Основные теоремы дифференциального исчисления

Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим
достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального
исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их
ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа
бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё
лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний
человечества.

Однако появление анализа бесконечно
малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки.
Оно в действительности было завершением длительного процесса,
внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении
элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно
малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были:
наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику
переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей
древних, особенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление
квадратур, кубатур, определение центров тяжести,  нахождение касательных,
экстремалей и т.д.

8.  Основные
свойства определённого интеграла.

Теорема 1.      Пусть с –
промежуточная точка интервала [а,в] (а < с <
в). Тогда имеет место равенство

                       
f(х)dх =    f(х)dх    f(х)dх,

                      если
все эти три интеграла существуют.

Доказательство: Разобьём [
а,в
] на
п
частичных интервалов [
а,х₁
],
[
х₁,х₂
], …, [
х_п–1в
] длиной соответственно D
х₁
,
D
х₂
, …, D
х_п
так, чтобы
точка
с
была точкой деления. Пусть, например,
х_т  с
т п
).
Тогда интегральная сумма

                      å f(ai)Dхi   

 соответствующая интервалу [
а,в
], разобьётся на две суммы:

å f(ai)Dхi = å f(ai)Dхi = å f(ai)Dхi

соответствующие
интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при
неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала Dхi, то есть, при max
Dхi® 0, будем иметь

f(х)dх
=    f(х)dх    f(х)dх,Теорема 2.      Постоянный
множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть

                        k
f(х)dх = k  f(х)dх.   

k fхdх = lim k fa₁х₁k fa₂х₂
…
k fa_пх_п
] =

=
lim
k fa_iх_i.

Но так как, согласно одному из свойств предела,

lim
k fa_iх_i = k lim fa_iх_i, lim
fa_iх_i =   f(х)dх  k f(х)dх = k lim
fa_iх_i = k   f(х)dх

Теорема
3.      Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких
непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов  от этих
функций.

[f1(х)
f2(х) – f3(х)]dх =  
f1(х)dх     f2(х)dх 
–   f3(х)dх

f₁х
)
f₂х
) –

f₃хdх lim f₁a_idхf₂a_idх f₃a_i
)]D
х_i == lim
f₁a_iх_i lim f₂a_iх_i lim f₃a_iх_i =

=   f1(х)dх 
   f2(х)dх  –   f3(х)dх

Теорема 3. (о
среднем значении определённого интеграла)

f(х)
непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

  
f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство:  Так как
функция  f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего
наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в].
произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных
интервалов DiдлинойDхi =
х f(ai)
³ т – хi–1(i = 1, …, п).

Так как  f(ai) ³ т при любом ai, то 

fa_iх_iтDх_i

откуда            å

fa_iх_i т х_i

или                 å

fa_iх_i тв – а

так как åDхi = Dх1 Dх2 … Dхп = в – а.

Так как, далее, f(ai)£ т, при любом ai, то

fa_iх_i Мх_i

а потому         å

fa_iх_i М х_i,

то есть,           å f(ai)Dхi £ М(в – а).

Таким образом, имеем

                      т(в
– а) £ å f(ai)Dхi £ М(в – а).

max Dх_i® 0, получим
неравенства

                      т(в
– а) £   f(х)dх
£ М(в – а)

    f(х)dх

                               
(в – а)

а,в], принимающей в этом [а,в]
все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями,
следует, что отношение

                                 
f(х)dх

                                 
(в – а)

можно принять за значение  f(с)
функции  f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в]
(т £ f(с)£ М).

                      (   f(х)dх)
/ (в – а) = f(с)

или

f(х)dх =  (в – а)f(с)

13. Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х)
и j(х) непрерывны
вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,

                        F(х)
= f(х) j(х).

Тогда               F’(х)
= f(х) j’(х)
f’(х) j(х).

F’хdхFх
)| 
,

fх
)
j’(
хf’х
)
j(
хdхfх
)
j(
х
)|  ,

откуда                f(х)
j’(х)dх = f(х)
j(х)| –   f’(х)
j(х)dх

Примеры.

1)  х cos
х dх  

Положив
fх
) =
х, х
)
=
sinх
  получим:

                            
х cos х dх = х sin х| –   sin х dх = –2 

2) 

                          
ln х dх.

