} = lambda_{2} = lambda_{3} = 0

Проверим это при помощи свойств с темы базиса:

lambda_{1} * (-1, 4, -1)   lambda_{2} * (4, -1, 1)   lambda_{3} * (8, 1, 0) = (0, 0, 0) to(-lambda_{1}, 4lambda_{1}, -lambda)   (4lambda_{2}, -lambda_{2}, lambda_{2})   (8lambda_{3}, lambda_{3}, 0 * lambda_{3}) = (0, 0, 0)to(lambda_{1}   4lambda_{2}   8lambda_{3}, 4lambda_{1} - lambda_{2}   lambda_{3}, - lambda_{1}   lambda_{2}) = (0, 0, 0).

Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:

left{ begin{aligned} -lambda_{1}   4lambda{2}   8lambda {3} = 0\ 4lambda_{1} - lambda_{2}   lambda_{3} = 0\ -lambda_{1}   lambda_{2}   0 * lambda_{3} = 0 end{aligned} right

Определитель этой системы:

Delta = begin{vmatrix} -1&4&8\ 4&-1&1\ -1&1&0 end{vmatrix} = -4   32 - 8   1 = 21neq{0}. right

Все вспомогательные определители Delta{lambda}_{1} = Delta{lambda}_{2} = Delta{lambda}_{3} = 0,  так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера lambda_{1} = lambda_{2} = lambda_{3} = 0,  так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера lambda_{1} = lambda_{2} = lambda_{3} = 0, и, таким образом, векторы overline{l}_{1},  overline{l}_{2}, overline{l}_{3} – линейно независимы, а значит, создают новый базис.

Обратим внимание, что элементы столбцов определителя Delta совпадают с соответствующими координатами векторов overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3} совпадают с соответствующими координатами векторов overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3}.

Вывод. Если определитель, созданный из координат векторов overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3}, не равен нулю, тогда эти векторы линейно независимы, то есть создают базис.

Теперь найдём координаты вектора overline{a} в базисе overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3} в базисе overline{l}_{1}, overline{l}_{2}, overline{l}_{3}, то есть найдём числа alpha, beta, gamma, такие, что выполняют равенство:

overline{a} = alphaoverline{l}_{1}   betaoverline{l}_{2}   gammaoverline{l}_{3}.

Повторяя предыдущие преобразования, у нас получается:

(9 - 9,5) = alpha * (-1,4, -1)   beta * (4, -1,1)   gamma * (8, 1, 0) to(-alpha, 4alpha, -alpha)   (4beta, -beta, beta)   (8gamma, gamma, 0) = 9, -9,5)to(-alpha   4beta   8gamma, 4alpha - beta   gamma, -alpha   beta) = (9, -9,5).

Приравнивая соответствующие координаты в левой и правой частях равенства, получим систему, которую удобно решать алгебраическим методом:

left{ begin{aligned} -alpha   4beta   8gamma = 9\ 4alpha - beta   gamma = -9\ -alpha   beta = 5 end{aligned} right

 Таким образом, решив данную систему получим вектор overline{a} = -overline{l}_{1}   4overline{l}_{2} - overline{l}_{3}

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий