Реферат: Развитие понятия числа

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Ростовской области

«Волгодонский педагогический колледж»

Реферат

Тема: «Этапы развития понятий натурального числа и нуля».

Дисциплина: Математика.

Выполнила: Мерикова Эльмира Александровна.

Проверила: Молотова Наталья Евгеньевна.

Волгодонск 2021

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

1.Зарождение счета в глубокой древности……………………………………….4

2.История возникновения понятия натурального числа………………..……….5

3.Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел…………………..……9

4.Натуральные числа, основные функции натуральных чисел………………..10

5.История возникновения нуля………………..……………………………..…..11

Заключение…………………………………………………………….………….12

Список литературы……………………………………………………………….13

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами. Что же понимается под словом “число”? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было “привязано” к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих “Началах”, которое он, очевидно унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского: “Единица есть то, в соответствии с чем каждая из соответствующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц”. Так определял понятие числа и математик Магницкий в своей “Арифметике” (1703г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: “Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц”. В своей “Общей арифметике” (1707г.) Исаак Ньютон пишет: “Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу…. Целое число есть то, что измеряется единицей…”. В настоящее время, математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение числа: “Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания”.

Считается, что термин “натуральное число” впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524г. г.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием “натуральное число” в современном его понимании последовательно пользовался французский математик Даламбер (1717-1783г. г.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо простых понятий. При работе над рефератом появилась возможность подробнее узнать историю возникновения числа, и понятия натурального числа.

Зарождение счета в глубокой древности.

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия “много”. Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами “один” и “много”. Появление элемента “два” объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, “три” характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие “четыре”, так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой – возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.

Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

История возникновения понятия натурального числа.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, “три человека”, “три озера” и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово “три” в контекстах “три человека”, “три лодки” передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием (“много”) о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как “толпа”, “стадо”, “куча” и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы (пальцевой счет, о котором говорилось ранее), что без сомнений подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов – десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней “римские цифры”, ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменной).

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких – либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматическогометода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность.

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог говорить: “Столько же, сколько рук у человека”, о множестве из пяти предметов – “столько же, сколько пальцев на руке”. При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы.

В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел – для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, например, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе “пять” вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом “рука”, а численность множества из 20 предметов – словами “весь человек”.

Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, не перечислялись уже “одно яблоко”, “два яблока” и т.д., а проговаривались слова “один”, “два” и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э.

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включаются действия над числом. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счета равными частями (по два, по три…), деление – как деление совокупности на равные части. Лишь во многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название “арифметика”. Слово “арифметика” происходит от греческого arithmos, что значит “число”. Следовательно, арифметика – это наука о числе.

Термин “натуральное число” впервые употребил в V в. римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги “О введении в арифметику”, которая до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов.

Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.

Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел

Как мы ранее рассмотрели, арифметика – это наука, изучающая числа и действия над ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научиться вычислять, надо научиться считать и уметь записывать числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особыми знаками для краткого их обозначения. Знаки для изображения чисел называются цифрами. Практически на всем земном шаре алфавитом в языке цифр служат десять цифр (от 0 до 9), эти цифры называются арабскими. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а для обозначения отсутствия предметов употребляется число нуль, которое изображается цифрой 0. Все числа: 1, 2, 3, 4,…17,18 и т.д. без конца называют натуральным рядом чисел, а сами числа – натуральными числами. В натуральном ряду каждое число, начиная с 2, на единицу больше предыдущего. Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков – немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Долго и трудно добиралось человечество до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, вещи, животные.

Натуральные числа, основные функции натуральных чисел.

Натуральные числа являются целыми числами. К целым числам относится и нуль, но оно не принадлежит к натуральным числам. Не следует смешивать понятия “числа” и “цифры”. Различных чисел можно записать сколько угодно, а цифр – только десять. Любое натуральное число мы записываем с помощью этих десяти цифр. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется еще одной роли числа – как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций.

Основными функциями натуральных чисел являются:

1. Характеристика количества предметов;

2. Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. т.) и количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

История возникновения нуля.

Ноль (нуль) (от лат. Nullus – никакой) – название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (соответственно, в десятичной системе счисления, умножает на десять.).

В Индии.

Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие.

Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом “сунья”, что значит пустой (разряд, место). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово “сыфр”, от него и ведет происхождение слово “цифра”. Впервые цифру ноль использовал в своих рассказах Харязми. Первое достоверное сведение о записи нуля относится к 876г.; в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270. Некоторые исследователи предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву “о” в шестидесятеричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. Другие, наоборот, считают, что ноль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686г. г. в нынешних Камбодже в Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Индийцы вначале изображали нуль точкой. Когда индийцы в V веке н.э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей.

математика число нуль натуральный.

Заключение

На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Мир полон тайн и загадок. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

Рассмотрев данную тему, можно с уверенностью сказать, что исторические сведения изменчивы, и со временем мы можем узнать много нового о том, что, казалось бы, уже известно, а также будет открыто что-то не менее интересное и, в настоящее время, неизученное.

Список литературы

1. Задачник-практикум по математике. Пособие для студентов-заочников факультетов подготовки учителей начальных классов пединститутов под ред. Н.Я. Виленкина. Москва “Просвещение”, 1977. (132-135 стр.).

2. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. – Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. 248 с.

3. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика. В 2ч. Ч1. Для студентов – заочников 1-2 курсов фак. подгот. учителей нач. классов пед. ин-тов; Моск. Гос. Пед. Ин-т. М.: Просвещение, 1990. (93-119 стр.).

4. http://www.cultinfo.ru/ fulltext/1/001/008/122/518. Htm.

5. http://ru. wikipedia.org/wiki.