Положив
fх
) =
ln х, х
) =
х
  получим:

                          ln х dх = х ln х
] –  
хdхх
)
=

                        =
[х ln х]  – [х]  = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1

9.  Геометрический смысл определённого
интеграла.

Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
непрерывной кривой 
уfх
), снизу – интервалом  [
а,в
]
оси О
ха хв
) и с
боковых сторон – прямыми
ха, х = в,
равна

                      S =
lim fa_iх_i

Но, по определению,

                        
fхdхlim fa_iх_i

                      S =   f(х)dх 

Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график
функции у = f(х)  располагается над осью Ох, определённый
интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если
кривая располагается под осью Ох, то сумма

fa_iх_iаАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый
интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной
трапеции, ограниченной интервалом  [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной
кривой  у = f(х) и отрезками прямых х = а, х =
в, равными f(а) и f(в).

1.  
Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы
Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное
исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей
и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к
глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными
предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Следует особо упомянуть об одном
интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и
«О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы
сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг
оси эллипса, параболы или гиперболы.

В терминологии Архимеда
«прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна
полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения
«О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент
какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же
сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно
также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него
другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что
описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной
телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером
метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения
разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным
телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше,
а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения.

_п и нижних v_п
и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ® ¥.
Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения.
Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:

                          1/2  sin
j dj = 1,      sin j dj = – cos a
1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих
понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления.
Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных
геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот
же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры.

Итак, дано тело вращения АВС и
телесная (объёмная) величина Е>0.
Делим ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры,
суммы объёмов которых, соответственно обозначим, Von и Vвn.

Теперь предположим, что на данном
рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его
объём. В таком случае

V_оп
= p
hа²
p
h(х₁)²
h(х₂)²
h(х_п-1)²
=

                        = phå (хk)2, (х0 =
0)

Задача сведена к суммированию
квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования,
эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

Так как  х2/а2
у2/в2 = 1,  то  х2 = а2/в2(в2
– у2)  и  далее каждого сечения:                               (х1)

                        (х2)2
= а2/в2(в2 –(2h)2),

                        …………………………,

х_п-1²а²в²в²
п
–1)
h²

откуда             Vоп
= åph(хk)2
= (phа2)/в2[пв2
– h2åJ2], где

J – последовательные
натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил
геометрические оценки вида      (
п³h²
)/3 < å(J
h²п
1)
³ h³
)/3

откуда (так как
пh = в
)

                        (
в³
)/3 < å(J
h²h в³
/3
в³пв³п² в³п³

что до известной степени
эквивалентно оценке для ò
х2dх

из этих оценок получается

Vоп
= p(а2/в2)h
[пв2 – h2(п3/3)] = pа2в(1–1/3)
= 2/3pа2в

Аналогично     Vвп< 2/3pа2в.

Но так как согласно лемме, Vоп
– Vвп< Е,
то  искомый объём сегмента

                        V < 2/3pа2в,

то есть, равен удвоенному объёму
конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.

Единственность предела
доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.

Приведённый пример показывает, что
в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в
первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до
известной степени суммам Дарбу.

2.  
От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

Первые значительные попытки
развития интеграционных методов Архимеда были предприняты в XVII в. одним из
первых видных учёных, стремившихся к возрождению и развитию интеграционных
методов, был Иоганн Кеплер.

1612 г. был для жителей
австрийского города Линца, в котором жил тогда Кеплер, исключительно урожайным,
особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как
практически определять их объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей,
которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных
бочек», вышедшая в свет в 1615 г.

Кеплер вычислил площади плоских
фигур и поверхностей и объёмы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел
на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими
кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц,
суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но
площадь или объём которой ему известен.

Методы Кеплера в определении
объёмов тел вращения, были нестрогими. Многие учёные посвятили свои работы усовершенствованию
оперативной стороны этого предприятия. Наибольшую известность приобрела
геометрия неделимых, изобретённая Кавальери. Делом его жизни, имевшим
наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых.

Метод неделимых изобретён для определения
размеров плоских фигур и тел.

