Реферат: Построение прямоугольной системы координат –

Перенос начала координат

Пусть точка M плоскости имеет координаты (x, y) в прямоугольной системе координат Oxy. Перенесем начало координат в точку О1 (a, b), где a и b являются координатами точки О1 в старой системе координат Oxy.

Оси О1×1 и О1y1 новой системы координат остаются параллельными осям Оx и Оy старой системы координат (не изменяется направление осей) (рис. 64).

Рис. 64.

Обозначим координаты точки M в новой системе координат через (x1; y1). Выведем формулы, которые показывают связь между старыми и новыми координатами точки M.

Для этого опустим перпендикуляры MM1 на ось Оx,  MM2  на ось Оy, а также перпендикуляры MN1 на О1×1 , MN2 на ось О1y1.

Поскольку OA = a, OM1 = x,

AM₁ = O₁N₁ = x_1, то x = a x₁. Аналогично, найдем равенство y = b y₁ формулы

указывают на связь между старыми и новыми координатами точки при параллельном переносе начала координат.

Расстояние от начала координат

В прямоугольной системе координат в пространстве расстояние от точки

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

Задача пример №17

В прямоугольной системе координат в пространстве постройте точки: а)

Решние:

а) для построения точки х единичных отрезков отметим точку х единичных отрезков отметим точку х единичных отрезков отметим точку х единичных отрезков отметим точку х единичных отрезков отметим точку В (-2; -2; 0). От точки х единичных отрезков отметим точку

Задача пример №18

От точки

Решение:

для точки основания перпендикуляра, проведенного из точки

Задача пример №19

От точки

Решение:

координата

Задача пример №20

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками.

Докажите, что точки

Решение:

Задача пример №21

Найдите координаты точки, расположенной на оси абсцисс и равноудаленной от точек

Решение:

если точка

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Значит, точка

Задача пример №22

Даны точки

Решение:

пусть точка

Задача пример №23

Даны координаты двух вершин треугольника (3; -5; 7) и (-1; 7; -6). Найдите координаты третьей вершины, если центр тяжести треугольника совпадает с началом координат.

Решение:

так как центр тяжести находится в начале координат, то:

Отсюда,

Значит, третьей вершиной треугольника является точка (-2; —2;—1).

Знаки координат точки

Знак координаты точки зависит от того, в каком октанте расположена точка. В следующей таблице показаны знаки координат точек в различных октантах.

В первом октанте все знаки координат положительны, в седьмом октанте все знаки отрицательны.

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка, соединяющих точки

Координаты точки в пространстве

1) Плоскость, проходящая через точку декартовымикоординатами. Расстояние от точки

Координаты точки, делящей отрезок в некотором отношении

Координаты точки

Доказательство:

пусть точка

На основе теоремы о пропорциональных отрезках имеем:

Кооринаты центра тяжести треугольника

Координаты центра тяжести треугольника (точка пересечения медиан) с вершинами в точках

Площадь треугольника

Площадь треугольника с известными координатами его вершин 

Полученное с помощью этой формулы необходимо взять по абсолютной величине. 

Примеры решения задач:

Задача 2.1.

Построить точку 

Задача 2.2 

Точка 

Задача 2.3 

Найти расстояние между точками 

Задача 2.4 

Задана точка 

1) относительно начала координат

2) относительно плоскости 

Решение 

1. Точка 

Задача 2.5 

Показать, что один из внутренних углов треугольника 

Решение. Найдем длины сторон треугольника по формуле (2.2):

Рассмотрим соотношения между числами, что выражают углы сторон данного треугольника: 

то есть Задача 2.6 На оси 

Задача 2.7 

Найти координаты конца 

Решение. В формулах (2.4)

Координаты середины отрезка обозначим через 

Тогда по формуле (2.4) для обозначения этих неизвестных получим два уравнения:

откуда: 

Задача 2.8 

Определить координаты конца отрезка 

Используем формулы деления отрезка в заданном отношении (2.3):

подставим в эти формулы координаты точек 

и решив полученные уравнения, получим: 

Задача 2.9 

Заданы две вершины треугольника: 

Поворот осей координат

Рассмотрим теперь случай, когда новая система координат О₁x₁y₁ получается из старой
системы координат путем поворота ее вокруг начала координат О на угол α  (рис. 65).

Рис. 65.

Пусть координаты произвольной точки M в старой системе координат Оxy является (x, y), а в новой системе координат Оx1y1 есть (x1, y1). Отсчет угла α  поворота проводится в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Из рисунка 65 видно, что OM₁ = x, MM₁ = y, OM₂ = x₁, MM₂ = y₁.  Для отрезков ОA, ОM₁, M₁A, а также для отрезков MM₁, M₁B, MB  справедливы равенства

Из прямоугольных треугольников ОM2A и BMM2 получаем:

Подставим найденные значения OA, AM2, BM, BM2  в равенстве (2.146), и получим формулы перехода от старых координат к новым при повороте осей на угол α:

Теперь, чтобы выразить новые координаты  x1 и  y1 точки М через старые координаты x, y, можно из системы (2.147) двух уравнений с двумя неизвестными найти x1 и  y1.

