Реферат – Методы решения уравнений в странах древнего мира – скачать бесплатно

Региональная научно-практическая конференция

для молодежи и школьников «Шаг в будущее, Сибирь!»

Тригонометрические уравнения.

Способы выбора корней

Работу выполнила:

Толстых Владислава, ученица 11класса

Муниципальное казённое обще – образовательное учреждение Средне –Муйская средняя общеобразовательная школа Усть – Удинского района Иркутской области

Руководитель:

Исакова Тамара Ивановна, учитель математики, высшей квалификационной категории. МКОУ Средне – Муйская СОШ Усть Удинского района Иркутской области

с. Средняя Муя, 2021год

Содержание  

Аннотация

Актуальность темы: Почему я выбрала тему «Тригонометрические уравнения»?

Почему я выбрала тему «Тригонометрические уравнения»?

Тригонометрические уравнения – это одна из сложнейших тем математики, которая выходит на Единый Государственный Экзамен.  Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и выбирать корни, принадлежащие отрезку. Немаловажно знать, тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в  следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография,  геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

Проблема:

Цель исследования:

Задачи: 

Предмет исследования:

Методы и приемы:

Гипотеза:         Существует две гипотезы:

Выводы:  Выполняя исследовательскую работу

Описание работы

 Введение.

1. Из истории происхождения

 Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон-треугольник) и и μετρειν (метрейн – измерять ) в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Именно эта задача- измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т.е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.

Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н.э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти- и десятиугольника и радиусом описанного круга.

Гиппарх составил первые таблицы хорд, т.е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха (как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или ( в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр- на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям(60′′). Каждую из частей он делил на 60′, каждую минуту на 60′′, секунду на 60 терций (60′′′) и т.д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса (60ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84ч51′10″.Хорду в 120°– сторону вписанного равностороннего треугольника- он выражал числом 103ч55′23″ и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда α)2 (хорда|180-α|)2=(диаметру)2, что соответствует современной формуле sin2α cos2α=1.

«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0° до 180°, которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0° до 90° через каждые четверть градуса.

В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея: «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» (произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели (с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы (или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т.е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы (или разности) двух углов или половины угла.

Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII).

Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ′ ( см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса α– половины центрального угла.

       Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус,                                           точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi  стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).

          Им были известны также соотношения cosα=sin(90°–α)   и sin2α cos2α=r2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами

Средней Азии, Ближнего Востока,  Закавказья(VII-XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.

Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани (Хв.)пришел к выводу, что острый угол ϕ в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°. Точнее говоря, он вычислил длину тени b=a⋅ =a⋅ctgϕ    шеста определенной длины (а=12) для ϕ=1°,2°,3°……

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998), составил аналогичную «таблицу тангенсов», т.е. вычислил длину тени b=a⋅=a⋅tgϕ, отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины ( а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).

Следует отметить, что сами термины «тангенс» (в буквальном переводе- «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс- «первой тенью», тангенс- «второй тенью».

Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10′.

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).

Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге «О треугольниках разных родов», написанной Иоганном Мюллером, более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т.е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.

Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».

На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.

В первой половине XIXв. французский ученый Ж.Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.

Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера (1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.

В своем труде «Введение в анализ» (1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.

Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.

Введя в математику новые функции- тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:

Sinx=x-

Cosx=1-

Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности.

Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н.И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.

«Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

II. Типы  тригонометрических уравнений:

К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем тригонометрическим уравнениям равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения cos 3x=sin; tg(π/2 – 11x) – tg ((3/2)π-5x) = 0; sin 3x sin 5x = sin 4x и т.д. суть тригонометрические уравнения. Уравнения sin x=(1/2)x; cos 2x = – (1/2)x (1/3); tg x = x и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случиться так, что не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(x-6) cos 2x=x-6. Мы видим, что x-6 не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналогически: (x-6) × (2 cos 2x -1)=0, откуда x=6 или cos 2x = (1/2), x=±(π/6) nπ, nϵZ. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. При решении тригонометрических уравнений мы будем пользоваться известными тригонометрическими формулами. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: sin x=′a и cos x=a, где ׀а׀≤1, tg x=a и ctg x=a, где aϵR. Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных видов.