Как фигуры, так и тела
представляются составленными их элементов, имеющих размерность на единицу
меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведённых параллельно некой
направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно
много.

Они заключены между двумя касательными, параллельными регуле. В
геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой
плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две
касательные плоскости, параллельные регуле.

Эти утверждения практически
эквивалентны современным умозаключениям типа: даны две фигуры, ограниченные
осью х, прямыми х = а и х = в
и соответственно у1 =  f1(х)  и  у2
=  f2(х). (рис 7).

Отношение площадей

                        S1/S2
= å у1k /
å у2k
=    f1(х)dх /    f2(х)dх   
   

Если у1k / у2k
= а = const, для любого k, то и S1/S2
= k.

Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое
больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате
проведения диагонали (рис. 8).

Введём для краткости обозначения:
АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в,
ST = z. Тогда х = в z, у = в – z
и сумма квадратов частей неделимых х2 у2
= 2в2 2z2.

Суммируем все неделимые, обозначив
сумму квадратов неделимых символом [ ]:

[AEC] [CGE] = 2[ABFE] 2[BCM]
2[FEM].

Заметим, что

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE],

что нетрудно понять, вообразив над
каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности.
Следовательно, [ACE] = 1/4[ACGE] 1/8[ACE] 1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

                            х2dх
= 1/3   а2dх   

или иначе:

limап²²

2
²
…
п²
)]/
па²
=

                        =
lim k²п³
= 1/3.

                         хпdх
, для п = 1, …, 9. 

3.  
Теорема Паскаля.

Среди последователей Кавальери
самыми видными учёными, подготавливавшими создание интегрального и
дифференциального исчисления, были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль.

Методы Валлика, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655),
развивались вслед за методом неделимых Кавальери. Валлик продвинулся
значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач
Валлик по существу вычислял определённые интегралы от некоторых других
алгебраических функций;
у
Валлика также впервые встречается в чётком
виде арифметизированный предельный переход. При этом Валлик исходит уже не из
примитивного понятия всех линий, а из суммы å

fх_iх_i.

Он рассматривает площадь (определённый интеграл) как общий предел верхних и
нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней хr,
или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у = хr,
где r – рациональное число, П.Ферма занимался ещё в 1644 г. позже
Ферма изложил общую теорию всех различных случаев.

Ещё более чётко понятие
определённого интеграла выступает в трудах Б.Паскаля. все его усилия были
направлены на уточнение метода неделимых. Попытка уточнения состоит в том, что
он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых
бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами,
ограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (то есть сумму вида åуdх).

Для примера рассмотрим следующую
теорему из «Трактата о синусе четверти круга» (1658) Паскаля:

Сумма синусов какой–нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 9) равна отрезку
основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части,
отмеченные точками из которых из которых проводятся синусы DI. Точки
пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками Е; из
последних затем опускаются перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль указывает,
что

                        DI .
EE = RR . AB  (1)

Действительно (рис. 10), из
подобных прямоугольников DIA и  EKE (ÐЕЕК
= ÐDAI) следует:

                        AD/DI =
EE/EK

Ввиду того, что AB = AD, получаем
равенство (1).

«Я утверждаю, — пишет после этого
Паскаль, — что сумма синусов DI каждого умноженного на одну из равных дуг DD,
равна прямой АО умноженной на радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой
DD, Паскаль получает в левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой
произведение АВ на сумму отрезков RR, то есть, на АО. Итак, теорема доказана.
Отождествление дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает.

Чтобы перевести доказательство
Паскаля на современный язык введём соответствующую систему декартовых
координат, обозначим «синус DI» через у, элемент дуги DD – через ds, дифференциал
независимого переменного – через dх, радиус АВ – через r. Тогда
равенство (1) можно записать так:

                        уds =
rdх

                            уds
=    rdх. (2)

Более сложный интеграл, стоящий в
левой части этого равенства, сводится таким образом к более простому интегралу
правой части, равному rx, а для целой четверти r2.

Положим r = 1 и введём угол DAB = Ð ADI = j. Тогда (рис. 10)

                        S = rj = j,
у = DI = AD cos j
= cos j, х = sin
j.

Равенство (2) даёт:

                           cos j dj = х = sin j.

