К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. к классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.
Функция-
зависимость переменной у
от переменной x,
если каждому значению х
соответствует единственное значение у
.
Переменная х –
независимая переменная или аргумент.
Переменная у –
зависимая переменная
Значение функции –
значение у
, соответствующее заданному значению х
.
Область определения функции-
все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.
Функция является четной –
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной –
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция –
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
< х2
, выполняется неравенство f(х1
)<f(х2
)
Убывающая функция –
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
< х2
, выполняется неравенство f(х1
)>f(х2
)
Линейная функция.
Это функция вида 
угловым коэффициентом
, а число 
свободным членом
. Графиком 
График линейной функции – прямая
1. Область определения – все действительные числа.
2. Область значений – все действительные числа.
3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4. Линейная функция ни четная ни нечетная.
5. Функция возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6. Функция непрерывна.
Квадратичная функция.
Это функция вида 
парабола
с осью, параллельной оси 
1.
Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2.
При b
¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b
=0 квадратичная функция – четная.
Рис. 4 Рис. 5
4.
Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5.
Функция имеет единственную критическую точку
6. x=-b/(2a)
. Если a
>0, то в точке x=-b/(2a)
функция имеет минимум.
a. Если а
<0, то в точке x=-b/(2a)
функция имеет максимум. При x<-b/(2a)
функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a)
монотонно убывает.
b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a)
и ординатой y= -((b2-4ac)/4a)
называется вершиной параболы
.
7.
Область изменения функции: при a
>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); ¥)
; при a
<
8.
График квадратичной функции пересекается с осью 0y
в точке y=c
. В случае, если b2-4ac>0
, график квадратичной функции пересекает ось 0x
в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0
(квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x
в точке x=-b/(2a)
; если b2-4ac<0
, пересечения с осью 0x
нет.
a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a)
– образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0)
.
b. График функции
9. f(x)=ax2 bx c
10.
(или f(x)=a(x b/(2a))2
-(b2-4ac)
а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0)
;
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а
раз;
в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a)))
.
Степенная функция.
Это функция вида 
1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(xa)¢= a.xa-1.
Степенная функция xa
монотонно возрастает во всей области определения при a
<0.
0 1 x 0 1 x
7. При a
<0 и a
>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a
<1 – вогнутостью вниз.
Показательная функция (экспонента).
Это функция вида 
основанием
показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax
)¢ =ax
lna
4. При а
>1 функция монотонно возрастает, при а
<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y
в точке y
=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическая функция.
Это функция вида 
основанием
логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; ¥).
2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(loga
x)¢ = 1/(x ln a).
4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а
>1. При 0<a
<1 логарифмическая функция с основанием а
монотонно убывает.
5. При любом основании a
>0, a
¹1, имеют место равенства
loga1=0, logaa=1.
6. При а
>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a
<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.
тригонометрические функции
Функции sina, cosa, tga, ctga
называются тригонометрическими функциями
угла a. Кроме основных тригонометрических функций sina, cosa, tga, ctga.
Функция синус
Синусом
числа х
называется число, равное синусу угла в радианах.
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функцияsin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
sin (х 2p)= sin х.
5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n
ÎZ
.
6. Промежутки знакопостоянства:
sin х>0 при xÎ (2pn
; p 2pn
), n
ÎZ
,
sin х<0 при xÎ (p 2pn
; 2p 2pn
), n
ÎZ
.
7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х)¢ =cos x.
8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2) 2pn;
(p/2) 2pn
), n
ÎZ
,
и убывает при xÎ ((p/2) 2pn
; ((3p)/2) 2pn
), n
ÎZ
.
9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2) 2pn
, n
ÎZ
, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2) 2pn
, n
ÎZ
.
Функция косинус.
2.Область значения – промежуток [-1; 1].
3.Функцияcos х – четная: cos (-х)=cos х.
4.Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
cos (х 2p)= cos х.
5.Нули функции: cosх=0 при x=(p/2) 2pn, n
ÎZ
.
6.Промежутки знакопостоянства:
cos х>0 при xÎ ((-p/2) 2pn;
(p/2) 2pn
)), n
ÎZ
,
cos х<0 при xÎ ((p/2) 2pn
); ((3p)/2) 2pn
)), n
ÎZ
.
7.Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х)¢ =-sin x.
8.Функция cos х возрастает при xÎ (-p 2pn;
2pn
), n
ÎZ
,
и убывает при xÎ (2pn
; p 2pn
), n
ÎZ
.
Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p 2pn
, n
ÎZ
, и максимальные
Функция тангенс.
n
, n
ÎZ
.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функцияtg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4.Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
tg (х p)= tg х.
5.Нули функции: tg х=0 при x=pn, n
ÎZ
.
6.Промежутки знакопостоянства:
tg х>0 при xÎ (pn
; (p/2) pn
), n
ÎZ
,
tg х<0 при xÎ ((-p/2) pn
; pn
), n
ÎZ
.
7.Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х)¢ =1/cos2
x.
8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2) pn;
(p/2) pn
), n
ÎZ
,
Функция котангенс.
n
, n
ÎZ
.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функциясtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
сtg (х p)= ctg х.
5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2) pn, n
ÎZ
.
6.Промежутки знакопостоянства:
ctg х>0 при xÎ (pn
; (p/2) pn
), n
ÎZ
,
ctg х<0 при xÎ ((p/2) pn
; p(n
1)), n
ÎZ
.
7.Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х)¢ =-(1/sin2
x).
8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn;
p(n
1)), n
ÎZ
.
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям
синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin x :
1. Область определения – [-1; 1].
2. Область значений – [-П2; п2].
3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)
Графики главной ветви 
Arctg x :
1. Область определений – R.
2. Область значений – интервал (-П2; П2).
3. Монотонно возрастающая функция.
4. прямые у=-П2 и у=П2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13)
Графики главной ветви 
Список использованной литературы
1. Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
2. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.