1 тип – простейшие тригонометрические уравнения:

а) уравнения вида sin x=a

Уравнение вида sin x=a может иметь решении только при ׀а׀≤1. Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле: x=(-1)n arcsin a nπ(1), где nϵZ и (-π/2)≤ arcsin a≤( π/2).

Пример.

А) sin(2/3)x=(1/2)

Решение. (2/3)x=(-1)n arcsin(1/2) nπ, (2/3)x=(-1)n( π/6) nπ, x=(-1)n(π/4) (3/2)nπ, nϵZ.

 Ответ: x=(-1)n(π/4) (3/2)nπ, nϵZ.

Пример.

Б) sin(3π/√x)=(-√3/2)

Решение. (3π/√x)= (-1)n 1 arcsin (√3/2) nπ, (3π/√x)= (-1)n 1 (π/3) nπ, (3/√x)= (-1)n 1(1/3) π, √x=(3/(-1)n 1(1/3) π) или √x=(9/3n (-1)n 1), x=(81/((-1)n 1(1/3) π)2), nϵN. Ответ: x=(81/((-1)n 1(1/3) π)2), nϵN.

б) Уравнение вида cos x=a

Уравнение вида cos x=a может иметь решении только при ׀а׀≤1. Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле: x= ±arccos a 2nπ, где nϵZ и 0≤ arccos a≤ π

Полезно знать, что arccos (-a) = π- arccos a.

Пример.

А) cos (5/6)x=(√3/2)

Решение. (5/6)x= ±arccos(√3/2) 2nπ, (5/6)x=±( π/6) 2nπ, x=±( π/5) (12/5)nπ, nϵZ.

Ответ: x=±(π/5) (12/5)nπ, nϵZ.

Пример.

Б) cos(2-3x)=(√2/2)

Решение. cos(3x-2)=(√2/2), 3x-2 = = ±arccos(√2/2) 2nπ, 3x-2=±( π/4) 2nπ, x=(2/3)±(π/5) (2/3)nπ, nϵZ. Ответ: x=(2/3)±(π/5) (2/3)nπ, nϵZ.

в) Уравнение вида tg x=a, aϵR

Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле: x=arctg a nπ, где nϵZ. Полезно помнить, что arctg (-a)= – arctg a.

Пример.

А) tg 2x=√3

Решение. 2x=arctg √3 nπ, 2x=( π/3) nπ, 2x=(3n 1)( π/3),x=(3n 1)( π/6), nϵZ.

Ответ: x=(3n 1)( π/6), nϵZ.

Пример:

Б) tg(2/3x)=-1

Решение. (2/3x)= arctg(-1) nπ, (2/3x)= -arctg1 nπ, (2/3x)=  (-π/4) nπ, (2/3x)=  (-π/4) nπ, (2/3x)=  (4π—1)(π/4), (1/x)= (4π—1)(3π/8), x=(8/(4π—1)3π), nϵZ.

Ответ: x=(8/(4π—1)3π), nϵZ.

г) уравнение вида ctg x=a, aϵ R

Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле: x=arcctg a nπ,(5), где nϵZ и 0< arcctg a <. Полезно помнить, что arcсtg (-a)=π – arсctg a.

При решении простейших уравнений можно использовать тригонометрический круг. Я считаю, что данный способ более рациональный, чем решение тригонометрических уравнений с помощью формулы.

2 тип-уравнения, сводимые к алгебраическим

Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, выходящего только под знак функции.

Тригонометрические уравнение a sin2x b sin x c=0, a cos 3x b cos x c=0; a tg 4 3x b tg2 3x c=0, a ctg2 2x b ctg 2x c=0 уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них соответственно sin x=y, cos x=z, tg 3x=t, ctg 2x= u, получим алгебраические уравнения: ay2 by c=0, az2 bz c=0, at4 bt2 c=0; au2 bu c=0. Решив каждое из них, найдем sin x, cos x, tg 3x, ctg 2x.