На рассмотренном выше DЕЕК Лейбниц построил своё
дифференциальное исчисление и назвал его характеристическим.  

4.  
«О глубокой геометрии» Лейбница.

С основными достижениями математики XVII в. Лейбниц познакомился в
начале 70–х гг. этого столетия, когда под вниманием голландского учёного Х.
Гюйгенса изучил, кроме его работ, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др. два
года спустя после опубликования мемуара 1684 г., 1–го печатного труда Лейбница 
по дифференциальному исчислению, появился его новый мемуар «О глубокой
геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была первая печатная
работа по интегральному исчислению. Основным понятием для Лейбница была сумма
актуально бесконечных малых треугольников
уdх,
на которые разбивается
криволинейная фигура, то есть, определённый интеграл. В этом же мемуаре впервые
появляется не только знак      ,  но и запись    
уdх
, причём Лейбниц
предупреждает, что не следует забывать писать под знаком интеграла множитель
dх

Лейбниц, исходя из
«характеристического» треугольника С катетами dх и dу (разности
абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds (бесконечно
малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к дуге), приходит к
равенству (дифференциальному уравнению)

                     рdу = хdх,
где р – поднормаль (отрезок IA, рис. 10)

«Если, — пишет он, — обратить это
разностное (дифференциальное) уравнение в суммирующее, то будет

                           рdу
=    хdх.

Но из того, что я изложил в своём
методе касательных, явствует, что

                        1/2 dх2
= хdх;

следовательно
,
и обратно:

                        1/2 х2
=   хdх,

ибо
у
нас суммы и разности или    и
d
  взаимно
обратны, как в обычном исчислении степени и корни».

Таким образом, исходя из понятия
определённого интеграла, Лейбниц приходит к понятию функции F(х)
первообразной (или примитивной) для данной функции f(х)  так, что

                        F’(х)
= f(х), или dF(х) =f(х)dх.  

Отсюда и заключение о том, что
дифференцирование и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями.

6.  
 Дифференциальные методы.

В математике XVII в. наряду с
интегральными методами складывались и методы дифференциальные. К
дифференциальным методам мы отнесём те, в которых содержатся элементы будущего
дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач,
которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования.

Накопление элементов
дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло у Ферма. В
1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных
значений f(х) .

Ферма составил уравнение [
fх h
) –
fх
)] /
h

= 0 и после преобразований в левой части полагал
h
= 0. Вопреки мнению
позднейших исследователей, которые видели в этом идеи исчисления бесконечно
малых, в действительности Ферма нашёл это условие и аналогичное 

                        [f(у)
– f(х)] / [у–х] = 0

Так же близок к дифференциальному
исчислению метод Ферма отыскания касательных к алгебраическим кривым.

На малой дуге MN
алгебраической кривой f(х) = 0 путём проведения секущей
SMN  строится «характеристический» D
MNP.

D
MNP подобен D MRS.  

Отсюда SR = (MR . MP)
/ PN, или в более привычных нам символах SP = [f(х)h] / f(х h)
– f(х).

Затем Ферма переходит от секущей к
касательной, полагая х = 0, получая тем самым St = у /
у1. Позднее он  распространил этот метод определения касательных
на случай неявной функции f(х,у) = 0. Полученное им выражение
легко переводится в привычное нам

                        дf / дх
у1(дf / дх) = 0.

Первый в мире печатный курс
дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит
из предисловия и 10  глав. В предисловии даётся краткий исторический обзор
развития нового исчисления.

В 10 главах книги излагаются 
определения постоянных и переменных величин и дифференциала («Бесконечно малая,
часть на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина,
называется её дифференциалом».), объясняются употребляющиеся обозначения dх,
dу и др., выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений,
определяется дифференциальное исчисление к нахождению касательных к кривым, к
нахождению максимумов и минимумов и т.п.

Большими достоинствами книги
Лопиталя являются простота и строгая последовательность изложения, обилие
примеров лёгких, средних и более трудных.

Появление анализа бесконечно малых
революционировало  всю математику, превратив её в математику переменных
величин.    

Литература.

1. Стефан Бонах

«Дифференциальные
и интегральные исчисления».

2. Глаголев А.А., Солнцева Т.В. 
«Курс высшей математики».