Поскольку формулы для новых координат можно получить по другому: так как новая система координат получилась из старой системы поворотом на угол α, то старая система получится поворотом осей на угол (-α). Значит в уравнениях (2.147) можно поменять местами старые и новые координаты, заменив однозначно α на (-α), то получим

Пример 1. Какой вид будет иметь кривая  x2 2x – y2 – 4y – 7 = 0, если за новые оси координат взять прямые, которые проходят через точку О1 (–1; –2) и параллельные старым осям координат.

Решение. По формулам (2.145) имеем, что
x и y в уравнение кривой, получим

получим
Новое уравнение линии является равносторонней гиперболой.

Пример 2. Какой вид примет уравнение гиперболы x2 – y2 = 4, если оси координат повернуть на угол (–450)?

Решение. Поскольку гипербола x2 – y2 = 4 является равносторонней, то

y = x и y =–x являются асимптотами этой гиперболы. Примем асимптоты гиперболы за новые оси координат, поскольку они взаимно перпендикулярны, поэтому произведение их угловых коэффициентов равно (–1).

Заменим x и y по формулам (2.147), где α = –45⁰, имеем
x и y в уравнении гиперболы, получим

Это гипербола, которую изучают в школьном курсе математики, и которая задает обратно пропорциональную зависимость.

Полярная система координат

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. До этого положение точки на плоскости мы определяли двумя числами (координатами) в прямоугольной системе координат, но это можно однозначно определить с помощью полярной системы координат. Она состоит из некоторой точки О,  называемой полюсом, и луча ОP, выходящим из этой точки, который называется полярной осью (рис. 66). Кроме этого задается единица масштаба.

Рис. 66.

Пусть точка М — произвольная точка плоскости, а ρ — расстояние этой точки от точки О, а φ — это угол, на который нужно вернуть полярную ось для совмещения с лучом ОM.

Полярными координатами точки M называются числа ρ и φ. Число ρ считается первой координатой и называется полярным радиусом, а число φ — второй координатой и называется полярным углом. Точка M с полярными координатами обозначается так: M (ρ, φ).

Полярный радиус может изменяться в пределах: 0  ≤  ρ < 0 ≤  φ < 2π;  при этом отсчет полярного угла производится от полярной оси против часовой стрелки.

Между координатами точки в полярной системе координат и ее координатами в декартовой системе существует простая связь. Возьмем ось Оx декартовой системы координат за полярную ось полярной системы, а начало декартовой системы примем заполюс полярной системы координат.

Пусть точка M имеет прямоугольные координаты x и y и полярные координаты ρ и φ (рис. 67).

Рис. 67.

Как видно из рис.67, имеем:

Формулы (2.149) выражают прямоугольные координаты через полярные.Если возвести в квадрат обе части равенств (2.149) и сложить, то получим x² y² = ρ², или
Формулы

определяют полярные координаты через декартовы. При определении полярного угла следует учитывать знаки x и y, пользуясь формулами (2.149).

Пример 1. Даны прямоугольные координаты точки (1; 1). Найти ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом положительной полуоси абсцисс.

Решение. По формулам (2.150) имеем
sin x = 1 > 0 и y = 1 > 0.

Рассмотрим некоторые кривые в полярной системе координат.1) Спираль Архимеда.Эта кривая определяется уравнением r = aφ. Вид спирали Архимеда имеет пружина в часах (рис.  68).

Рис. 68.                                                           Рис. 69.

2) Лемниската Бернулли.Уравнение этой кривой в полярной системе координат: r2 = a2 sin 2φ.  График этой кривой изображен на рис. 69.

Преобразование прямоугольных координат

Выводя уравнение эллипса, гиперболы и параболы, мы определенным образом выбирали систему координат для каждой из этих линий. Возникает вопрос, как влияет на формууравнения другое размещения координатных осей? При переходе от одной системы координат к другой системе координат меняются как координаты точек, так и уравнениякривых.

Теперь рассмотрим переход от одной прямоугольной системы координат к такой же путем параллельного сдвига осей, когда изменяется начало координат, а направление осей остается тем же.

Прямоугольная система координат в пространстве

В пространстве возьмем произвольную точку системой правой руки. Если согнуть пальцы правой руки от положительного направления оси

Прямоугольные координаты в пространстве

Прямоугольная система координат складывается из взаимно перпендикулярных осей, что пересекаются в одной точке, которые называются осями координат. Точку пересечения осей называется началом координат и обозначаются буквой  осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. 

На каждой оси выбирается положительное направление, что показывается стрелкой и единица меры. 

Координаты оси  октантами (рис. 2.1). Положение точки абсциссой точки ординатой точки аппликатой точки координатами. 

Координаты точек, что размещены в разных частях, имеют следующие знаки: 

Точки, что принадлежат на координатных плоскостях имеют одну из координат, которая равна нулю.

Между тремя числами Каждой тройке чисел соответствует одна и только одна точка пространства, и наоборот, каждой точки пространства соответствует одна тройка чисел 

Разделение отрезка в заданном отношении

Если точка 

Расстояние между двумя точками

Если точки 

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между точками

Доказательство:

Пусть