Уравнения a sin2x b cos x c=0, a cos2x b sin x c=0, a tg x b ctg x =0 не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:  a cos2x- b cos x-(a c)=0, a sin2x- b sin x-(a c)=0 и a tg x (b/tg x)=0.

При решении уравнений сводимых к алгебраическим необходимо знать формулы:

1) sin x cos x=1; 2)tg a =(sin a/cos a); 3) ctg a=( cos a/ sin a); 4) ctg a=(1/tg a)

5)1 tg2a=(1/cos2a); 6)1 ctg2a=(1/sin2a); 7) 1 cos 2a=2cos2a; 8) 1-cos 2a=2sin2a;

9)tg2a=(2 tga/1-tg2a); 10) sin2a=(2 tga/1 tg2a); 11)cos 2a=(1-tg2a/1 tg2a);

12)sin2a=2sin a cos a; 13) cos2a= cos 2a-sin2a, или cos2a= 2cos 2a-1, или cos2a= 1-2sin2a;

14) Формулы приведения;

Применяем схему :

1. Ведём замену а.
2. Находим корни квадратного уравнения.
3. Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
4. Записываем ответ.

 Пример1: Решить уравнение2 sin2 x sin x – 1  = 0;

2 sin2 x sin x – 1  = 0;

sin x  = а, ׀ а ׀    ≤ 1;  

2а2  а – 1 – 0;

D = 9; а1 = – 1; а2 = 1/2 ;

sin x  = -1;                                                           sin x  = 1/2;

х1 = – п/2  2пn, n € N.                         x2 = (- 1)k п/6   пk, k€ N.

Ответ: – п/2  2пn; (- 1)k п/6   пk,  n, k € N.

Приме 2: Решить уравнение

Т.к. 8 – (–1) (–9)=0, то  

3 тип-однородные уравнения

Уравнения a sin x b cos x=0; a sin2x b sin x cos x c cos2x=0; a sin3x b sin2x cos x c sin x cos2x d cos3x=0 и т.д. называют однородными относительно sin x и cos x. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень. Делением на coskx, где k-степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg x.

Рассмотрим уравнение a sin2x b sin x cos x c cos2x=0(1). Разделим уравнение(1) на cos2x,  получим: a tg2x b tg x c=0(2).При a≠0 (1) и (2) равносильны, так как cos x≠0. Если же cos x=0, то из уравнения(1) видно, что и sin x =0, что невозможно, так как теряет смысл тождество .

При решении однородных уравнений применяем схему:

1. Разделим  обе части уравнения на cos2 x ≠ 0.
2. Ведём замену а.
3. Находим корни квадратного уравнения.
4. Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
5. Записываем ответ.

Пример1. Решить уравнение: 3 sin2 x sin x • cos x = 2 cos2 x;

3 sin2 x sin x · cos x = 2 cos2 x;

3 tq2 x tq x = 2; х ≠ п/2  пn, n € N.

tq x = а;

3а2  а – 2 = 0;

D = 25; а1 = – 1; а2 = 2/3 ;

tq x = – 1;                                   tq x = 2/3;

х1 = –п/4  пn, n € N.                  x2= arctq 2/3  пn, n € N.

Ответ:  –п/4  пn,  arctq 2/3  пn, n € N.

Пример 2. 5 sin x – 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x – 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x – 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 n, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x b sin x cos x c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).

Пример 3. 12 sin2 x 3 sin 2x – 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x 6sin x cos x – 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x cos2 x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x 6 tg x – 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = – /4 n, n = Z, x = arctg 2/5 k, k = Z.

Ответ: x1 = – /4 n, n = Z, x2 = arctg 2/5 k, k = Z.