3. Глейзер Г.И.  «История математики
в школе».

4. Рыбников К.А.  «История математики».

5. Стройк Д.Я.  «Краткий очерк
истории математики».

6. Шестаков  А.А. Малышева И.А. 
«Курс высшей математики».

7. Хрестоматия по истории математики.

Правило лопиталя

Нахождение пределов, которые требуют “раскрытия неопределенностей” вида Правило Лопиталя. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , причем в этой окрестности g’ (x) ≠ 0 и если


Для неопределенностей вида   или     предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если он существует.

Докажем первую часть этого правила.

Доказательство. Пусть функции f (x) и g (x) на некотором промежутке [a, b]  удовлетворяют условия теоремы Коши и во внутренней точке f () = 0 и g () = 0 . Возьмем на промежутке [a, b] какую-нибудь точку x, отличную от x ≠

где c —точка, находящаяся между x. Поскольку по предположению x стремится к , то и c будет стремиться к , поскольку c находится между и x. Таким образом, если существует  
которые равны. Отсюда следует, что

Замечание. Заметим, что условие о существовании предела производных является существенным.

Например,
Однако применить правило Лопиталя при раскрытии этой неопределенности вида Пример. Вычислить Решение. Подстановка x = 2 в данное выражение дает неопределенность 

Теорема коши

ТЕОРЕМА. Если две функции f (x) и непрерывны на замкнутом промежутке [a, b] и имеют производные f ‘(x) и в каждой внутренней точке этого промежутка, причем в каждой внутренней точке промежутка, то существует по крайней мере одна такая точка с из этого промежутка, для которой выполняется равенство
Доказательство. Построим вспомогательную функциюk определим из условия, что F (a) = F (b), то есть
F (x) непрерывна как сумма непрерывных функций на [a, b] и имеет производную в каждой внутренней точке (a, b), то при этом k

удовлетворяет все условия теоремы Ролля.Итак, существует точка F’ (c) = 0.
Найдем

Формула маклорена

Взяв в формуле Тейлора a = 0, получим формулу Маклорена

где   

Эта формула чаще всего используется для изображения функций.

Пример. Найти формулу Маклорена для функции f (x) = sin x, взяв n = 8.

Решение. Вычислимf (x) = sin x,                f (0) = 0;f'(x) = cos x,                  f’ (0) = 1;f” (x) = –sin x,              f”(0) = 0;f ”’ (x) = –cos x,           f ”’ (0) = 1;f IV (x) = sin x,             f IV (0) = 0.

Заметив, что значение производных дальше повторяются, получим: 
Учитывая, что величина остаточного члена достаточно мала, можем написать приближенную формулу:

Вычисляя синус какого-либо угла, выраженного в градусах, надо сначала преобразовать их в радианы и тогда подставлять в формулу. Примеры на использование подобных формул будут показаны в другом разделе.

Формула тейлора

Важной задачей математического анализа является нахождение значений функций, заданных формулами. Непосредственно мы можем вычислить значения функций, заданных многочленами, или дробно-рациональными функциями. Так, например, найдем значение функций а) y = x² – 5 x 4, при x = 2,   б) x = 2.
Получим y (2) = 2² – 5 ⋅ 2 4 = 2,  
Тогда как значение функции y = sin x, y = ln x найти непосредственно не можем.

В решении этой задачи может помочь формула Тейлора. Установим эту формулу для многочленов.

Формула тейлора для многочлена

Пусть задано многочлен  a. Покажем, что данный многочлен можно записать в виде

найдем значения постоянных x = a в (4.7), получим: 
Продифференцируем (4.7):

Положив в (4.8)  x = a, получим: 

Продифференцируем (4.8):

Положив здесь x = a, получим

Продолжая такие рассуждения, получим:
a справедлива формула:

Пример. Пусть x – 2.

Решение:

Поэтому,

Формула тейлора для произвольной функции

Пусть f (x) — любая функция, непрерывная, имеющая непрерывные производные всех порядков на промежутке a из этого промежутка и любое натуральное число n и составим многочлен:

который будем называть тейлоровским многочленом нашей функции.Считаем, что f (x) не может быть равна
где a и x. Эта формула задает остаточный член

которая называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.