Как вычислить двойной интеграл в полярной системе координат?

Выдержка из текста

Понятие интеграла пронизывает всю современную математику. И не только это — в науках физического и технического циклов находят применение различные вариации интеграла. Стоит раскрыть любую книгу, относится к точным наукам, как встретится знак интеграла и предложения, включая слово «интеграл».

Более того, в последнее время вошли в обиход такие термины, как, например, «интегральная схема», «экономическая интеграция», которые прямого отношения к интеграла не имеют, но смысловую нагрузку сохраняют и находят широкое распространение в литературе и разговорной речи.

Начала интегральных методов прослеживаются в трудах Архимеда, пользовался ими при решении многих геометрических задач и доказательстве теорем. В книгах по истории математики соответствующие разделы так и называются — «Интегральные методы Архимеда». И в этом нет никакого преувеличения, хотя открытие интегрального исчисления, время, когда впервые било произнесено слово «интеграл», отделяют от работ Архимеда огромный временной интервал в 2000 лет.

Для перехода от методов Архимеда алгоритму интегрального исчисления, применимого к обширному классу задач, математика должна была пройти долгий путь, на котором была создана буквенно символика, построено учение о функциональных зависимости, разработанный аналитический аппарат для их выражения.

На этом пути к работам Архимеда обращались дважды: в арабском средневековом Востоке и в Европе XVI-XVII вв. Но все попытки значительно продвинуться вперед заканчивались неудачей. Только создание буквенного исчисления Внетом и аналитической геометрии Декартом и Ферма, а также успехи физических наук Нового времени обеспечили возможность разработки анализа бесконечно малых.

Совершенствование методов Архимеда и создание интегрального исчисления, его развитие осуществлялись в работах Кеплера, Кавальери, Торричелли. Паскаля, Ферма, Валлиса, Роберваля, Барроу, Ньютона, Лейбница, братьев Якоба и Иоганна Бернулли (И.Бернулли принадлежит термин «интегральное исчисление», он первый прочитал, курс лекций по интегрального исчисления для маркиза Лоппиталя), Эйлера, Коши, Римана.

В определенный период своего развития математика подошла к такому рубежу, когда назрела необходимость решения насущных задач, связанных с фундаментальными открытиями. Одними и теми же задачами занимались часто многие математики, и установить приоритет, указать, кто первый сделал то или иное открытие, затруднительно.

Какова предпосылка для перехода к полярным координатам?

Очевидно, что основной предпосылкой является наличие окружности (ей).  Подчёркиваю, что это лишь предпосылка, а не обязательное правило! То есть, область интегрирования может быть ограничена окружностью (ями), но переход к полярным координатам только усложнит решение, а то и вообще заведёт его в тупик. И такие примеры встречаются реально.

Итак, площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:
полярное уравнениелуч, исходящий из полюса и совпадающий с верхней частью прямой Примечание: если рассматривать обобщенные полярные координаты, то уравнение  определяет полярную ось и её продолжение (всю ось абсцисс), а уравнение  – всю прямую В рассматриваемой задаче дана «хорошая» прямая Прямая на плоскостивспоминаем, что угловой коэффициент прямой тригонометрические таблицыв помощь).

Можно ли обойтись без чертежа?

Об этом я уже говорил на 1-м уроке: если условие задачи его не требует – то можно. Правда, область интегрирования всё равно придётся представить мысленно. Но даже если у вас есть такие способности, то демонстрировать их совсем не обязательно – потому что тяжелА жизнь вундеркинда =)

И житейская мудрость заключается в том, что чертёжи, по возможности лучше выполнять. Однако у нас другой случай, когда наоборот – будет подозрительно смотреться построенный график линии 4-го порядка. Знаниями убивать тоже никого не надо, и в этой связи мы постараемся отделаться чисто аналитическим решением.

Поскольку область интегрирования, как правило, ограничена, то уравнение полярной розы. Ситуацию помогла бы прояснить область определения функции, но её нахождение тоже затруднено ввиду навороченности уравнения.Что делать? Подумать о возможности использования полярной системы координат. Причём подумать самостоятельно – условие нам совершенно не намекает на способ решения. Поскольку в уравнении присутствуют знакомые «икс квадрат» и «игрек квадрат», то применение полярных координат действительно выглядит перспективно. По формулам перехода формулы понижения степени:




(в силу периодичности  и ) кривые, и график функции одинаковых лепестков, как, собственно, и предполагалось.Таким образом, достаточно рассмотреть промежуток удвоить. Луч радара, исходя из полюса

1) Понеслась нелёгкая:

2) Подставляем результат предыдущего пункта во внешний интеграл, не забывая про «двойку» перед ним (удвоение «лепестка»):

На первом шаге удвоили интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля отрезку. Чтобы «не таскать всё за собой», подынтегральную функцию удобно преобразовать отдельно. Приведём её к пригодному (и выгодному!) для интегрирования виду:

Если где-то возникли непонятки, посмотрите тригонометрические формулы. А если появились вопросы по самим принципам решения подобных интегралов, пожалуйста, посетите уроки Интегралы от тригонометрических функций и Сложные интегралы.

Завершаем вычисления:

Ответ: (см. Математические формулы и таблицы), и полученное значение площади

Пример 6

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
Решение: область интегрирования здесь очень простая – это часть кольца между концентрическими окружностями четвёртой координатной четверти (о чём нам сообщают неравенства


Порядок обхода области предельно понятен:

Можно было взять промежуток табличным значениемфункцию двух переменныхвместо «икс» подставляем вместо «игрек»

После подстановки максимально упрощаем выражение, но здесь этого особо не потребовалось.

Таким образом:
когда проводится интегрирование по переменной «эр», то переменная «фи» считается константой (и наоборот). Поэтому константу

Считаем:

2)

Ответ: поверхность, которую задаёт эта функция двух переменных, в 1-й и 4-й четвертях расположена над плоскостьюобъём цилиндрического бруса, который ограничен плоскостью тройных интегралов.

Завершим занятие несложным примером для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

Примерный образец чистового оформления задания в подвале.

Иногда область интегрирования приходится разбивать на две части и находить сумму двух двойных интегралов в полярных координатах, желающие могут потренироваться на Примерах № 8, 9 урока Площадь в полярных координатах. Кроме того, много дополнительных задач по теме можно раздобыть на странице готовых решений по высшей математике.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Список использованной литературы

1. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. — М.: Флинта, МПСУ, 2021. — 368 c.

2. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т.

3. Часть

2. Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. — М.: ЛИБРОКОМ, 2021. — 256 c.

3. Будаев, В.Д. Математический анализ. Функции одной переменной: Учебник / В.Д. Будаев, М.Я. Якубсон. — СПб.: Лань, 2021. — 544 c.

4. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. — М.: ИЦ Академия, 2021. — 336 c.

5. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. — СПб.: Лань, 2021. — 308 c.

6. Лейнартас, Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М. Кытманов. — М.: Юрайт, 2021. — 607 c.

7. Лоссиевская, Т.В. Математический анализ: несобственные интегралы: Учебное пособие / Т.В. Лоссиевская. — М.: МИСиС, 2021. — 61 c.

8. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике. Т.

2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента: Часть

2. Дифференциальное исчисление векторного аргумента / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. — М.: ЛКИ, 2021. — 224 c.

9. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике.Т.

2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. Часть

1. Радя: Учебное пособие / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. — М.: ЛКИ, 2021. — 224 c.

10. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. — М.: БИНОМ. ЛЗ, 2021. — 208 c.

11. Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. — М.: Флинта, Наука, 2021. — 168 c.

12. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2021. — 164 c.