4 тип- уравнения, решаемые разложением на множители:

При решении уравнений методом разложения нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления  и искусственные приемы. Необходимо так же знать формулы: 1) sin x cos x=1; 2)tg a =(sin a/cos a); 3) ctg a=( cos a/ sin a); 4) ctg a=(1/tg a)

5)1 tg2a=(1/cos2a); 6)1 ctg2a=(1/sin2a); 7) 1 cos 2a=2cos2a; 8) 1-cos 2a=2sin2a;

9)tg2a=(2 tga/1-tg2a); 10) sin2a=(2 tga/1 tg2a); 11)cos 2a=(1-tg2a/1 tg2a);

12)sin2a=2sin a cos a; 13) cos2a= cos 2a-sin2a, или cos2a= 2cos 2a-1, или cos2a= 1-2sin2a;

14)tg(a±b) = (tg a±tg b)/(1±tg a tg b); 15)sin 3a=3sin a – 4sin3a; 16)cos 3 a = 4 cos3a – 3 cos a;

Пример 1.

Пример2.  2 sin3 x – cos 2x – sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x – sin2 x.

(2sin3 x – sin x) – (cos2 x – sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 – sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 – 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) (2 sin2 x – 1) = 0,

(2 sin2 x – 1) • ( sin x 1) = 0.

Ответ: x1 = ± /4 n, n = Z, x2 = – /2 2k, k = Z.

5 тип-уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций

Многие тригонометрические уравнения могут быть приведены к равенству одноименных тригонометрических функций. Такие уравнения решаются на основании условий равенства одноименных тригонометрических функций, т.е. тех условий, которым должны удовлетворять два угла: a и b, если a) sin a =sin b, б) cos a= cos b, в) tg a = tg b.

Теорема I. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий: разность этих углов должна равняться π, умноженному на четное число, или сумма этих углов должна равняться π, умноженная на нечетное число,

Теорема II. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий: разность(сумма) этих углов должна равняться произведению π на четное число.

Теорема II. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий: тангенс каждого из данных углов существует и разность этих углов равна числу π, умноженному на целое число.

6 тип- уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций:

Для решения данного типа применяются формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Sin a sin b= 2 sin((a b)/2) cos((a-b)/2);

Sin a – sin b= 2 sin((a-b)/2) cos((a b)/2);

cos a cos b= 2 cos ((a b)/2) cos((a-b)/2);

cos a – cos b= 2 sin ((a b)/2) sin ((b-a)/2) при b>a;

cos a – cos b= 2 sin ((a b)/2) sin ((a-b)/2) при b<a;>

tg a ± tg b = (sin(a b)/ cos a cos b);

ctg a ctg b = (sin(a b)/ sin a sin b);

ctg a – ctg b = (sin(b-a)/ sin a sin b);

В некоторых примерах прийдется применять формулы:

sin (a±b)= sin a cos b± cos a sin b;

cos (a±b)= cos a cos b± sin a sin b;

7 тип- уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму:

sin (a±b)= sin a cos b± cos a sin b;

cos (a±b)= cos a cos b± sin a sin b;

tg(a±b) = (tg a±tg b)/(1±tg a tg b);

sin a cos b=(1/2)(sin(a b) sin(a-b));

cos a cos b=(1/2)( cos (a b) cos (a-b));

sin a sin b=(1/2)( cos (a-b)- cos (a b));

8 тип-уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Формулы понижения степени:

Sin2t=((1- cos 2t)/2)

Cos2t=((1 cos 2t)/2)

9 тип- уравнения вида a sin x b cos x= c

В уравнении a sin x b cos x= c a, b и c- любые действительные числа. Если а=b=0, а с≠0, то уравнение теряет слысл; если же а=b=с=0, то x- любое действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество. Например, √3 sin x cos x=1. Разделив обе части уравнения на 2, получим (√3/2) sin x (1/2)cos x=(1/2), т.е. sin(x (π/6))=1/2 или cos(x-(π/6))= 1/2. Уравнение sin x cos x=1 можно решать по крайней мере четырьмя способами.  Например, разделив обе части уравнения на √2, получив: (1/√2) sin x (1/√2) cos x= (1/√2), sin(x (π/4))= (2/√2)  и т.д.

