Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение —

Реферат: законы распределения случайных величин и их применение —

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Равномерное распределение

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - могущая принять любое значение из сегмента Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Поэтому Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Если, далее, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -<Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -) — две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

ГдеРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - — коэффициент пропорциональности, не зависящий отРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - иРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, а разностьРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, — длина сегмента Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Так как при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=a и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=b имеемРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, откуда Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Рефераты:  Хроническая сердечная недостаточность

Таким образом

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (1)

Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Если Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

так какРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - не принимает значений, меньших a.
Пусть теперь Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. По аксиоме сложения вероятностейРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Согласно формуле (1), в которой принимаем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Так какРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -получаем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Наконец, если Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, так как значения Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -лежит на сегментеРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -и, следовательно, не превосходят b
. Итак, приходим к следующей функции распределения:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

График функции Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - представлен на рис. 1.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле. Если Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - или Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Если Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Таким образом,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (2)

График функции Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - изображен на рис. 2. Заметим, что в точках a
и b
функция Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -терпит разрыв.

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Величина, плотность распределения которой задана формулой (2), называется равномерно распределенной случайной величиной.

3. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n
независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p
.

Пусть Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -— конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Построим случайную величину Y
:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Тогда Y
, число единиц (успехов) в последовательности Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, имеет биномиальное распределение с n
степенями свободы и вероятностью «успеха» p.
Пишем: Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

гдеРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - — биномиальный коэффициент.

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -,

где Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -,

откуда

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -,

а дисперсия случайной величины.

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Свойства биномиального распределения

Пусть Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - иРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - . ТогдаРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - .

Пусть Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - иРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - . ТогдаРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Связь с другими распределениями:

Если n
= 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если n
большое, то в силу центральной предельной теоремыРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - , где N(np,npq)
— нормальное распределение с математическим ожиданием np
и дисперсией npq
.

Если n большое, а λ — фиксированное число, тоРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - , где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.

4. Закон Пуассона

Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным: Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Если при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -,Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n
, получим при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Следовательно,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Полученное распределение вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.

Распределение Пуассона имеет максимум вблизиРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -
(знак [x]
обозначает целую часть числа x
, меньшую или равную x
).

Числовые характеристики распределения:
Математическое ожидание Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -
Дисперсия Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Распределение Пуассона играет важную роль для описания «редких» событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

5.Нормальное распределение

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.

Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).

В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).

Рефераты:  Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент)-Главная страница

Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.

При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Говорят, что случайная величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -имеет вид Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (3)

где a
— любое действительное число, а Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - >0
. Смысл параметров a
и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

График функции Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - . При Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0
осью симметрии является ось Oy
. На рис. 3 изображены два графика функции y
=Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. График I соответствует значениям a
=0,Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=1, а график II — значениям a
=0, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=1/2.

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Покажем, что функция Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - удовлетворяет условию, т.е. при любых a
и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -выполняется соотношение

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Тогда

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

В силу четности подинтегральной функции имеем

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Следовательно,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Но,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

В результате получим

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (4)

Найдем вероятность Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. По формуле имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Тогда Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - и
Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (5)

Как мы знаем, интеграл Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (6)
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Итак,

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (7)

Легко показать, что функция Ф(х)
(интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°.

2°. Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -; при Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=-
т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции изображен на рис. 4.

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Таким образом, если случайная величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - нормально распределена с параметрами a
и Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, определяется соотношением (7).

Пусть Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, т.е. Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Так как неравенствоРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение - равносильно неравенствам Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - то полагая в соотношении (7) Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - получим Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Вследствие того, что интеграл вероятностей — нечетная функция, имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - (8)

Пример 1. Пусть случайная величина Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -=2.

Определить:

1) Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -;

2) Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -;

Решение:

1) Используя формулу (7), имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134
, Ф(1,5)=0,43319.
Следовательно Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -3

2) Так как a=0
, то Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. По формуле (8) находим
Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы
Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -)=0,9973

Решение: По формуле (8) имеем Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -соответствует =3,откудаРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -.

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973
, что случайная величина находится в интервале Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -. Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение - Этот факт называют правилом трех сигм.

Рефераты:  3. Психология личности. - Реферат Рефератович

6.Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.

В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Приложение 1

Таблица I: Значения функции:Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

X

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

X

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

X

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

X

Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение -
0.000.39891.000.24202.000.05403.000.0044
0.050.39841,050.22992,050.04883,050.0038
0.100.39701,100.21792,100.04403,10.0033
0.150.39451,150.20592,150.03963,150.0028
0.200.39101,200.19422,200.03553,20.0024
0.250.38671,250.18262,250.03173,250.0020
0.300.38141,300.17142,300.02833,30.0017
0.350.37521,350.16042,350.02523,350.0015
0.400.36831,400.14972,400.02243,40.0012
0.450.36051,450.13942,450.01983,450.0010
0.500.35211,500.12952,500.01753,50.0009
0.550.34291,550.12002,550.01543,550.0007
0.600.33321,600.11092,600.01363,60.0006
0.650.32301,650.10232,650.01193,650.0005
0.700.31231,700.09402,700.01043,70.0004
0.750.30111,750.08632,750.00913,750.0003
0.800.28971,800.07902,800.00793,80.0002
0.850.27801,850.07212,850.00693,850.0002
0.900.26611,900.06562,900.00603,90.0002
0.950.25411,950.05962,950.00513,950.0002
4.000.0001

Приложение 2

Таблица II: Значения функцииРеферат: Законы распределения случайных величин и их применение -

хФ(х)хФ(х)хФ(х)хФ(х)
0.000.000000.850.302341,700.455432,550.49461
0.050.019940.900.315941,750.459942,600.49534
0.100.039830.950.328941,800.464072,650.49598
0.150.059621.000.341341,850.467842,700.49653
0.200.079261,050.353141,900.471282,750.49702
0.250.098711,100.364331,950.474412,800.49744
0.300.117911,150.374932,000.477252,850.49781
0.350.136831,200.384932,050.479822,900.49813
0.400.155421,250.394352,100.482142,950.49841
0.450.173641,300.403202,150.484223.000.49865
0.500.191461,350.411492,200.486103,050.49931
0.550.208841,400.419242,250.487783,100.49966
0.600.225751,450.426472,300.489283,150.499841
0.650.242151,500.433192,350.490613,200.499928
0.700.258041,550.439432,400.491803,250.499968
0.750.273371,600.445202,450.492863,400.499997
0.800.288141,650.450532,500.493793,450.5

Случайные величины

Случайные
величины

Оцените статью
Реферат Зона
Добавить комментарий