Рассмотрим уравнение a sin x b cos x= c, у которого произвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными способами.

1-й способ решения уравнения a sin x b cos x= c – введение вспомогательного угла.

Мы знаем, что если a2 b2=1, то существует такой угол как φ, а= cos φ, b= sin φ или наоборот. Для решения уравнения a sin x b cos x= c вынесем за скобки множителем выражение √( a2 b2). Получим: √( a2 b2)((a/√( a2 b2)) sin x (b/√( a2 b2))  cos x)=c. Поскольку (((a/√( a2 b2)) sin x)2 ((b/√( a2 b2))  cos x))2=1, то первое число (a/√( a2 b2)) можно принять за косинус некоторого угла φ, а второе (b/√( a2 b2))  – за синус того же угла φ, т.е. (a/√( a2 b2))= cos φ, (b/√( a2 b2))  = sin φ. В таком случае уравнение примет вид:         √( a2 b2)( cos φ sin x sin φ cos x)= c или √( a2 b2) sin(φ x), откуда sin(φ x)= (с/√( a2 b2)). Это уравнение имеет решение, если a2 b2=с2, тогда φ x=(-1)n arcsin (с/√( a2 b2)) nπ,      x=(-1)n arcsin (с/√( a2 b2)) nπ- φ, nϵZ. Угол φ находится из равенства tg φ =( sin φ/ cos φ) =(b/a), откуда φ=arctg(b/a). Ответ: x=(-1)n arcsin (с/√( a2 b2)) nπ- arctg(b/a), nϵZ.

Пример: Решим уравнение 12cosx – 5sinx = -13

Решение: разделим обе части уравнения на , получим

cosx – sinx = -1.

Одним из решений системы cos = 12/13, sin = 5/13 является  =arccos(12/13).  Учитывая это, запишем уравнение в виде:
и, применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим

Откуда т.е.

2-й способ решения уравнения a sin x b cos x= c – метод рационализации.

Известно, что если α≠π(2n 1), nϵZ, то sin α, cos α, tg α выражаются рационально через tg(α/2), т.е. sin α=( 2tg(α/2)/1 tg2(α/2)), cos α=(1- tg2(α/2)/ 1 tg2(α/2)), и tg α=( 2tg(α/2)/1- tg2(α/2)).

Метод рационализации заключается в следующем: вводится вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспомогательного неизвестного. Рассмотрим уравнение a sin x b cos x= c, которое можно переписать так: a( 2tg(α/2)/1 tg2(α/2)) b(1- tg2(α/2)/ 1 tg2(α/2))=c. Положим tg(x/2)=t, тогда получим: a( 2t/1 t2) b(1- t2/ 1 t2)=c. Это уравнение – рациональное относительно t. Умножим обе части уравнения на 1 t2≠0 при tϵR, получим: (b c)t2-2at (c-b)=0(2), (D/4)=a2-(c-b)(c b)= a2 b2-с2. Полагаем, что a b≠0 или с≠-b, тогда t1.2=((a±√( a2 b2-с2)/(b c))(3). Значение t- действительные, если a2 b2≥с2.

Если уравнение(2) с=-b, то оно обратится в уравнение первой степени: -2at-2b=0, t=-(b/a), т.е. tg(x/2)=- (b/a), x=-2 arctg(b/a) 2nπ. Выражение для вспомогательного неизвестного t= tg(x/2) теряет смысл при (x/2)= (π/2) nπ, т.е. x=(2n 1)π. Решения уравнения(1) вида x=(2n 1)π (если такие решения существуют) могут быть потеряны. Подставив x=(2n 1)π в уравнение (1), получим a sin(2n 1)π b cos(2n 1)π = c; a·0 b(-1)=c; с=-b. Том случае уравнение (1) имеет  множество решений вида x=(2n 1)π, nϵZ.

1. Если a2 b22, то уравнение (1) не имеет решений, так как уравнение (2) не имеет действительных корней.
2. Если a2 b2≥с2 и с≠-b, то из уравнения(3) найдем: x=2arctg ((a±√( a2 b2-с2)/(b c)) 2nπ, nϵZ.
3. Если с=-b, то уравнение (1) имеет два множества решений: x=(2n 1)π и x=-2 arctg 2nπ, nϵZ.

3-й способ решения уравнения a sin x b cos x= c.

Можно возвести обе части уравнения в квадрат и привести его к однородному. Этот способ неприемлем, так как получаются посторонние корни.

4-й способ решения уравнения a sin x b cos x= c.

4. Запишем уравнение в виде: 2a sin(x/2) cos(x/2) b(cos2(x/2)- sin2(x/2))= c(cos2(x/2) sin2(x/2)), т.е. однородное уравнение:(с b) sin2(x/2)- 2a sin(x/2) cos(x/2) (c-b) cos2(x/2)=0 и т. 

 Универсальная тригонометрическая подстановка
Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.

Пример. Решим уравнение

Решение:
Обращение к функции предполагает, что , то есть ,.

По формулам универсальной тригонометрической подстановки исходное уравнение примет вид:

;

;

|:2 

;

Ответ: ,; ,

IV. Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

1 способ: Арифметический(непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения)

X1=-(π/2) 2 πk,kϵƵ

K=0    X=-(π/2) ϵ [-(3π/2); (π/2)]

K=1   X=-(π/2) 2π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

K=-1   X=-(π/2)-2π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

X2=(π/6) 2 πn,nϵƵ

n=0    X=(π/6) ϵ [-(3π/2); (π/2)]

n=1   X=(π/6) 2π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

n=-1   X=(π/6)-2π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

X3=(5π/2) 2 πm,mϵƵ

m=0    X=(5π/2) ¢ [-(3π/2); (π/2)]

m=1   X=(5π/2) 2π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

m=-1   X=(5π/2)-2π  ϵ [-(3π/2); (π/2)]

m=-2   X=(5π/2)-4π ¢ [-(3π/2); (π/2)]

Ответ: -(7π/6); -(π/2); (π/6)

2 способ. Геометрический способ(отбор корней тригонометрического уравнения на числовой прямой )

Отмечаю значения х при n,k,m=0 на числовой прямой и отрезок[-(3π/2); (π/2)]

Измеряю период 2 π с помощью линейки(период функции, входящей в уравнение) и откладываю период с помощью линейки вправо, влево.

Определяю значения углов, принадлежащих данному отрезку.

Ответ: -(7π/6); -(π/2); (π/6)

3 способ: Геометрический способ(отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности)

Выбор корней уравнения 2 sin2x sinx-1=0, принадлежащих отрезку[π/2; 2π] покажу на тригонометрическом круге

Ответ: 5π/6; 3π/2

4 способ: Функционально-графический способ

В одной системе координат строим графики функции у=sin x и у=-1; у=sin x и у=1/2.  Показываем отрезок [-3п/2;п/2]. Находим точки пересечения графиков функций у=sin x и у=-1; у=sin x и у=1/2, входящих в промежутке [-3п/2;п/2].

х= -7п/6; х= -п/2; х=п/6 являются решением уравнения

5 способ: Алгебраический (решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней)

Считаю лучшим способом – это алгебраический (решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней)

4. Практическое применение тригонометрии

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

        Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в  следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография,  геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Приведу несколько примеров из практики, например: тригонометрия в медицине и биологии.

Модель биоритмов

     Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Формула сердца

      В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем – на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных  параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

       Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея “измерения углов” не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

      Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

5. Заключение

Выполняя исследовательскую работу, выяснила какое значение имеют тригонометрические уравнения в жизни человека и как они работают в стране. Рассмотрела способы выбора корней уравнения принадлежащих отрезку из раздела «ЕГЭ по математике» Доказала, что в современном мире прожить без знаний тригонометрический уравнений невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами, уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо знать тригонометрические уравнения. Изучение столь важной и интересной темы дает положительную мотивацию для самообразования

6. Список использованной литературы